Свойства прямоугольного треугольника: гипотенуза, катеты, тригонометрия

Прямоугольный треугольник — основа всей планиметрической части ЕГЭ. Его свойства нужны и в задании 1 (базовые вычисления), и в задании 16 (сложная планиметрия).

Определение и основные элементы

Прямоугольный треугольник — треугольник с одним прямым углом ($90°$).

Обозначения: прямой угол — $\angle C=90°$, катеты — $a=BC$, $b=AC$, гипотенуза — $c=AB$.

Ключевое свойство: сумма двух острых углов = 90°, то есть $\angle A+\angle B=90°$.

Теорема Пифагора

$c^2=a^2+b^2$

Гипотенуза: $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

Катет: $a=\sqrt{c^2-b^2}$.

Проверка прямоугольности: если $a^2+b^2=c^2$, то треугольник прямоугольный (обратная теорема).

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Для острого угла $\angle A$ ($a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий, $c$ — гипотенуза):

$\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c},\mathrm{tg}A=\frac{a}{b},\mathrm{ctg}A=\frac{b}{a}$

Связь углов: $\angle B=90°-\angle A$, поэтому: $\sin B=\cos A,\cos B=\sin A,\mathrm{tg}B=\mathrm{ctg}A$

Нахождение сторон по гипотенузе и углу: $a=c\cdot \sin A,b=c\cdot \cos A$

Нахождение сторон по катету и углу: $a=b\cdot \mathrm{tg}A,b=a\cdot \mathrm{ctg}A$

Площадь

$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}{c}^2\sin A\cos A=\frac{c^2\sin 2A}{4}$

Также: $S=\frac{1}{2}ab=rs$, где $r$ — радиус вписанной окружности, $s=\frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Медиана к гипотенузе

Свойство: Медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $m_c=\frac{c}{2}$

Следствие: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности: $R=\frac{c}{2}$

Это мощный инструмент: если нужно найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника — это просто половина гипотенузы.

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности: $r=\frac{a+b-c}{2}$

Доказательство: $r=\frac{S}{p}=\frac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a+b+c}{2}}=\frac{ab}{a+b+c}$. Также, подставив $c=\sqrt{a^2+b^2}$ и упростив, получается $r=\frac{a+b-c}{2}$.

Высота из прямого угла: Высота $h$, опущенная из прямого угла $C$ на гипотенузу: $h=\frac{ab}{c}$

Проекции катетов на гипотенузу: $a^2=c\cdot a^{\prime },b^2=c\cdot b^{\prime }$

где $a^{\prime }$ и $b^{\prime }$ — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу ($a^{\prime }+b^{\prime }=c$).

Специальные прямоугольные треугольники

Треугольник 30°-60°-90°:

Если $\angle A=30°$, $\angle B=60°$, $\angle C=90°$: $a:b:c=1:\sqrt{3}:2$

При катете $a$ (противолежащий 30°): $b=a\sqrt{3}$, $c=2a$.

Треугольник 45°-45°-90°:

Если $\angle A=\angle B=45°$: $a=b,c=a\sqrt{2}$

При катете $a$: гипотенуза $c=a\sqrt{2}$.

Примеры задач

Пример 1 (уровень А). В прямоугольном треугольнике $\angle C=90°$, $\angle A=30°$, гипотенуза $c=10$. Найти катеты.

$a=c\sin A=10\cdot \sin 30°=10\cdot \frac{1}{2}=5$.

$b=c\cos A=10\cdot \cos 30°=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$.

Ответ: $a=5$, $b=5\sqrt{3}$.

Пример 2 (уровень А). Катеты прямоугольного треугольника: $a=6$, $b=8$. Найти гипотенузу, площадь и радиус вписанной окружности.

$c=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24$.

$r=\frac{6+8-10}{2}=\frac{4}{2}=2$.

Ответ: $c=10$, $S=24$, $r=2$.

Пример 3 (уровень Б). В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна 7. Найти гипотенузу и радиус описанной окружности.

$m_c=\frac{c}{2}=7\Rightarrow c=14$.

$R=\frac{c}{2}=7$.

Ответ: $c=14$, $R=7$.

Пример 4 (уровень Б, задание 16). Высота из прямого угла к гипотенузе делит гипотенузу на части 4 и 9. Найти катеты.

$a^{\prime }=4$, $b^{\prime }=9$, $c=4+9=13$.

$a=\sqrt{c\cdot a^{\prime }}=\sqrt{13\cdot 4}=2\sqrt{13}$.

$b=\sqrt{c\cdot b^{\prime }}=\sqrt{13\cdot 9}=3\sqrt{13}$.

Проверка: $a^2+b^2=4\cdot 13+9\cdot 13=169=c^2$ ✓.

Ответ: $a=2\sqrt{13}$, $b=3\sqrt{13}$.

Связь с другими темами

• Теорема Пифагора — основная формула.
• Обратная теорема Пифагора — признак прямоугольности.
• Свойства окружности — вписанная и описанная окружности.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 — базовые вычисления в прямоугольном треугольнике.
• Задание 16 — сложные планиметрические задачи с прямоугольными треугольниками.