Основное тригонометрическое тождество: sin²+cos²=1

Основное тригонометрическое тождество — фундамент всей тригонометрии. Из него выводятся формулы двойного угла, формулы сложения и другие ключевые соотношения. Это одна формула, на которой держится половина задания 13 и почти все вычисления в задании 6. Если ты освоишь только одно соотношение из тригонометрии, пусть это будет именно оно.

Тождество и его геометрический смысл

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Это равенство верно для любого значения $x$ — отсюда и называется тождеством (не уравнением).

Вывод из единичной окружности. По определению, для угла $x$ координаты точки на единичной окружности — это $(\cos x, \sin x)$. Расстояние от начала координат до любой точки единичной окружности равно 1. По теореме Пифагора:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1^2 = 1$

Всё. Тождество вырастает прямо из теоремы Пифагора, применённой к прямоугольному треугольнику внутри окружности: горизонтальный катет это $\cos x$, вертикальный это $\sin x$, а гипотенуза — радиус, равный 1. Поэтому запомнить его легко: это Пифагор для единичной окружности.

Слово «тождество» здесь принципиально. Уравнение верно только при некоторых значениях переменной, а тождество — при всех. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ выполняется для любого угла $x$, без исключений. Это значит, что единицу в любой тригонометрической задаче можно безопасно заменить на $\sin^2 x + \cos^2 x$, и наоборот. Этот приём подмены — один из самых частых в задании 13.

Давай разберём геометрический смысл чуть подробнее, потому что именно он делает формулу очевидной. Возьми единичную окружность — окружность радиуса один с центром в начале координат. Любая точка на ней задаётся углом поворота. Если повернуть радиус на угол $x$ от положительного направления оси, конец радиуса окажется в точке с координатами $(\cos x;\ \sin x)$. Это и есть определение синуса и косинуса через окружность: косинус — горизонтальная координата точки, синус — вертикальная. Теперь опусти из этой точки перпендикуляр на ось. Получился прямоугольный треугольник: горизонтальный катет длиной $\cos x$, вертикальный катет длиной $\sin x$, гипотенуза — сам радиус длиной один. Теорема Пифагора для этого треугольника и даёт $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Вот почему формула верна для любого угла: на какой бы угол ты ни повернул радиус, треугольник всегда вписан в окружность радиуса один, и Пифагор работает всегда.

Следствия: выражение одной функции через другую

Главная практическая польза тождества в том, что оно связывает синус и косинус. Зная одно, можно найти другое. Просто переносим слагаемое и извлекаем корень.

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \quad \Rightarrow \quad \cos x = \pm\sqrt{1 - \sin^2 x}$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \quad \Rightarrow \quad \sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$

Обрати внимание на знак $\pm$ перед корнем. Тождество даёт только квадрат функции, а сам квадрат не различает плюс и минус: и $0{,}8$, и $-0{,}8$ при возведении в квадрат дают $0{,}64$. Поэтому знак приходится определять отдельно, по четверти, в которой лежит угол. Это самый ответственный момент: пропустишь знак — получишь неверный ответ.

Знак «±» определяется по четверти угла $x$.

Следствия через тангенс и котангенс

Из основного тождества рождаются ещё два полезных соотношения. Получают их делением. Делим обе части на $\cos^2 x$ (при $\cos x \neq 0$):

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\tg^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

Это тождество — мост между тангенсом и косинусом. Оно нужно, когда в задаче дан $\tg x$, а требуется найти $\cos x$, или наоборот. Логика та же, что у основного тождества: одна формула связывает две функции, и зная одну, ты выражаешь другую.

Аналогично делим основное тождество на $\sin^2 x$ (при $\sin x \neq 0$) и получаем мост между котангенсом и синусом:

$1 + \ctg^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

Эти два следствия не нужно зубрить отдельно: они выводятся из основного тождества за один шаг деления. Если забыл формулу на экзамене, восстанови её, разделив $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ на нужный квадрат. Это надёжнее, чем держать в памяти три отдельные формулы.

