Свойства прямоугольного треугольника: гипотенуза, катеты, тригонометрия

Прямоугольный треугольник — основа всей планиметрической части ЕГЭ. Его свойства нужны и в задании 1 (базовые вычисления), и в задании 16 (сложная планиметрия).

Определение и основные элементы

Прямоугольный треугольник — треугольник с одним прямым углом ($90°$).

Обозначения: прямой угол — $\angle C = 90°$, катеты — $a = BC$, $b = AC$, гипотенуза — $c = AB$.

Ключевое свойство: сумма двух острых углов = 90°, то есть $\angle A + \angle B = 90°$.

Теорема Пифагора

$c^2 = a^2 + b^2$

Гипотенуза: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Катет: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$.

Проверка прямоугольности: если $a^2 + b^2 = c^2$, то треугольник прямоугольный (обратная теорема).

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Для острого угла $\angle A$ ($a$ — противолежащий катет, $b$ — прилежащий, $c$ — гипотенуза):

$\sin A = \frac{a}{c}, \quad \cos A = \frac{b}{c}, \quad \tg A = \frac{a}{b}, \quad \ctg A = \frac{b}{a}$

Связь углов: $\angle B = 90° - \angle A$, поэтому: $\sin B = \cos A, \quad \cos B = \sin A, \quad \tg B = \ctg A$

Нахождение сторон по гипотенузе и углу: $a = c \cdot \sin A, \quad b = c \cdot \cos A$

Нахождение сторон по катету и углу: $a = b \cdot \tg A, \quad b = a \cdot \ctg A$

Площадь

$S = \frac{1}{2} ab = \frac{1}{2} c^2 \sin A \cos A = \frac{c^2 \sin 2A}{4}$

Также: $S = \frac{1}{2} ab = rs$, где $r$ — радиус вписанной окружности, $s = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Медиана к гипотенузе

Свойство: Медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $m_c = \frac{c}{2}$

Следствие: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине гипотенузы. Радиус описанной окружности: $R = \frac{c}{2}$

Это мощный инструмент: если нужно найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника — это просто половина гипотенузы.

Вписанная окружность

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a + b - c}{2}$

Доказательство: $r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{\frac{1}{2}ab}{\frac{a+b+c}{2}} = \dfrac{ab}{a+b+c}$. Также, подставив $c = \sqrt{a^2+b^2}$ и упростив, получается $r = \dfrac{a+b-c}{2}$.

Высота из прямого угла: Высота $h$, опущенная из прямого угла $C$ на гипотенузу: $h = \frac{ab}{c}$

Проекции катетов на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a', \quad b^2 = c \cdot b'$

где $a'$ и $b'$ — проекции катетов $a$ и $b$ на гипотенузу ($a' + b' = c$).

Специальные прямоугольные треугольники

Треугольник 30°-60°-90°:

Если $\angle A = 30°$, $\angle B = 60°$, $\angle C = 90°$: $a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$

При катете $a$ (противолежащий 30°): $b = a\sqrt{3}$, $c = 2a$.

Треугольник 45°-45°-90°:

Если $\angle A = \angle B = 45°$: $a = b, \quad c = a\sqrt{2}$

При катете $a$: гипотенуза $c = a\sqrt{2}$.

Примеры задач

Пример 1 (уровень А). В прямоугольном треугольнике $\angle C = 90°$, $\angle A = 30°$, гипотенуза $c = 10$. Найти катеты.

$a = c \sin A = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$.

$b = c \cos A = 10 \cdot \cos 30° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$.

Ответ: $a = 5$, $b = 5\sqrt{3}$.

Пример 2 (уровень А). Катеты прямоугольного треугольника: $a = 6$, $b = 8$. Найти гипотенузу, площадь и радиус вписанной окружности.

$c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Ответ: $c = 10$, $S = 24$, $r = 2$.

Пример 3 (уровень Б). В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна 7. Найти гипотенузу и радиус описанной окружности.

$m_c = \frac{c}{2} = 7 \Rightarrow c = 14$.

$R = \frac{c}{2} = 7$.

Ответ: $c = 14$, $R = 7$.

Пример 4 (уровень Б, задание 16). Высота из прямого угла к гипотенузе делит гипотенузу на части 4 и 9. Найти катеты.

$a' = 4$, $b' = 9$, $c = 4 + 9 = 13$.

$a = \sqrt{c \cdot a'} = \sqrt{13 \cdot 4} = 2\sqrt{13}$.

$b = \sqrt{c \cdot b'} = \sqrt{13 \cdot 9} = 3\sqrt{13}$.

Проверка: $a^2 + b^2 = 4 \cdot 13 + 9 \cdot 13 = 169 = c^2$ ✓.

Ответ: $a = 2\sqrt{13}$, $b = 3\sqrt{13}$.

Связь с другими темами

• Теорема Пифагора — основная формула.
• Обратная теорема Пифагора — признак прямоугольности.
• Свойства окружности — вписанная и описанная окружности.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 — базовые вычисления в прямоугольном треугольнике.
• Задание 16 — сложные планиметрические задачи с прямоугольными треугольниками.