Задание 13 ЕГЭ профиль — уравнения и отбор корней

Задание 13 — это 2 балла из части 2 профильного ЕГЭ. Всегда два пункта: найти все корни уравнения, потом отобрать те, что попадают в нужный промежуток. Здесь три типа уравнений — тригонометрические, показательные и логарифмические. Разбираем каждый с полным решением.

Что проверяется в задании 13

Задание 13 стоит в части 2 (без калькулятора, с развёрнутым ответом). Оно проверяет умение решать трансцендентные уравнения и работать с общей формулой корней.

Структура задания фиксирована:

• Пункт а. Реши уравнение. Нужно найти все корни — записать общую формулу.
• Пункт б. Укажи корни, принадлежащие промежутку $[p; q]$ (обычно это отрезок длиной $\pi$ или $2\pi$).

Каждый пункт оценивается в 1 балл. Можно получить 1 балл за правильный пункт а, даже если пункт б не сделан. Ноль за задание возможен только при принципиально неверном подходе.

На ЕГЭ 2026 в задании 13 встречаются три типа уравнений. Иногда в одном задании комбинируются два типа через замену переменной.

Тип 1 — тригонометрические уравнения

Самый частый вид в задании 13. В ЕГЭ-2026 встречается в большинстве вариантов.

Формулы корней — ключевые три

Раскроем формулы для каждой функции:

$\sin x = a \implies x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

где $a$ — значение синуса, $|a| \le 1$.

$\cos x = a \implies x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

где $a$ — значение косинуса, $|a| \le 1$.

$\tan x = a \implies x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

где $a$ — любое вещественное число; тангенс определён при $x \ne \dfrac{\pi}{2} + \pi k$.

Обрати внимание: у синуса в формуле стоит $(-1)^n$ перед арксинусом. Это не опечатка — именно так учитывается симметрия синуса. У косинуса — знак $\pm$ перед арккосинусом, потому что косинус чётный.

Подтипы тригонометрических уравнений

С заменой переменной — сначала квадратное по $t = \sin x$ или $t = \cos x$:

$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

После замены $t = \sin x$ получаем $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Находим корни по $t$, проверяем, что каждый лежит в $[-1; 1]$, затем пишем серии.

Однородные второй степени — содержат только $\sin^2 x$, $\sin x \cos x$ и $\cos^2 x$. Делятся на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \ne 0$) и сводятся к уравнению относительно $\tan x$:

$3\sin^2 x + 2\sin x \cos x - \cos^2 x = 0 \quad \xrightarrow{:\cos^2 x} \quad 3\tan^2 x + 2\tan x - 1 = 0$

После решения не забудь проверить, что $\cos x = 0$ не является решением исходного уравнения (подставь в него).

Через разложение на множители — вынести общий множитель:

$\sin 2x - \sin x = 0 \implies 2\sin x \cos x - \sin x = 0 \implies \sin x(2\cos x - 1) = 0$

Здесь получаем два уравнения: $\sin x = 0$ и $\cos x = \dfrac{1}{2}$.

Отбор корней: два метода

Для отбора корней на промежутке есть два рабочих способа. Выбирай тот, который удобнее для конкретного задания.

Метод 1 — двойное неравенство. Берёшь формулу серии и записываешь условие принадлежности промежутку. Например, серия $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ и промежуток $[0; 2\pi]$:

$0 \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le 2\pi$

Вычитаем $\dfrac{\pi}{3}$ из всех частей:

$-\frac{\pi}{3} \le 2\pi n \le \frac{5\pi}{3}$

Делим на $2\pi$:

$-\frac{1}{6} \le n \le \frac{5}{6}$

Единственное целое $n = 0$, значит $x = \dfrac{\pi}{3}$.

Метод 2 — тригонометрическая окружность. Откладываешь базовое решение на окружности и отмечаешь дугу, соответствующую промежутку. Визуально видно, сколько решений попадает. Удобен, когда промежуток равен $2\pi$ и нужно быстро перебрать несколько серий.

Тип 2 — показательные уравнения

В задании 13 показательные уравнения решаются одним из двух способов.

Замена переменной

Замена $t = a^x$, где обязательно $t > 0$, превращает уравнение в квадратное. После нахождения корней по $t$ каждый нужно проверить: если $t \le 0$, этот корень посторонний — серию для него не пишем.

