Сколько баллов даёт задание 13 на ЕГЭ?

2 балла за полное решение. Пункт а — 1 балл (найти все корни уравнения). Пункт б — 1 балл (отобрать корни, принадлежащие заданному промежутку). Если решить только пункт а — получишь 1 балл.

Что значит «отбор корней» в задании 13?

Нужно из общего выражения для всех корней уравнения (серии $x = \ldots + \pi n$ или $x = \ldots + 2\pi n$) выбрать те, которые попадают в конкретный числовой промежуток — например, $[-\pi; 0]$ или $[0; 2\pi]$. Для этого подставляют разные целые значения $n$ и проверяют принадлежность.

Какие типы уравнений встречаются в задании 13?

Три основных типа. Тригонометрические — самые частые. Показательные — уравнения вида $a^{f(x)} = b^{g(x)}$, решаются логарифмированием или заменой. Логарифмические — требуют ОДЗ и осторожного потенцирования. Иногда встречаются комбинированные типы с заменой переменной.

Как решать уравнение $\sin x = a$?

Если $|a| \le 1$, то $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. При $|a| > 1$ решений нет. Если $a = 0, \pm 1$, ответ записывается проще — без арксинуса.

Обязательно ли записывать ОДЗ для тригонометрических уравнений?

Для простых тригонометрических уравнений ОДЗ не накладывает дополнительных ограничений — синус и косинус определены для всех $x$. Но если в уравнении есть логарифм или дробь, ОДЗ обязательна — посторонние корни нужно исключить.

Что делать, если замена переменной даёт корень вне допустимой области?

Такой корень нужно отбросить. Например, при замене $t = \sin x$ уравнение превращается в квадратное. Если один из корней квадратного уравнения по $t$ лежит вне $[-1; 1]$ — серию корней для него не пишем.

Как понять, к какому типу относится уравнение в задании?

Смотри на функции, которые стоят в уравнении. Если $\sin$, $\cos$, $\tan$ — тригонометрика. Если $a^x$ или $e^x$ — показательное. Если $\log$ — логарифмическое. Часто встречается комбо, где показательное решается логарифмированием или заменой $t = a^x$.

Можно ли в задании 13 получить 1 балл, не делая пункт б?

Да. Пункт а и пункт б оцениваются отдельно. Если ты нашёл все корни (пункт а) правильно — получаешь 1 балл, даже если пункт б не выполнен или сделан с ошибкой. Но за полное решение — 2 балла.

Как отбирать корни тригонометрического уравнения через единичную окружность?

Нарисуй единичную окружность и отметь на ней все решения уравнения в пределах одного периода. Затем посмотри, какие из этих точек вместе с периодическими сдвигами на $2\pi n$ попадают в нужный промежуток. Это быстрее, чем перебор — особенно когда промежуток длиной $2\pi$.

Почему при отборе корней логарифмического уравнения снова нужна ОДЗ?

Потому что общее решение уравнения (после потенцирования) включает все числа, которые обнуляют разность. Но ОДЗ ограничивает область допустимых значений ещё до решения. Корень может удовлетворять уравнению в алгебраическом смысле, но не попадать в ОДЗ — тогда он посторонний.

Задание 13 ЕГЭ математика профиль — уравнения и отбор корней

Задание 13 — это 2 балла из части 2 профильного ЕГЭ. Всегда два пункта: найти все корни уравнения, потом отобрать те, что попадают в нужный промежуток. Здесь три типа уравнений — тригонометрические, показательные и логарифмические. Разбираем каждый с полным решением.

Что проверяется в задании 13

Задание 13 стоит в части 2 (без калькулятора, с развёрнутым ответом). Оно проверяет умение решать трансцендентные уравнения и работать с общей формулой корней.

Структура задания фиксирована:

Пункт а. Реши уравнение. Нужно найти все корни — записать общую формулу.
Пункт б. Укажи корни, принадлежащие промежутку $[p; q]$ (обычно это отрезок длиной $π$ или $2 π$ ).

Каждый пункт оценивается в 1 балл. Можно получить 1 балл за правильный пункт а, даже если пункт б не сделан. Ноль за задание возможен только при принципиально неверном подходе.

На ЕГЭ 2026 в задании 13 встречаются три типа уравнений. Иногда в одном задании комбинируются два типа через замену переменной.

Тип 1 — тригонометрические уравнения

Самый частый вид в задании 13. В ЕГЭ-2026 встречается в большинстве вариантов.

Формулы корней — ключевые три

Раскроем формулы для каждой функции:

$sin x = a ⟹ x = (- 1)^{n} arcsin a + π n, n \in Z$

где $a$ — значение синуса, $∣ a ∣ \leq 1$ .

