График синуса и косинуса: построение и свойства

В задании 11 ЕГЭ нужно либо построить график тригонометрической функции, либо прочитать с него значения, экстремумы или периоды. Звучит как два разных умения, но на деле это одна система знаний, прочитанная в две стороны. Знаешь пять ключевых точек синуса и умеешь применять четыре преобразования — задание решается за две-три минуты. Разберём оба навыка: построение графика по формуле и чтение формулы с графика.

Базовый график $y = \sin x$

Синус — периодическая функция. Её основные характеристики:

• Область определения: все вещественные числа $\mathbb{R}$
• Область значений: $[-1, 1]$
• Период: $T = 2\pi$ (примерно $6.28$)
• Нули: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
• Максимум: $1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
• Минимум: $-1$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Пять ключевых точек на одном периоде $[0, 2\pi]$:

По этим пяти точкам строится весь период: гладкая волна, которая поднимается к максимуму, опускается через ноль, достигает минимума и возвращается в ноль. Эти пять точек делят период на четыре равные части, и именно они задают форму всей синусоиды. Если запомнить их расположение, ты сможешь нарисовать график синуса от руки за несколько секунд, без таблицы значений и калькулятора. Между этими точками кривая идёт плавно, без изломов и углов: синусоида везде гладкая. Это важно при построении, потому что соединять точки нужно мягкой волной, а не ломаной линией.

График y = sin x

Базовый график $y = \cos x$

Косинус отличается от синуса только начальной фазой. $\cos x = \sin\!\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ — сдвиг влево на $\pi/2$.

Характеристики:

• Период: $T = 2\pi$ (тот же)
• Область значений: $[-1, 1]$
• Максимум: $1$ при $x = 2\pi n$
• Минимум: $-1$ при $x = \pi + 2\pi n$
• Нули: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$

Пять ключевых точек на периоде $[0, 2\pi]$:

Отличие от синуса: косинус начинается с максимума при $x = 0$, а синус — с нуля. По сути это та же волна, просто сдвинутая. Если взять график синуса и сдвинуть его влево на четверть периода, получится ровно график косинуса. Поэтому всё, что ты знаешь про синус, переносится на косинус с поправкой на этот сдвиг. Запоминать отдельный набор свойств для косинуса не нужно: достаточно помнить, что косинус это синус, начатый с максимума. На экзамене это экономит память и время.

График y = cos x

Четыре параметра: как читать $y = A\sin(\omega x + \varphi) + d$

Общая форма: $y = A\sin(\omega x + \varphi) + d$.

Каждый из четырёх параметров отвечает за одно преобразование базового графика. Это удобная система: вместо того чтобы запоминать вид каждой конкретной функции, ты разбираешь её на четыре простых движения. Амплитуда растягивает по высоте, частота сжимает по ширине, фаза двигает влево-вправо, вертикальный сдвиг двигает вверх-вниз. Любой график вида синуса с коэффициентами получается из базовой синусоиды этими четырьмя преобразованиями. Разобравшись в них один раз, ты сможешь читать и строить любую такую функцию, не заучивая отдельных случаев.

$A$ — амплитуда. Растягивает или сжимает график по вертикали. Максимальное значение функции: $d + |A|$, минимальное: $d - |A|$. Если $A < 0$ — дополнительно отражает относительно оси $x$.

$y_{\max} = |A| + d, \quad y_{\min} = -|A| + d$

$\omega$ — частота. Период изменяется:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

При $\omega = 2$: период $T = \pi$ (вдвое короче). При $\omega = 1/2$: период $T = 4\pi$ (вдвое длиннее). Запомни обратную зависимость: чем больше частота, тем меньше период, и наоборот. Это легко перепутать, потому что интуитивно кажется, будто большее число должно давать больший период. На деле частота стоит в знаменателе формулы периода, поэтому связь обратная. Большая частота означает частые колебания, то есть короткий период. Маленькая частота означает редкие колебания, то есть длинный период. Проверяй себя этим простым рассуждением, и не ошибёшься со знаком зависимости.

$\varphi$ — начальная фаза. Горизонтальный сдвиг:

$x_{\text{сдвиг}} = -\frac{\varphi}{\omega}$

При $\varphi > 0$ — сдвиг влево, при $\varphi < 0$ — вправо.

$d$ — вертикальный сдвиг. Поднимает весь график на $d$ единиц вверх (при $d > 0$) или вниз (при $d < 0$). Ось симметрии графика: $y = d$. Именно вокруг этой линии колеблется функция, а не вокруг оси абсцисс. Это ключевой момент при поиске максимума и минимума: они отсчитываются от средней линии, а не от нуля. Максимум равен сумме средней линии и амплитуды, минимум — их разности. Поэтому, прежде чем искать экстремумы, всегда сначала определи, где проходит средняя линия функции, то есть найди вертикальный сдвиг. Это избавит от самой частой ошибки, когда максимум считают равным амплитуде, забыв про сдвиг.

Алгоритм построения

1. Определи все четыре параметра: $A$, $\omega$, $\varphi$, $d$.
2. Вычисли период: $T = 2\pi/\omega$.
3. Найди сдвиг по горизонтали: $x_0 = -\varphi/\omega$.
4. Построй пять ключевых точек одного периода, начиная с $x_0$:
   • $x_0$: $y = d$ (ноль синуса)
   • $x_0 + T/4$: $y = d + A$ (максимум)
   • $x_0 + T/2$: $y = d$ (ноль)
   • $x_0 + 3T/4$: $y = d - A$ (минимум)
   • $x_0 + T$: $y = d$ (ноль, конец периода)
5. Плавно соедини точки — получишь один период.
6. Продолжи влево и вправо на нужное число периодов.