Когда какое следствие применять, тоже понятно из логики. Если в задаче дан тангенс и нужно найти косинус, бери формулу с тангенсом: $\dfrac{1}{\cos^2 x} = \tg^2 x + 1$. Из неё сразу выражается косинус. Если дан котангенс и нужен синус, бери вторую формулу. По сути, эти следствия — те же мосты между функциями, что и основное тождество, только с участием тангенса и котангенса. Они расширяют арсенал: теперь ты умеешь переходить не только между синусом и косинусом, но и от тангенса к косинусу, от котангенса к синусу. Вся эта сеть переходов держится на одной исходной формуле.

Как читать тождество в обе стороны

Сила основного тождества в его двусторонности. Читать его можно слева направо и справа налево, и оба направления полезны в разных задачах.

Слева направо это работает так. Если в выражении есть сумма квадрата синуса и квадрата косинуса одного и того же угла, ты смело заменяешь её на единицу. Это самый частый ход в задачах на упрощение. Увидел сумму квадратов — заменил на единицу — выражение стало короче. Часто после такой замены задача решается в одну строчку, потому что громоздкое выражение схлопывается в простое число. Именно поэтому опытные ученики первым делом ищут в условии скрытую сумму квадратов: её появление почти всегда означает быстрый путь к ответу.

Справа налево это менее очевидно, но не менее ценно. Единицу в любом тригонометрическом выражении можно развернуть в сумму квадрата синуса и квадрата косинуса. Зачем это нужно? Чтобы выровнять степени слагаемых или создать общий множитель для группировки. Этот приём особенно важен при приведении уравнения к однородному виду: там единицу в правой части специально заменяют на сумму квадратов, чтобы все слагаемые стали одной степени. Без этого хода многие уравнения задания тринадцать не свести к стандартному виду.

Овладеть обоими направлениями важно по одной причине. Тот, кто умеет применять тождество только слева направо, решит простые задачи на упрощение, но застрянет на уравнениях, где нужна обратная подмена. А тот, кто видит формулу с обеих сторон, чувствует себя свободно в любой задаче, где встречается единица или сумма квадратов. Это разница между механическим знанием формулы и настоящим её пониманием.

Три типа задач на основное тождество

В задании 6 основное тождество используется в трёх типичных сюжетах. Стоит распознавать каждый, чтобы не тратить время на лишние вычисления.

Тип 1: найди sin, если знаешь cos (и наоборот). Дано $\cos x = 0{,}6$, угол $x$ в четвёртой четверти.

$\sin^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 \Rightarrow \sin x = \pm 0{,}8$

Здесь критичен последний шаг — выбор знака. Само тождество даёт только квадрат, а знак определяется четвертью. В четвёртой четверти синус отрицателен, поэтому $\sin x = -0{,}8$. Пропустить анализ четверти — самая частая ошибка в этом типе.

Тип 2: упрости выражение. Найди значение $3\sin^2 x + 3\cos^2 x - 7$.

$3\sin^2 x + 3\cos^2 x - 7 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) - 7 = 3 \cdot 1 - 7 = -4$

Фокус в том, чтобы заметить тождество внутри выражения. Как только ты выносишь общий множитель и видишь $\sin^2 x + \cos^2 x$, оно мгновенно превращается в единицу, и выражение упрощается до числа. Угол $x$ при этом вообще не важен — ответ не зависит от него.

Тип 3: найди tg через sin (или cos). Дано $\sin x = \dfrac{3}{5}$, угол $x$ в первой четверти.

Сначала находим косинус через тождество: $\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. В первой четверти косинус положителен, значит $\cos x = \dfrac{4}{5}$. Дальше тангенс по определению:

$\tg x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

Этот тип объединяет два навыка: выразить недостающую функцию через тождество и собрать из них тангенс. Снова всё держится на одной формуле плюс анализ четверти.

Разбор примеров ЕГЭ

Примеры с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг.