$cos x = a ⟹ x = \pm arccos a + 2 π n, n \in Z$

где $a$ — значение косинуса, $∣ a ∣ \leq 1$ .

$tan x = a ⟹ x = arctan a + π n, n \in Z$

где $a$ — любое вещественное число; тангенс определён при $x \neq = \frac{π}{2} + π k$ .

Обрати внимание: у синуса в формуле стоит $(- 1)^{n}$ перед арксинусом. Это не опечатка — именно так учитывается симметрия синуса. У косинуса — знак $\pm$ перед арккосинусом, потому что косинус чётный.

Подтипы тригонометрических уравнений

С заменой переменной — сначала квадратное по $t = sin x$ или $t = cos x$ :

$2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$

После замены $t = sin x$ получаем $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$ . Находим корни по $t$ , проверяем, что каждый лежит в $[- 1; 1]$ , затем пишем серии.

Однородные второй степени — содержат только $sin^{2} x$ , $sin x cos x$ и $cos^{2} x$ . Делятся на $cos^{2} x$ (при условии $cos x \neq = 0$ ) и сводятся к уравнению относительно $tan x$ :

$3 sin^{2} x + 2 sin x cos x - cos^{2} x = 0 : c o s^{2} x 3 tan^{2} x + 2 tan x - 1 = 0$

После решения не забудь проверить, что $cos x = 0$ не является решением исходного уравнения (подставь в него).

Через разложение на множители — вынести общий множитель:

$sin 2 x - sin x = 0 ⟹ 2 sin x cos x - sin x = 0 ⟹ sin x (2 cos x - 1) = 0$

Здесь получаем два уравнения: $sin x = 0$ и $cos x = \frac{1}{2}$ .

Отбор корней: два метода

Для отбора корней на промежутке есть два рабочих способа. Выбирай тот, который удобнее для конкретного задания.

Метод 1 — двойное неравенство. Берёшь формулу серии и записываешь условие принадлежности промежутку. Например, серия $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ и промежуток $[0; 2 π]$ :

$0 \leq \frac{π}{3} + 2 π n \leq 2 π$

Вычитаем $\frac{π}{3}$ из всех частей:

$- \frac{π}{3} \leq 2 π n \leq \frac{5 π}{3}$

Делим на $2 π$ :

$- \frac{1}{6} \leq n \leq \frac{5}{6}$

Единственное целое $n = 0$ , значит $x = \frac{π}{3}$ .

Метод 2 — тригонометрическая окружность. Откладываешь базовое решение на окружности и отмечаешь дугу, соответствующую промежутку. Визуально видно, сколько решений попадает. Удобен, когда промежуток равен $2 π$ и нужно быстро перебрать несколько серий.

Тип 2 — показательные уравнения

В задании 13 показательные уравнения решаются одним из двух способов.

Замена переменной

Замена $t = a^{x}$ , где обязательно $t > 0$ , превращает уравнение в квадратное. После нахождения корней по $t$ каждый нужно проверить: если $t \leq 0$ , этот корень посторонний — серию для него не пишем.

Пример структуры уравнения:

$4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$

Замечаем, что $4^{x} = (2^{x})^{2}$ . Обозначим $t = 2^{x}$ , тогда $t > 0$ и:

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$

Это квадратное уравнение с корнями $t_{1} = 1$ и $t_{2} = 4$ . Оба положительны — оба подходят.

Логарифмирование

Когда замена не прослеживается, логарифмируем обе части:

$3^{x} = 5^{2 - x} ⟹ x ln 3 = (2 - x) ln 5 ⟹ x (ln 3 + ln 5) = 2 ln 5$

$x = \frac{2 l n 5}{l n 3 + l n 5} = \frac{2 l n 5}{l n 15}$

Тип 3 — логарифмические уравнения

Три обязательных шага для любого логарифмического уравнения в задании 13: ОДЗ, решение, проверка ОДЗ.

Шаг 1 — ОДЗ

Для выражения $lo g_{a} f (x)$ нужно:

$f (x) > 0$ — аргумент логарифма положителен
$a > 0$ , $a \neq = 1$ — основание корректное (в задании основание обычно фиксированное число)

Записывай ОДЗ первым делом, до любых преобразований.

Шаг 2 — решение

Три главных приёма:

Потенцирование: $lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x)$ при условии $f (x) > 0$ . Потенцировать можно только равные логарифмы с одинаковым основанием.

Замена: при уравнениях вида $lo g_{a}^{2} x + p lo g_{a} x + q = 0$ делаем $t = lo g_{a} x$ и решаем квадратное по $t$ . После нахождения $t$ возвращаемся: $lo g_{a} x = t \Rightarrow x = a^{t}$ .

Приведение к одному основанию: формула перехода $lo g_{b} c = \frac{lo g _{a} c}{lo g _{a} b}$ .