Пример структуры уравнения:

$4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Замечаем, что $4^x = (2^x)^2$. Обозначим $t = 2^x$, тогда $t > 0$ и:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Это квадратное уравнение с корнями $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба положительны — оба подходят.

Логарифмирование

Когда замена не прослеживается, логарифмируем обе части:

$3^x = 5^{2-x} \implies x\ln 3 = (2-x)\ln 5 \implies x(\ln 3 + \ln 5) = 2\ln 5$

$x = \frac{2\ln 5}{\ln 3 + \ln 5} = \frac{2\ln 5}{\ln 15}$

Тип 3 — логарифмические уравнения

Три обязательных шага для любого логарифмического уравнения в задании 13: ОДЗ, решение, проверка ОДЗ.

Шаг 1 — ОДЗ

Для выражения $\log_a f(x)$ нужно:

• $f(x) > 0$ — аргумент логарифма положителен
• $a > 0$, $a \ne 1$ — основание корректное (в задании основание обычно фиксированное число)

Записывай ОДЗ первым делом, до любых преобразований.

Шаг 2 — решение

Три главных приёма:

Потенцирование: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ при условии $f(x) > 0$. Потенцировать можно только равные логарифмы с одинаковым основанием.

Замена: при уравнениях вида $\log^2_a x + p\log_a x + q = 0$ делаем $t = \log_a x$ и решаем квадратное по $t$. После нахождения $t$ возвращаемся: $\log_a x = t \Rightarrow x = a^t$.

Приведение к одному основанию: формула перехода $\log_b c = \dfrac{\log_a c}{\log_a b}$.

Шаг 3 — проверка ОДЗ

После нахождения корней обязательно подставляешь каждый в ОДЗ. Корни, не удовлетворяющие ОДЗ, — посторонние, их отбрасываешь.

Алгоритм решения задания 13

Пункт а — найти все корни:

1. Определи тип уравнения (тригонометрическое / показательное / логарифмическое).
2. Если нужно — запиши ОДЗ.
3. Примени нужный метод: формулу корней / замену переменной / потенцирование.
4. Запиши ответ в виде общей формулы с параметром $n \in \mathbb{Z}$ (для тригонометрических) или конкретными числами (для показательных и логарифмических).
5. Проверь корни на вхождение в ОДЗ — посторонние отбрось.

Пункт б — отбор корней:

1. Возьми общую формулу из пункта а.
2. Для каждой серии запиши двойное неравенство или воспользуйся единичной окружностью.
3. Подставляй последовательно целые значения $n = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ Перебирай в обе стороны от нуля, пока значения не выйдут за границы промежутка.
4. Запиши все подходящие значения $x$ в ответ.

Не забывай: промежуток может быть открытым или закрытым. Если написано $(-\pi; 0)$ — граничные точки не включаются.

Разбор примеров

Три примера — по одному на каждый тип уравнений.

Пример 1 (тригонометрическое, уровень А) — полный разбор

Условие. Решить уравнение $2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0$ и найти корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 0]$.

Пункт а. Находим все корни.

Вводим замену $t = \cos x$, тогда $t \in [-1; 1]$:

$2t^2 - 3t + 1 = 0$

Дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Корни квадратного уравнения:

$t_1 = \frac{3 + 1}{4} = 1, \quad t_2 = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Оба значения лежат в $[-1; 1]$, значит оба дают корни тригонометрического уравнения.

Из $\cos x = 1$:

$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Из $\cos x = \dfrac{1}{2}$:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Ответ пункта а: $x = 2\pi n$ и $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пункт б. Отбираем корни на $[-\pi; 0]$.

Из серии $x = 2\pi n$: при $n = 0$ — $x = 0 \in [-\pi; 0]$. При $n = -1$ — $x = -2\pi \approx -6{,}28 < -\pi$ — не входит.

Из серии $x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 0$ — $x = \dfrac{\pi}{3} > 0$ — не входит. При $n = -1$ — $x = \dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3} \approx -5{,}24 < -\pi$ — не входит.

Из серии $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$: при $n = 0$ — $x = -\dfrac{\pi}{3} \approx -1{,}05 \in [-\pi; 0]$ — входит. При $n = -1$ — $x = -\dfrac{\pi}{3} - 2\pi < -\pi$ — не входит.

Ответ пункта б: $x = 0$ и $x = -\dfrac{\pi}{3}$.

Типичная ошибка. Потерять серию $x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ и написать только $x = 0$. Обе серии от $\cos x = \dfrac{1}{2}$ нужно перебирать независимо.

