Задание 13 ЕГЭ профиль — уравнения и отбор корней

Задание 13 — это 2 балла из части 2 профильного ЕГЭ. Всегда два пункта: найти все корни уравнения, потом отобрать те, что попадают в нужный промежуток. Разбираем все три типа и показываем, как не потерять балл на отборе.

Что проверяется в задании 13

Задание 13 стоит в части 2 (без калькулятора, с развёрнутым ответом). Оно проверяет умение решать трансцендентные уравнения и работать с общей формулой корней.

Структура задания фиксирована:

• Пункт а. Реши уравнение. Нужно найти все корни — записать общую формулу.
• Пункт б. Укажи корни, принадлежащие промежутку $[p; q]$ (обычно это отрезок длиной $\pi$ или $2\pi$).

Каждый пункт оценивается в 1 балл. Можно получить 1 балл за правильный пункт а, даже если пункт б не сделан. Ноль за задание возможен только при принципиально неверном подходе.

На ЕГЭ 2026 в задании 13 встречаются три типа уравнений. Иногда в одном задании комбинируются два типа через замену переменной.

Типовые формулировки — три вида уравнений

Тригонометрические уравнения

Самый частый вид в задании 13. Типичные подтипы:

Простейшие — через таблицу значений:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos x = -\frac{1}{2}, \quad \tan x = 1$

С заменой переменной — сначала квадратное по $t = \sin x$ или $t = \cos x$:

$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Однородные второй степени — содержат только $\sin^2 x$, $\sin x \cos x$ и $\cos^2 x$. Делятся на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \ne 0$) и сводятся к уравнению относительно $\tan x$:

$3\sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0 \quad \xrightarrow{:\cos^2 x} \quad 3\tan^2 x + 2\tan x - 1 = 0$

Через разложение на множители — вынести общий синус или косинус:

$\sin 2x - \sin x = 0$

Формулы корней простейших тригонометрических уравнений:

$\sin x = a \implies x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\cos x = a \implies x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\tan x = a \implies x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Здесь $a$ — число из допустимой области: $|a| \le 1$ для синуса и косинуса, любое вещественное для тангенса.

Показательные уравнения

В задании 13 показательные уравнения чаще всего решаются одним из двух способов.

Замена $t = a^x$, где $t > 0$ — превращает уравнение в квадратное:

$4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0 \implies t^2 - 3t - 4 = 0, \quad t = 2^x$

Логарифмирование обеих частей — когда замена не прослеживается:

$3^x = 5^{2-x} \implies x\ln 3 = (2-x)\ln 5$

При использовании замены $t = a^x$ всегда записывай ограничение $t > 0$ — корни $t \le 0$ отбрасываются.

Логарифмические уравнения

Три кита: ОДЗ, приведение к одному основанию, потенцирование.

ОДЗ определяй первым делом. Для $\log_a f(x)$ нужно $f(x) > 0$.

Потенцирование: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ при условии $f(x) > 0$.

Замена — при уравнениях вида $\log^2 x + p\log x + q = 0$:

$t = \log_a x, \quad t^2 + pt + q = 0$

После нахождения $t$ решают $\log_a x = t$, то есть $x = a^t$.

Если $x = a^t$ не попадает в ОДЗ — этот корень не входит в ответ.

Что нужно знать до задания 13

Без этих тем задание 13 не решить:

• Тригонометрические уравнения — формулы корней, методы решения, однородные и уравнения через разложение.
• Отбор корней тригонометрических уравнений — это буквально пункт б задания 13, читай обязательно.
• Логарифмические уравнения — ОДЗ, методы решения, потенцирование.
• Показательные уравнения — замена переменной, логарифмирование.
• Квадратные уравнения — нужны при замене переменной в тригонометрических и показательных уравнениях.
• Теорема Виета — помогает быстро находить корни квадратного уравнения при замене.

Алгоритм решения задания 13

Пункт а — найти все корни:

1. Определи тип уравнения (тригонометрическое / показательное / логарифмическое).
2. Если нужно — запиши ОДЗ.
3. Примени нужный метод: формулу корней / замену переменной / потенцирование.
4. Запиши ответ в виде общей формулы с параметром $n \in \mathbb{Z}$ (для тригонометрических) или конкретными числами (для показательных и логарифмических).
5. Проверь корни на вхождение в ОДЗ — посторонние отбрось.

Пункт б — отбор корней:

1. Возьми общую формулу из пункта а.
2. Подставляй последовательно целые значения $n = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$
3. Для каждого $n$ проверяй: попадает ли $x$ в заданный промежуток.
4. Запиши все подходящие значения $x$ в ответ.

Не забывай: промежуток может быть открытым или закрытым. Если написано $(-\pi; 0)$ — граничные точки не включаются.

Разбор мини-примера

Задание. Решить уравнение $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$ и найти корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 0]$.

Пункт а. Находим все корни.

Вводим замену $t = \cos x$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Дискриминант:

$D = 9 - 8 = 1$

Корни квадратного уравнения:

$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Оба значения лежат в $[-1; 1]$, значит оба дают корни.

Из $\cos x = 1$:

$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Из $\cos x = \dfrac{1}{2}$:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ пункта а: $x = 2\pi n$ и $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбираем корни на $[-\pi; 0]$.

Перебираем серии:

Из $x = 2\pi n$: при $n = 0$ получаем $x = 0 \in [-\pi; 0]$. При $n = -1$: $x = -2\pi < -\pi$ — не подходит.

Из $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 0$ — $x = \dfrac{\pi}{3} > 0$, не входит. При $n = -1$ — $x = \dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3} < -\pi$, не входит.

Из $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 0$ — $x = -\dfrac{\pi}{3} \in [-\pi; 0]$. При $n = -1$ — $x = -\dfrac{\pi}{3} - 2\pi < -\pi$, не входит.

Ответ пункта б: $x = 0$ и $x = -\dfrac{\pi}{3}$.

Типичные ошибки

1. Потеря серии корней. Уравнение $\cos x = \dfrac{1}{2}$ даёт две серии — $+\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$. Записать только одну — потерять часть ответа и балл за пункт а.

2. Ошибка знака в формуле для синуса. Формула $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ — не $x = \arcsin a + \pi n$. Перемена знака при нечётных $n$ важна — без этого серия даёт неверные корни.

3. Не проверять ОДЗ. В логарифмических уравнениях после потенцирования обязательно подставляй корни в ОДЗ. Посторонние корни — типичная причина потери балла в пункте а.

4. Включать граничные точки закрытого промежутка при открытом. Если написано $(-\pi; 0)$ — граница не включается. Проверяй скобки внимательно.

5. Пропускать значения $n$. При отборе корней перебирай $n$ последовательно в обе стороны от нуля, пока значения не выйдут за промежуток. Пропустить $n = -1$ или $n = 1$ — типичная техническая ошибка.

6. Делить на функцию без проверки нуля. Если ты делишь на $\cos x$, сначала рассмотри случай $\cos x = 0$ отдельно. Иначе теряются корни.

Критерии оценивания

Задание 13 оценивается по двухбалльной шкале ФИПИ.

Ключевой момент: 1 балл за пункт а засчитывается только если ошибка вычислительная, а не концептуальная. Если ты выбрал неверный метод решения или потерял целую серию корней — это концептуальная ошибка, пункт а не засчитывается.