Шаг 3 — проверка ОДЗ

После нахождения корней обязательно подставляешь каждый в ОДЗ. Корни, не удовлетворяющие ОДЗ, — посторонние, их отбрасываешь.

Алгоритм решения задания 13

Пункт а — найти все корни:

Определи тип уравнения (тригонометрическое / показательное / логарифмическое).
Если нужно — запиши ОДЗ.
Примени нужный метод: формулу корней / замену переменной / потенцирование.
Запиши ответ в виде общей формулы с параметром $n \in Z$ (для тригонометрических) или конкретными числами (для показательных и логарифмических).
Проверь корни на вхождение в ОДЗ — посторонние отбрось.

Пункт б — отбор корней:

Возьми общую формулу из пункта а.
Для каждой серии запиши двойное неравенство или воспользуйся единичной окружностью.
Подставляй последовательно целые значения $n = \dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$ Перебирай в обе стороны от нуля, пока значения не выйдут за границы промежутка.
Запиши все подходящие значения $x$ в ответ.

Не забывай: промежуток может быть открытым или закрытым. Если написано $(- π; 0)$ — граничные точки не включаются.

Разбор примеров

Три примера — по одному на каждый тип уравнений.

Пример 1 (тригонометрическое, уровень А) — полный разбор

Условие. Решить уравнение $2 cos^{2} x - 3 cos x + 1 = 0$ и найти корни, принадлежащие отрезку $[- π; 0]$ .

Пункт а. Находим все корни.

Вводим замену $t = cos x$ , тогда $t \in [- 1; 1]$ :

$2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$

Дискриминант:

$D = (- 3)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

Корни квадратного уравнения:

$t_{1} = \frac{3 + 1}{4} = 1, t_{2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$

Оба значения лежат в $[- 1; 1]$ , значит оба дают корни тригонометрического уравнения.

Из $cos x = 1$ :

$x = 2 π n, n \in Z$

Из $cos x = \frac{1}{2}$ :

$x = \pm \frac{π}{3} + 2 π n, n \in Z$

Ответ пункта а: $x = 2 π n$ и $x = \pm \frac{π}{3} + 2 π n$ , $n \in Z$ .

Пункт б. Отбираем корни на $[- π; 0]$ .

Из серии $x = 2 π n$ : при $n = 0$ — $x = 0 \in [- π; 0]$ . При $n = - 1$ — $x = - 2 π \approx - 6, 28 < - π$ — не входит.

Из серии $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ : при $n = 0$ — $x = \frac{π}{3} > 0$ — не входит. При $n = - 1$ — $x = \frac{π}{3} - 2 π = - \frac{5 π}{3} \approx - 5, 24 < - π$ — не входит.

Из серии $x = - \frac{π}{3} + 2 π n$ : при $n = 0$ — $x = - \frac{π}{3} \approx - 1, 05 \in [- π; 0]$ — входит. При $n = - 1$ — $x = - \frac{π}{3} - 2 π < - π$ — не входит.

Ответ пункта б: $x = 0$ и $x = - \frac{π}{3}$ .

Типичная ошибка. Потерять серию $x = - \frac{π}{3} + 2 π n$ и написать только $x = 0$ . Обе серии от $cos x = \frac{1}{2}$ нужно перебирать независимо.

Пример 2 (показательное, уровень Б) — один шаг свёрнут

Условие. Решить уравнение $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ и найти корни, принадлежащие промежутку $[- 1; 3]$ .

Пункт а. Находим все корни.

Замечаем, что $4^{x} = (2^{x})^{2}$ . Обозначим $t = 2^{x}$ , тогда $t > 0$ и:

$t^{2} - 5 t + 4 = 0$

Корни: $(t - 1) (t - 4) = 0$ , то есть $t_{1} = 1$ , $t_{2} = 4$ .

Попробуй сам: проверь, оба ли корня $t_{1}$ и $t_{2}$ удовлетворяют условию $t > 0$ , и напиши соответствующие значения $x$ . Ответ ниже.

Проверка

$t_{1} = 1 > 0$ — подходит. $2^{x} = 1 \Rightarrow x = 0$ .

$t_{2} = 4 > 0$ — подходит. $2^{x} = 4 = 2^{2} \Rightarrow x = 2$ .

Ответ пункта а: $x = 0$ и $x = 2$ .

Пункт б. Отбираем корни на $[- 1; 3]$ .

Оба найденных значения: $x = 0 \in [- 1; 3]$ — входит. $x = 2 \in [- 1; 3]$ — входит.

Ответ пункта б: $x \in {0; 2}$ .

Типичная ошибка. Не проверить условие $t > 0$ при замене. Если бы корень квадратного уравнения по $t$ получился отрицательным — его нужно отбросить, не переходя к $2^{x} = t$ .

