Тригонометрическая окружность: как читать синус, косинус и углы

Тригонометрическая окружность — общий язык тригонометрии ЕГЭ: через неё объясняются формулы заданий 6 и 13. Каждая формула в этих заданиях в конечном счёте сводится к одной картинке: окружность радиуса 1, угол и точка на ней. Покажем, как читать эту картинку — по шагам, без зазубривания.

Окружность радиуса 1 в системе координат

Возьми координатную плоскость и нарисуй окружность радиуса 1 с центром в начале координат — точке $O(0;0)$. Это и есть тригонометрическая окружность, её ещё называют единичной. Особенного в ней только одно — радиус, равный единице. Всё остальное — обычная геометрия окружности с удобной системой отсчёта.

За начало отсчёта берут точку $(1;0)$ — там, где окружность пересекает положительное направление оси $Ox$. От этой точки откладывают угол $\alpha$: против часовой стрелки, если угол положительный, и по часовой, если отрицательный. Чем больше угол, тем дальше точка уходит от стартовой позиции, обходя окружность против часовой стрелки.

Направление обхода — не случайность, а договорённость: против часовой стрелки значит угол растёт. Та же договорённость работает в физике и компьютерной графике — везде, где встречается поворот. Запомни её один раз, и путаницы больше не будет.

Синус и косинус как координаты точки

Вот главная идея всей темы, ради которой всё остальное имеет смысл. Когда ты откладываешь угол $\alpha$ от точки $(1;0)$ и получаешь на окружности точку $P$, у этой точки есть координаты. И эти координаты — не что-то новое, а именно косинус и синус угла $\alpha$:

$P(\cos \alpha ;\sin \alpha )$

Косинус — координата точки по оси $Ox$ (горизонтальная), синус — координата по оси $Oy$ (вертикальная). Другого определения синуса и косинуса тебе не нужно: это координаты точки на единичной окружности.

Почему так работает и откуда взялось школьное определение через прямоугольный треугольник? Опусти из точки $P$ перпендикуляр на ось $Ox$ — получится прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной радиусу окружности, то есть единице. Катет вдоль оси $Ox$ равен $\cos \alpha$, катет вдоль оси $Oy$ равен $\sin \alpha$. Это то же отношение «катет к гипотенузе», которое ты учил в 8 классе, только гипотенуза теперь всегда равна 1 — поэтому катеты сами становятся значениями синуса и косинуса, без деления.

Тангенс через координаты точки определяется как отношение синуса к косинусу:

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\cos \alpha \ne 0$

Геометрически тангенс — координата точки пересечения продолжения радиуса $OP$ с вертикальной прямой $x=1$, касательной к окружности в точке $(1;0)$. Эту прямую называют линией тангенсов. Подробно с ней работать здесь не будем — она пригодится, когда дойдёшь до графика тангенса. Пока достаточно запомнить рабочую формулу — отношение синуса к косинусу — и что тангенс не определён там, где косинус равен нулю.

Радианы и градусы

Угол на окружности измеряют либо в градусах, либо в радианах, и в заданиях 6 и 13 ЕГЭ радианы встречаются чаще. Радиан — это угол, при котором длина дуги окружности равна её радиусу. Длина полной окружности радиуса $r$ равна $2\pi r$, а в единичной окружности — просто $2\pi$. Этот же полный обход соответствует повороту на $360°$. Отсюда прямое соответствие:

$\pi \text{ радиан}=180°$

Из этого равенства выводятся обе формулы перевода:

${\alpha }_{\text{рад}}={\alpha }_{\text{град}}\cdot \frac{\pi }{180°},{\alpha }_{\text{град}}={\alpha }_{\text{рад}}\cdot \frac{180°}{\pi }$

Табличные значения для основных углов стоит выучить наизусть — тогда почти вся тригонометрия ЕГЭ решается без калькулятора:

Обрати внимание на закономерность: чем меньше знаменатель дроби при $\pi$, тем больше угол. Дробь $\pi /2$ даёт угол больше, чем $\pi /6$, хотя интуитивно кажется наоборот из-за большего числа в знаменателе. Если сомневаешься — переведи в градусы и сравни там, так надёжнее на старте.

Четверти и знаки

Окружность естественно делится осями на четыре четверти, и в каждой четверти знаки синуса, косинуса и тангенса свои. Определять их не нужно каждый раз заново — достаточно понять логику один раз.

