График синуса и косинуса: построение и свойства

В задании 11 ЕГЭ нужно либо построить график тригонометрической функции, либо прочитать с него значения, экстремумы или периоды. Знаешь пять ключевых точек синуса и умеешь применять четыре преобразования — задание решается за 2-3 минуты. Разберём оба навыка.

Базовый график $y = \sin x$

Синус — периодическая функция. Её основные характеристики:

• Область определения: все вещественные числа $\mathbb{R}$
• Область значений: $[-1, 1]$
• Период: $T = 2\pi$ (примерно $6.28$)
• Нули: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
• Максимум: $1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
• Минимум: $-1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Пять ключевых точек на одном периоде $[0, 2\pi]$:

По этим пяти точкам строится весь период: гладкая волна, которая поднимается к максимуму, опускается через ноль, достигает минимума и возвращается в ноль.

График y = sin x

Базовый график $y = \cos x$

Косинус отличается от синуса только начальной фазой. $\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ — сдвиг влево на $\pi/2$.

Характеристики:

• Период: $T = 2\pi$ (тот же)
• Область значений: $[-1, 1]$
• Максимум: $1$ при $x = 2\pi n$
• Минимум: $-1$ при $x = \pi + 2\pi n$
• Нули: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Пять ключевых точек на периоде $[0, 2\pi]$:

Отличие от синуса: косинус начинается с максимума при $x = 0$, а синус — с нуля.

График y = cos x

Четыре параметра: как читать $y = A\sin(\omega x + \varphi) + d$

Общая форма: $y = A\sin(\omega x + \varphi) + d$.

Каждый из четырёх параметров отвечает за одно преобразование базового графика.

$A$ — амплитуда. Растягивает или сжимает график по вертикали. Максимальное значение функции: $d + |A|$, минимальное: $d - |A|$. Если $A < 0$ — дополнительно отражает относительно оси $x$.

$y_{\max} = |A| + d, \quad y_{\min} = -|A| + d$

$\omega$ — частота. Период изменяется:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

При $\omega = 2$: период $T = \pi$ (вдвое короче). При $\omega = 1/2$: период $T = 4\pi$ (вдвое длиннее).

$\varphi$ — начальная фаза. Горизонтальный сдвиг:

$x_{\text{сдвиг}} = -\frac{\varphi}{\omega}$

При $\varphi > 0$ — сдвиг влево, при $\varphi < 0$ — вправо.

$d$ — вертикальный сдвиг. Поднимает весь график на $d$ единиц вверх (при $d > 0$) или вниз (при $d < 0$). Ось симметрии графика: $y = d$.

Алгоритм построения

1. Определи все четыре параметра: $A$, $\omega$, $\varphi$, $d$.
2. Вычисли период: $T = 2\pi/\omega$.
3. Найди сдвиг по горизонтали: $x_0 = -\varphi/\omega$.
4. Построй пять ключевых точек одного периода, начиная с $x_0$:
   • $x_0$: $y = d$ (ноль синуса)
   • $x_0 + T/4$: $y = d + A$ (максимум)
   • $x_0 + T/2$: $y = d$ (ноль)
   • $x_0 + 3T/4$: $y = d - A$ (минимум)
   • $x_0 + T$: $y = d$ (ноль, конец периода)
5. Плавно соедини точки — получишь один период.
6. Продолжи влево и вправо на нужное число периодов.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Постройте схематично один период функции $y = 2\sin(x) - 1$ и укажите координаты ключевых точек.

Решение.

Параметры: $A = 2$, $\omega = 1$, $\varphi = 0$, $d = -1$.

Период: $T = 2\pi$.

Сдвиг: $x_0 = 0$ (нет горизонтального сдвига).

Ключевые точки:

График — синусоида с амплитудой 2, сдвинутая вниз на 1 единицу.

Типичная ошибка. Перепутать $d$ и $A$: считать, что максимальное значение равно $2$ вместо $2 - 1 = 1$. Вертикальный сдвиг $d$ смещает всю функцию, включая максимум.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). По графику функции $y = A\cos(\omega x)$ определить, что $T = \pi$ и максимальное значение $3$. Запишите формулу функции.

Решение.

Из максимального значения: $A = 3$.

Период $T = \pi$: определи $\omega$ самостоятельно из формулы периода. Ответ ниже.

Типичная ошибка. Написать $\omega = T/(2\pi)$ вместо $\omega = 2\pi/T$ — перепутать числитель и знаменатель.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Найдите наименьшее положительное решение уравнения $y = \sin(2x - \pi/3) = 0$.

Шаг 1: запишите общее решение уравнения $\sin(t) = 0$ и подставьте $t = 2x - \pi/3$.

Шаг 2: найдите наименьшее положительное значение $x$.

Типичная ошибка. При общем решении $x = \frac{\pi n + \pi/3}{2}$ не проверить все малые значения $n$, а взять $n = 1$ вместо $n = 0$.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать период $y = \sin(2x)$ равным $2\pi$ вместо $\pi$. Период $T = 2\pi/\omega$, при $\omega = 2$ он уменьшается вдвое.

Ошибка 2. Путать амплитуду и вертикальный сдвиг. В $y = 2\sin x + 1$ амплитуда $A = 2$, сдвиг $d = 1$, максимум $= 3$, не $2$.

Ошибка 3. При сдвиге влево/вправо путать знак. В $y = \sin(x + \pi/3)$ сдвиг влево на $\pi/3$ (потому что $+\pi/3 \to x_0 = -\pi/3$).

Ошибка 4. При чтении графика считать максимальное значение за амплитуду, не учитывая вертикальный сдвиг.

Ошибка 5. В строгих задачах на экстремумы: максимум достигается при $\omega x + \varphi = \pi/2 + 2\pi n$, а не просто при $\omega x = \pi/2$.

Связь с другими темами

Графики синуса и косинуса — основа для тригонометрических уравнений и неравенств: видя график, легко понять, сколько решений у $\sin x = c$ на данном отрезке.

Параметр $\omega$ и период напрямую используются в задании 11 при задачах на количество корней тригонометрического уравнения на промежутке.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 11 — задача с графиком тригонометрической функции. Нужно либо определить характеристики по готовому графику, либо построить его схематично, либо найти количество корней уравнения.

Часто задаваемые вопросы