Пример 1 (задание 6, уровень А, полный разбор). Найди значение выражения $\dfrac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha}$ при $\sin \alpha = 0{,}7$.

Решение. Узнаём в числителе кусочек тождества: $1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$. Подставляем:

$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha = 0{,}7$

Типичная ошибка. Начинают искать сам угол $\alpha$ и значение косинуса, хотя они не нужны: всё сокращается через тождество.

Ответ: $0{,}7$.

Пример 2 (задание 13, уровень В, faded). Реши уравнение $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$.

Решение. В уравнении смешаны и косинус, и синус. Главная идея — свести всё к одной функции. Попробуй сам выбрать, что выгоднее заменить: $\cos^2 x$ через синус или наоборот. Подсказка: раз у нас уже есть $\sin x$ в первой степени, удобнее избавиться от косинуса.

Раскрытие. Заменяем $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0$

$2 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0$

$-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Замена $t = \sin x$ превращает уравнение в квадратное: $2t^2 - 3t + 1 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 8 = 1$, корни $t_1 = 1$, $t_2 = \dfrac{1}{2}$.

Возвращаемся к синусу:

• $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$;
• $\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Типичная ошибка. Забывают, что $\sin x = 1$ даёт одну серию (крайнее значение), а $\sin x = \dfrac{1}{2}$ — две.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (задание 6, уровень Б, skeleton с self-explanation). Дано $\cos\alpha = \dfrac{4}{5}$, угол $\alpha$ в первой четверти. Найди $\sin\alpha$ и $\tg\alpha$.

Решение.

Шаг 1. Найди синус через тождество. Спроси себя: как выразить $\sin\alpha$, если известен косинус? Через $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$, откуда $\sin\alpha = \pm\dfrac{3}{5}$.

Шаг 2. Определи знак. Спроси себя: какой знак у синуса в первой четверти? Положительный, значит $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$.

Шаг 3. Найди тангенс. По определению $\tg\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{3/5}{4/5} = \dfrac{3}{4}$.

Типичная ошибка. Берут синус со знаком минус, не проверив четверть.

Ответ: $\sin\alpha = \dfrac{3}{5}$, $\tg\alpha = \dfrac{3}{4}$.

Почему знак — самое важное

Если выделить одну вещь, на которой чаще всего теряют баллы в задачах с основным тождеством, это будет знак. Само тождество всегда даёт квадрат функции, а не саму функцию. Квадрат не различает положительные и отрицательные значения: и положительное число, и его противоположность при возведении в квадрат дают одно и то же. Поэтому, извлекая корень, ты получаешь два возможных значения, отличающихся знаком, и должен выбрать правильное.

Выбор делается по четверти, в которой лежит угол. Условие задачи почти всегда содержит подсказку о четверти: либо прямо указан промежуток для угла, либо сказано, что угол острый, тупой, лежит во второй четверти и так далее. Твоя задача — прочитать эту подсказку и определить знак искомой функции. В первой четверти все функции положительны. Во второй положителен только синус. В третьей положителен только тангенс и котангенс. В четвёртой положителен только косинус. Эту схему знаков по четвертям стоит выучить намертво, потому что она работает не только в задачах на тождество, но и во всей тригонометрии.

Чтобы не ошибаться, выработай привычку. Как только из тождества вышел квадрат функции, не спеши писать ответ. Сначала вернись к условию, найди указание на четверть, определи знак, и только потом записывай функцию с правильным знаком. Эта пауза занимает несколько секунд, но спасает от самой обидной ошибки, когда всё решено верно, а ответ испорчен неправильным знаком. На экзамене такая ошибка стоит целого балла при том, что математика была сделана правильно.

Зачем тождество в задании 13

В задании 13 основное тождество выполняет одну ключевую работу — сводит уравнение с двумя функциями к уравнению с одной. Если в уравнении стоят и $\sin x$, и $\cos x$, его в лоб не решить: формула решения существует только для уравнений с одной функцией. Тождество позволяет заменить $\cos^2 x$ на $1 - \sin^2 x$ (или наоборот) и получить уравнение, где осталась только одна функция.