Пример 3 (логарифмическое, уровень В) — два шага свёрнуты

Условие. Решить уравнение $lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1) = 3$ .

Пункт а — skeleton решения:

Шаг 1 (ОДЗ): запиши систему неравенств для аргументов обоих логарифмов. Что получается?

Шаг 1

Нужно $x - 1 > 0$ и $x + 1 > 0$ . Первое условие строже: $x > 1$ . ОДЗ: $x > 1$ .

Шаг 2 (преобразование): примени свойство $lo g_{a} m + lo g_{a} n = lo g_{a} (mn)$ и потенцируй. Что получается?

Шаг 2

Раскроем сумму логарифмов:

$lo g_{2} ((x - 1) (x + 1)) = 3 ⟹ (x - 1) (x + 1) = 2^{3} = 8$

$x^{2} - 1 = 8 ⟹ x^{2} = 9 ⟹ x = \pm 3$

Итоговая проверка: оба ли корня $x = 3$ и $x = - 3$ входят в ОДЗ?

Итоговая проверка

ОДЗ: $x > 1$ . Корень $x = 3 > 1$ — подходит. Корень $x = - 3 < 1$ — посторонний, отбрасываем.

Ответ пункта а: $x = 3$ .

Типичная ошибка. Не проверить $x = - 3$ на ОДЗ и записать оба корня. В задании 13 посторонний корень — концептуальная ошибка в пункте а, балл не засчитывается.

Типичные ошибки

1. Потеря серии корней. Уравнение $cos x = \frac{1}{2}$ даёт две серии — $+ \frac{π}{3} + 2 π n$ и $- \frac{π}{3} + 2 π n$ . Записать только одну — потерять часть ответа и балл за пункт а.

2. Ошибка знака в формуле для синуса. Формула $x = (- 1)^{n} arcsin a + π n$ — не $x = arcsin a + π n$ . Перемена знака при нечётных $n$ важна — без неё серия даёт неверные корни.

3. Не проверять ОДЗ. В логарифмических уравнениях после потенцирования обязательно подставляй корни в ОДЗ. Посторонние корни — типичная причина потери балла в пункте а.

4. Путать открытый и закрытый промежуток. Если написано $(- π; 0)$ — граница не включается. Проверяй скобки внимательно.

5. Пропускать значения $n$ . При отборе корней перебирай $n$ последовательно в обе стороны от нуля, пока значения не выйдут за промежуток. Пропустить $n = - 1$ — типичная техническая ошибка.

6. Делить на функцию без проверки нуля. Если делишь на $cos x$ , сначала рассмотри случай $cos x = 0$ отдельно. Иначе теряются корни.

7. Не проверять $t > 0$ в показательных уравнениях. После замены $t = a^{x}$ квадратное уравнение может дать $t \leq 0$ . Такие корни по $t$ отбрасываются — продолжать для них нельзя.

Критерии оценивания

Задание 13 оценивается по двухбалльной шкале ФИПИ.

Ситуация	Баллы
Верно решены оба пункта (а и б)	2
Верно решён пункт а (все корни найдены), пункт б отсутствует или содержит только вычислительную ошибку	1
Пункт а содержит концептуальную ошибку (неверный метод, потеря серий, посторонний корень не отброшен)	0 за пункт а
Принципиальная ошибка в методе решения	0

Ключевой момент: 1 балл за пункт а засчитывается только если ошибка в пункте б вычислительная, а не концептуальная. Потерял серию корней в пункте а — это концептуальная ошибка, пункт а не засчитывается.

Подробнее о системе баллов: Критерии оценивания ЕГЭ профиль — там разобрано, почему именно на отборе корней теряют второй балл.

Связанные темы и задания — hub

Задание 13 проверяет сразу несколько тем. Вот карта того, что нужно знать.

К базовым темам:

Тригонометрические уравнения — первый и главный тип задания 13: формулы корней, методы, однородные уравнения.
Отбор корней тригонометрических уравнений — это буквально пункт б задания 13. Читай обязательно.
Показательные уравнения — второй тип: замена переменной и логарифмирование.
Логарифмические уравнения — третий тип: ОДЗ, потенцирование, замена.
Формулы тригонометрии — инструментарий для преобразований перед решением тригонометрического уравнения.

К заданиям и критериям:

Все задания ЕГЭ профиль — посмотреть, где задание 13 стоит в структуре варианта и сколько баллов оно даёт относительно остальных.
Критерии оценивания ЕГЭ профиль — почему за правильно найденные корни и неверный отбор дают только 1 балл.

Проверь, где у тебя пробелы

В Сотах адаптивная практика по твоему уровню: система подбирает задачи и показывает пробелы в знаниях.

Попробовать бесплатно

Задание 13 ЕГЭ профиль — уравнения и отбор корней