Этот алгоритм универсален: он работает для любой функции вида синуса с коэффициентами. Главное — не пропускать шаги и аккуратно вычислять параметры. Самая частая ошибка на этом этапе связана не с самим построением, а с неверным вычислением периода или сдвига. Поэтому первые три шага, где ты считаешь параметры, важнее, чем кажется. Ошибся в периоде — и весь график получится неправильным, как ни старайся соединять точки.

Обратная задача: прочитать формулу с графика

В задании 11 часто встречается обратная задача: дан график, нужно восстановить формулу функции. Здесь работают те же четыре параметра, только теперь ты считываешь их с картинки.

Сначала найди амплитуду. Посмотри, на сколько график поднимается над своей средней линией. Эта высота и есть амплитуда. Если, например, график колеблется между значениями три и минус один, то средняя линия проходит по единице, а амплитуда равна двум. Заодно ты нашёл и вертикальный сдвиг: это уровень средней линии.

Затем найди период. Измерь по горизонтали длину одного полного цикла, от одной точки до следующей такой же, например от вершины до вершины. По длине периода вычисли частоту по формуле: частота равна двум пи, делённым на период. Чем короче период, тем больше частота.

Наконец, определи фазу. Посмотри, сдвинут ли график влево или вправо относительно обычного синуса. Если обычный синус начинается с нуля и идёт вверх, а твой график начинается раньше или позже, этот сдвиг и есть фаза. Собрав все четыре параметра, ты записываешь формулу функции. Этот навык чтения графика — зеркальное отражение навыка построения, и владеть им нужно так же уверенно.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). Постройте схематично один период функции $y = 2\sin(x) - 1$ и укажите координаты ключевых точек.

Решение.

Параметры: $A = 2$, $\omega = 1$, $\varphi = 0$, $d = -1$.

Период: $T = 2\pi$.

Сдвиг: $x_0 = 0$ (нет горизонтального сдвига).

Ключевые точки:

График — синусоида с амплитудой 2, сдвинутая вниз на 1 единицу.

Типичная ошибка. Перепутать $d$ и $A$: считать, что максимальное значение равно $2$ вместо $2 - 1 = 1$. Вертикальный сдвиг $d$ смещает всю функцию, включая максимум.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). По графику функции $y = A\cos(\omega x)$ определить, что $T = \pi$ и максимальное значение $3$. Запишите формулу функции.

Решение.

Из максимального значения: $A = 3$.

Период $T = \pi$: определи $\omega$ самостоятельно из формулы периода. Ответ ниже.

Типичная ошибка. Написать $\omega = T/(2\pi)$ вместо $\omega = 2\pi/T$ — перепутать числитель и знаменатель.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Найдите наименьшее положительное решение уравнения $y = \sin(2x - \pi/3) = 0$.

Шаг 1: запишите общее решение уравнения $\sin(t) = 0$ и подставьте $t = 2x - \pi/3$.

Шаг 2: найдите наименьшее положительное значение $x$.

Типичная ошибка. При общем решении $x = \frac{\pi n + \pi/3}{2}$ не проверить все малые значения $n$, а взять $n = 1$ вместо $n = 0$.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать период $y = \sin(2x)$ равным $2\pi$ вместо $\pi$. Период $T = 2\pi/\omega$, при $\omega = 2$ он уменьшается вдвое.

Ошибка 2. Путать амплитуду и вертикальный сдвиг. В $y = 2\sin x + 1$ амплитуда $A = 2$, сдвиг $d = 1$, максимум $= 3$, не $2$.

Ошибка 3. При сдвиге влево/вправо путать знак. В $y = \sin(x + \pi/3)$ сдвиг влево на $\pi/3$ (потому что $+\pi/3 \to x_0 = -\pi/3$).

Ошибка 4. При чтении графика считать максимальное значение за амплитуду, не учитывая вертикальный сдвиг.

Ошибка 5. В строгих задачах на экстремумы: максимум достигается при $\omega x + \varphi = \pi/2 + 2\pi n$, а не просто при $\omega x = \pi/2$.

Что запомнить

Базовый график синуса задаётся пятью ключевыми точками на периоде, которые делят его на четыре равные части. Косинус — это тот же синус, сдвинутый влево на четверть периода, начатый с максимума. Общая функция вида синуса с коэффициентами строится из базовой четырьмя преобразованиями: амплитуда растягивает по высоте, частота сжимает по ширине, фаза двигает по горизонтали, вертикальный сдвиг двигает по вертикали. Период вычисляется как два пи, делённое на частоту. Главная ловушка — путать амплитуду с вертикальным сдвигом и забывать, что у функции с частотой больше единицы период короче. Навык чтения графика зеркален навыку построения: оба нужны в задании 11.

Связь с другими темами

Графики синуса и косинуса — основа для тригонометрических уравнений и неравенств. Видя график, легко понять, сколько решений у уравнения $\sin x = c$ на данном отрезке: это число точек пересечения синусоиды с горизонтальной прямой. Поэтому графический образ помогает не только в задании 11, но и при решении уравнений и неравенств, где нужно прикинуть количество корней. Параметр частоты и период напрямую используются в задачах на количество корней тригонометрического уравнения на промежутке: чем больше частота, тем больше волн укладывается на отрезке, и тем больше может быть решений.

• Тригонометрические уравнения — где график помогает понять число корней.
• Период тригонометрической функции — подробно про связь частоты и периода.
• Тригонометрические неравенства — где график показывает области решений.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 11 — задача с графиком тригонометрической функции. Нужно либо определить характеристики по готовому графику, либо построить его схематично, либо найти количество корней уравнения.