Косинус — координата по оси $Ox$. Она положительна справа от оси $Oy$ (I и IV четверти) и отрицательна слева (II и III четверти). Синус — координата по оси $Oy$. Она положительна выше оси $Ox$ (I и II четверти) и отрицательна ниже (III и IV четверти). Тангенс, как отношение синуса к косинусу, положителен там, где знаки синуса и косинуса совпадают (I и III четверти), и отрицателен там, где они разные (II и IV четверти).

Есть мнемоника, которая многим помогает: «Всё Синус Тангенс Косинус» — по первым буквам того, какая функция положительна в каждой четверти (все три — в I, синус — во II, тангенс — в III, косинус — в IV). Работает, но под стрессом на экзамене фразу легко забыть. Надёжнее помнить не фразу, а сам принцип: смотри на знаки координат $x$ и $y$ в этой части плоскости, остальное следует из определения.

Как отметить любой угол за три шага

Любой угол, даже если он больше $2\pi$ или отрицательный, отмечается на окружности по одному и тому же алгоритму из трёх шагов.

Шаг 1. Приведи угол к промежутку $[0;2\pi )$. Если угол больше $2\pi$ — вычитай $2\pi n$, пока не попадёшь в нужный промежуток. Если угол отрицательный — прибавляй $2\pi n$. Число полных оборотов не влияет на положение точки: угол $\alpha$ и угол $\alpha +2\pi n$ дают одну и ту же точку на окружности, потому что $n$ полных оборотов возвращают тебя туда, откуда начал.

Шаг 2. Определи четверть. Сравни приведённый угол с границами четвертей — $\pi /2$, $\pi$, $3\pi /2$ и $2\pi$.

Шаг 3. Отложи угол от ближайшей оси. Не обязательно откладывать весь угол от нуля — удобнее взять его остаток от ближайшей границы четверти и отложить в нужную сторону.

Например, угол $\frac{7\pi }{4}$: это IV четверть, до полного оборота $2\pi$ не хватает $\frac{\pi }{4}$ — значит, точка лежит на $\frac{\pi }{4}$ ниже оси $Ox$, если идти по часовой стрелке от начальной точки. Отсчитывать сразу от нужной оси быстрее и надёжнее, чем откладывать полный угол на глаз.

Разбор примеров

Три примера нарастающей сложности. Первый решаем полностью, во втором один шаг оставлен тебе, в третьем — почти всё.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Определи четверть и знаки синуса и косинуса для угла $\frac{4\pi }{3}$ и для угла $200°$.

Решение. Начнём с $\frac{4\pi }{3}$. Сравним его с границами четвертей: $\pi <\frac{4\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$, ведь $\pi =\frac{3\pi }{3}$, а $\frac{3\pi }{2}=\frac{4,5\pi }{3}$. Значит, угол лежит в III четверти. В III четверти и синус, и косинус отрицательны: $\sin \frac{4\pi }{3}<0$, $\cos \frac{4\pi }{3}<0$.

Теперь $200°$. Границы четвертей в градусах — $180°$ и $270°$. Раз $180°<200°<270°$, снова III четверть, знаки те же: $\sin 200°<0$, $\cos 200°<0$.

Типичная ошибка. Путают $\frac{4\pi }{3}$ с $\frac{3\pi }{4}$ — это разные углы: первый больше $\pi$, второй меньше. Смотри внимательно, что стоит в числителе, а что в знаменателе.

Ответ: оба угла в III четверти, синус и косинус отрицательны в обоих случаях.

Пример 2 (уровень Б, faded — один шаг за тобой). Переведи $135°$ в радианы, отметь угол на окружности и назови координаты точки.

Решение. Перевод в радианы: $135°\cdot \frac{\pi }{180°}=\frac{135\pi }{180}=\frac{3\pi }{4}$.

Теперь попробуй сам определить четверть для угла $\frac{3\pi }{4}$: сравни его с $\pi /2$ и $\pi$. Подсказка: $\pi /2=\frac{2\pi }{4}$, а $\pi =\frac{4\pi }{4}$.

Ответ на подсказку: $\frac{2\pi }{4}<\frac{3\pi }{4}<\frac{4\pi }{4}$ — угол во II четверти.

Угол $\frac{3\pi }{4}=135°$ ровно на $45°$ меньше, чем $180°$, то есть отстоит на $\pi /4$ от оси $Oy$ в сторону $\pi$. Такой угол табличный: он получается зеркальным отражением угла $\pi /4$ относительно оси $Oy$. Отсюда координаты точки:

$P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Косинус отрицателен (II четверть, слева от $Oy$), синус положителен (выше $Ox$) — это совпадает с тем, что мы определили на предыдущем шаге.