После такой замены уравнение обычно становится квадратным относительно $\sin x$ или $\cos x$. Делаешь замену $t = \sin x$, решаешь квадратное уравнение через дискриминант, находишь значения $t$, и для каждого записываешь серию корней. Это стандартный маршрут, по которому идут многие задачи задания 13, и в его основе — основное тождество. Без него половина уравнений части 2 осталась бы нерешаемой школьными методами.

Важная деталь: замену выгоднее делать так, чтобы избавиться от функции, которая стоит в квадрате, оставив ту, что в первой степени. В Примере 2 выше мы заменяли именно $\cos^2 x$, потому что синус уже присутствовал в первой степени. Если сделать наоборот, появится корень, и уравнение усложнится. Этот выбор «что на что менять» приходит с практикой, но правило простое: сохраняй функцию первой степени, заменяй функцию в квадрате.

Частые ошибки

1. Путать $\sin^2 x$ и $(\sin x)^2$. Это одно и то же: запись $\sin^2 x$ означает $(\sin x)^2$, то есть «сначала найди синус, потом возведи в квадрат».
2. Забыть знак при извлечении корня. $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$, а не просто $\sin x$. Без анализа четверти знак неизвестен, и это критично.
3. Применять тождество неверно. Верно $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а не $\sin x + \cos x = 1$. Это разные выражения, и второе вообще не тождество.
4. Не проверять допустимые значения при делении. Делишь тождество на $\cos^2 x$ — следи, чтобы $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n$. Иначе делишь на ноль.
5. Менять не ту функцию в уравнении. Заменяй функцию в квадрате, сохраняя функцию первой степени. Иначе появится лишний корень и уравнение усложнится.

Распространённые сценарии на экзамене

Чтобы основное тождество действительно работало на тебя, полезно заранее знать, в каких обличьях оно появляется на экзамене. Перечислим самые частые.

Первый сценарий — прямое упрощение. В задании шесть тебе дают громоздкое выражение, внутри которого спрятана сумма квадратов синуса и косинуса. Твоя работа — заметить её, заменить на единицу и довести выражение до числа. Здесь главное не пугаться длины выражения, а искать знакомую структуру.

Второй сценарий — вычисление одной функции по другой. Дано значение синуса и четверть, нужно найти косинус или тангенс. Здесь тождество даёт квадрат недостающей функции, а четверть подсказывает знак. Этот сценарий проверяет сразу два навыка: работу с формулой и анализ четверти.

Третий сценарий — сведение уравнения к одной функции. В задании тринадцать уравнение содержит и синус, и косинус, причём один из них в квадрате. Заменяешь квадрат через тождество, получаешь квадратное уравнение относительно оставшейся функции и решаешь его стандартно. Это, пожалуй, самое важное применение, потому что без него уравнения части два не решаются.

Четвёртый сценарий — приведение к однородному виду. Здесь тождество читается справа налево: единицу разворачивают в сумму квадратов, чтобы выровнять степени всех слагаемых. Сценарий встречается реже, но без него некоторые сложные уравнения не одолеть.

Зная эти четыре сценария, ты будешь узнавать тождество с первого взгляда и применять его не наугад, а осознанно. Это и есть разница между учеником, который зазубрил формулу, и учеником, который понимает, когда и зачем она нужна.

Полезно потренировать распознавание на разных формулировках. Иногда тождество прячут совсем неочевидно. Например, выражение может содержать единицу, которую нужно сначала разглядеть как сумму квадратов, прежде чем что-то сократить. Или наоборот, сумма квадратов может быть разбросана по разным частям длинного выражения, и собрать её — отдельный навык внимательности. Чем больше похожих задач ты разберёшь, тем быстрее глаз начнёт цепляться за нужную структуру. Опытные ученики решают такие задачи почти мгновенно именно потому, что натренировали узнавание, а не потому, что считают быстрее.