Пример 2 (показательное, уровень Б) — один шаг свёрнут

Условие. Решить уравнение $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ и найти корни, принадлежащие промежутку $[-1; 3]$.

Пункт а. Находим все корни.

Замечаем, что $4^x = (2^x)^2$. Обозначим $t = 2^x$, тогда $t > 0$ и:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Корни: $(t - 1)(t - 4) = 0$, то есть $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

Попробуй сам: проверь, оба ли корня $t_1$ и $t_2$ удовлетворяют условию $t > 0$, и напиши соответствующие значения $x$. Ответ ниже.

Пункт б. Отбираем корни на $[-1; 3]$.

Оба найденных значения: $x = 0 \in [-1; 3]$ — входит. $x = 2 \in [-1; 3]$ — входит.

Ответ пункта б: $x \in \{0;\, 2\}$.

Типичная ошибка. Не проверить условие $t > 0$ при замене. Если бы корень квадратного уравнения по $t$ получился отрицательным — его нужно отбросить, не переходя к $2^x = t$.

Пример 3 (логарифмическое, уровень В) — два шага свёрнуты

Условие. Решить уравнение $\log_2(x - 1) + \log_2(x + 1) = 3$.

Пункт а — skeleton решения:

Шаг 1 (ОДЗ): запиши систему неравенств для аргументов обоих логарифмов. Что получается?

Шаг 2 (преобразование): примени свойство $\log_a m + \log_a n = \log_a(mn)$ и потенцируй. Что получается?

Итоговая проверка: оба ли корня $x = 3$ и $x = -3$ входят в ОДЗ?

Типичная ошибка. Не проверить $x = -3$ на ОДЗ и записать оба корня. В задании 13 посторонний корень — концептуальная ошибка в пункте а, балл не засчитывается.

Типичные ошибки

1. Потеря серии корней. Уравнение $\cos x = \dfrac{1}{2}$ даёт две серии — $+\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$. Записать только одну — потерять часть ответа и балл за пункт а.

2. Ошибка знака в формуле для синуса. Формула $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ — не $x = \arcsin a + \pi n$. Перемена знака при нечётных $n$ важна — без неё серия даёт неверные корни.

3. Не проверять ОДЗ. В логарифмических уравнениях после потенцирования обязательно подставляй корни в ОДЗ. Посторонние корни — типичная причина потери балла в пункте а.

4. Путать открытый и закрытый промежуток. Если написано $(-\pi; 0)$ — граница не включается. Проверяй скобки внимательно.

5. Пропускать значения $n$. При отборе корней перебирай $n$ последовательно в обе стороны от нуля, пока значения не выйдут за промежуток. Пропустить $n = -1$ — типичная техническая ошибка.

6. Делить на функцию без проверки нуля. Если делишь на $\cos x$, сначала рассмотри случай $\cos x = 0$ отдельно. Иначе теряются корни.

7. Не проверять $t > 0$ в показательных уравнениях. После замены $t = a^x$ квадратное уравнение может дать $t \le 0$. Такие корни по $t$ отбрасываются — продолжать для них нельзя.

Критерии оценивания

Задание 13 оценивается по двухбалльной шкале ФИПИ.

Ключевой момент: 1 балл за пункт а засчитывается только если ошибка в пункте б вычислительная, а не концептуальная. Потерял серию корней в пункте а — это концептуальная ошибка, пункт а не засчитывается.

Подробнее о системе баллов: Критерии оценивания ЕГЭ профиль — там разобрано, почему именно на отборе корней теряют второй балл.

Связанные темы и задания — hub

Задание 13 проверяет сразу несколько тем. Вот карта того, что нужно знать.

К базовым темам:

• Тригонометрические уравнения — первый и главный тип задания 13: формулы корней, методы, однородные уравнения.
• Отбор корней тригонометрических уравнений — это буквально пункт б задания 13. Читай обязательно.
• Показательные уравнения — второй тип: замена переменной и логарифмирование.
• Логарифмические уравнения — третий тип: ОДЗ, потенцирование, замена.
• Формулы тригонометрии — инструментарий для преобразований перед решением тригонометрического уравнения.

К заданиям и критериям:

• Все задания ЕГЭ профиль — посмотреть, где задание 13 стоит в структуре варианта и сколько баллов оно даёт относительно остальных.
• Критерии оценивания ЕГЭ профиль — почему за правильно найденные корни и неверный отбор дают только 1 балл.

Часто задаваемые вопросы