Типичная ошибка. Забывают поставить минус у косинуса, механически переписывая табличное значение $\sqrt{2}/2$ для обеих координат.

Ответ: $\frac{3\pi }{4}$ рад, точка $P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Пример 3 (уровень В, skeleton). Вычисли $\cos \frac{2\pi }{3}$ и $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$ по окружности; проверь через формулу приведения и основное тригонометрическое тождество.

Решение.

Шаг 1. Найди $\cos \frac{2\pi }{3}$ по окружности. Спроси себя: в какой четверти лежит $\frac{2\pi }{3}$ и насколько он отличается от $\pi$? Проверка: $\frac{2\pi }{3}$ лежит во II четверти, до $\pi$ не хватает $\frac{\pi }{3}$, значит $\cos \frac{2\pi }{3}=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$.

Шаг 2. Найди $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)$ по окружности. Спроси себя: что означает отрицательный угол и в какую четверть попадает точка? Проверка: угол лежит в IV четверти, там синус отрицателен, а по модулю это табличное значение $\frac{\sqrt{2}}{2}$, значит $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Шаг 3. Проверь оба результата формулой приведения. Для косинуса: $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$, при $\alpha =\pi /3$ получаем те же $-1/2$. Для синуса используем нечётность синуса: $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$, при $\alpha =\pi /4$ получаем $-\sqrt{2}/2$ — совпадает.

Шаг 4. Проверь основным тождеством первый результат: ${\sin }^2\frac{2\pi }{3}=1-{\cos }^2\frac{2\pi }{3}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$, значит $\sin \frac{2\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (знак плюс, потому что II четверть) — это табличное значение, и оно подтверждает, что $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$ найден верно.

Типичная ошибка. Меняют знак у $\sin (-\pi /4)$, забывая, что синус — нечётная функция, а косинус — чётная: у косинуса отрицательный угол знак не меняет.

Ответ: $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$, $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Типичные ошибки

1. Путают ось синуса и ось косинуса. Косинус — горизонталь ($Ox$), синус — вертикаль ($Oy$). Если сомневаешься, держи в голове порядок в записи $P(\cos \alpha ;\sin \alpha )$: косинус всегда первый, как координата $x$.
2. Теряют знак в III и IV четвертях. Найдя табличное значение по модулю, забывают поставить минус там, где он нужен. Проверяй четверть отдельным шагом, а не «на глаз».
3. Переводят градусы в радианы приблизительно. $\pi \approx 3,14$ провоцирует на десятичные приближения там, где нужен точный ответ вида $\pi /6$ или $5\pi /4$. На ЕГЭ ответы почти всегда точные, через $\pi$, а не десятичной дробью.
4. Забывают период при возврате к общему виду. Найдя один угол, подходящий условию, забывают, что на окружности ему соответствует бесконечно много углов вида $\alpha +2\pi n$. Это критично в задании 13, где отбор корней требует именно общего вида.
5. Путают углы, кратные $\pi /6$ и $\pi /4$. Углы с шагом $30°$ ($\pi /6,\pi /3$) и углы с шагом $45°$ ($\pi /4$) — из разных семейств и на окружности не совпадают ни в одной точке, кроме углов, кратных $\pi /2$.

Связь с другими темами

• Отбор корней на окружности — здесь окружность становится рабочим инструментом: как выбрать из бесконечной серии корней только те, что попадают в заданный промежуток.
• График синуса и косинуса — та же окружность, только развёрнутая в график: движение точки по окружности превращается в волну.
• Основное тригонометрическое тождество — прямое следствие того, что точка на окружности находится на расстоянии 1 от центра.
• Формулы приведения — правило переходов между «зеркальными» углами на окружности, которое сводит любой угол к табличному.
• Период функций синуса и косинуса — почему обход окружности на $2\pi$ не меняет ни синус, ни косинус.

Когда разбор любого угла на окружности дойдёт до автоматизма, дальше пойдёт быстрее: и отбор корней, и формулы приведения, и графики опираются на эту же базу. Если тема пока даётся с трудом, короткие тренировки по слабым темам помогают закрепить именно то место, где чаще всего теряется знак или четверть.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 — тригонометрические вычисления — окружность нужна, чтобы быстро находить табличные значения синуса, косинуса и тангенса и сразу видеть их знак, не строя треугольники заново.
• Задание 13 — уравнения с отбором корней — пункт б почти всегда решается через окружность: на неё наносят все корни уравнения и визуально отбирают те, что попадают в заданный промежуток.

Часто задаваемые вопросы