Ещё одна полезная мысль про роль тождества во всей теме. Тригонометрия на первый взгляд кажется набором десятков разрозненных формул, которые невозможно запомнить. Но если присмотреться, большинство из них завязаны на основное тождество и выводятся из него за несколько шагов. Это меняет подход к изучению. Вместо того чтобы зубрить каждую формулу отдельно, разумнее крепко усвоить основное тождество и научиться выводить остальное. Тогда даже если ты забудешь конкретную формулу на экзамене, ты сможешь восстановить её по ходу дела. Такая стратегия надёжнее механического запоминания: память подводит под стрессом, а понимание остаётся.

Что запомнить

Основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ — это Пифагор для единичной окружности, верный при любом угле. Из него выражают одну функцию через другую (с обязательным знаком по четверти), выводят следствия для тангенса и котангенса, упрощают выражения и сводят уравнения с двумя функциями к одной. Единицу всегда можно заменить на $\sin^2 x + \cos^2 x$ и наоборот. Главный практический рефлекс: как только из тождества вышел квадрат функции, сразу определяй знак по четверти. Это одна формула, но на ней держится большая часть тригонометрии в заданиях 6 и 13.

Почему это «основное» тождество

Тождество называют основным не случайно. Из него, как из корня, вырастает почти вся тригонометрия. Формулы двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ и $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ получаются прямой подстановкой основного тождества в формулу косинуса двойного угла. Формулы понижения степени, которые выражают $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$ через косинус двойного угла, тоже опираются на него. Даже формулы приведения, переводящие функции одного угла в функции другого, в конечном счёте согласованы с основным тождеством. Поэтому, освоив одну эту формулу, ты получаешь ключ к целой грозди других соотношений.

Практический вывод простой: если в задаче встречается сумма квадратов синуса и косинуса, либо где-то нужно избавиться от одной из двух функций, первым делом вспоминай основное тождество. В девяти случаях из десяти именно оно открывает путь к решению. Опытные ученики применяют его почти на автомате, не задумываясь, и это правильная привычка. Чем раньше ты доведёшь работу с основным тождеством до автоматизма, тем легче пойдут задания 6 и 13.

Стоит сказать пару слов и про то, как это тождество ведёт себя в разных четвертях. Само равенство, сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, выполняется одинаково во всех четырёх четвертях, ведь оно про квадраты, а квадрат знака не имеет. Но когда ты переходишь от квадрата к самой функции, четверть становится важна. В первой четверти и синус, и косинус положительны. Во второй синус положителен, а косинус отрицателен. В третьей обе функции отрицательны. В четвёртой синус отрицателен, а косинус положителен. Эту картину четырёх четвертей стоит держать в голове постоянно, потому что именно она подсказывает знак при извлечении корня. Многие ученики рисуют маленькую схему четвертей на полях черновика и сверяются с ней каждый раз — простой приём, который страхует от ошибки со знаком.

Ещё одно наблюдение из практики. Тождество удобно использовать не только слева направо, но и справа налево. Иногда в выражении прячется единица, которую полезно «развернуть» в сумму квадратов, чтобы потом что-то сократить или сгруппировать. Это менее очевидный ход, чем замена суммы квадратов на единицу, но он встречается в задачах на упрощение и в приведении уравнения к однородному виду. Умение видеть тождество в обе стороны отличает уверенное владение темой от поверхностного.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — формулы сложения и двойного угла выводятся из основного тождества.
• Формулы двойного угла — три формы $\cos 2x$ получаются с помощью основного тождества.
• Тригонометрические уравнения — основное тождество сводит уравнения с двумя функциями к одной.
• Преобразование тригонометрических выражений — упрощение выражений через тождество и его следствия.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 — вычисление тригонометрических выражений и упрощение.
• Задание 13 — уравнения, где смешаны $\sin$ и $\cos$, сводятся к одной функции через основное тождество.