Основное тригонометрическое тождество: sin²+cos²=1

Основное тригонометрическое тождество — фундамент всей тригонометрии. Из него выводятся формулы двойного угла, формулы сложения и другие ключевые соотношения. Без этого тождества задания 6 и 13 не решаются.

Тождество и его геометрический смысл

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Это равенство верно для любого значения $x$ — отсюда и называется тождеством (не уравнением).

Вывод из единичной окружности. По определению, для угла $x$ координаты точки на единичной окружности — это $(\cos x, \sin x)$. Расстояние от начала координат до любой точки единичной окружности равно 1. По теореме Пифагора:

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1^2 = 1$

Всё.

Следствия: выражение одной функции через другую

Из основного тождества:

$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x \quad \Rightarrow \quad \cos x = \pm\sqrt{1 - \sin^2 x}$

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \quad \Rightarrow \quad \sin x = \pm\sqrt{1 - \cos^2 x}$

Знак «±» определяется по четверти угла $x$.

Следствия через тангенс и котангенс

Делим обе части тождества на $\cos^2 x$ (при $\cos x \neq 0$):

$\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

$\tan^2 x + 1 = \frac{1}{\cos^2 x}$

Это тождество используется, когда в задаче дан $\tan x$ и нужно найти $\cos x$ или наоборот.

Аналогично делим на $\sin^2 x$ (при $\sin x \neq 0$):

$1 + \cot^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$

Применение в вычислениях

Задача типа «найди sin, если знаешь cos». Дано: $\cos x = 0{,}6$, угол $x$ в 4-й четверти.

$\sin^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64 \Rightarrow \sin x = \pm 0{,}8$

В 4-й четверти $\sin x < 0$, значит $\sin x = -0{,}8$.

Задача типа «упрости выражение». $3\sin^2 x + 3\cos^2 x - 7 = ?$

$= 3(\sin^2 x + \cos^2 x) - 7 = 3 \cdot 1 - 7 = -4$

Задача типа «найди tg через sin». Дано: $\sin x = \dfrac{3}{5}$, $x \in \left(0; \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Находим $\cos x$: $\cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$. В 1-й четверти $\cos x > 0$, значит $\cos x = \dfrac{4}{5}$.

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

Разбор примеров ЕГЭ

Пример 1 (задание 6, уровень А). Найди значение выражения $\dfrac{1 - \cos^2 \alpha}{\sin \alpha}$ при $\sin \alpha = 0{,}7$.

Решение.

$1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$ (из основного тождества).

$\frac{\sin^2 \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha = 0{,}7$

Ответ: $0{,}7$.

Пример 2 (задание 13, уровень В). Реши уравнение $2\cos^2 x + 3\sin x - 3 = 0$.

Решение.

Заменяем $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$2(1 - \sin^2 x) + 3\sin x - 3 = 0$

$2 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 3 = 0$

$-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$

Замена $t = \sin x$: $2t^2 - 3t + 1 = 0$.

$D = 9 - 8 = 1$, корни: $t_1 = 1$, $t_2 = \dfrac{1}{2}$.

Возвращаемся:

• $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$
• $\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n$; $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$; $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Частые ошибки

1. Путать $\sin^2 x$ и $(\sin x)^2$. Это одно и то же — запись $\sin^2 x$ означает $(\sin x)^2$.
2. Забыть знак при извлечении корня. $\sqrt{\sin^2 x} = |\sin x|$, а не просто $\sin x$. Без анализа четверти знак неизвестен.
3. Применять тождество неверно. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, а не $\sin x + \cos x = 1$ (это разные выражения!).
4. Не проверять допустимые значения. При делении на $\cos x$ нужно, чтобы $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n$.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — формулы сложения, двойного угла выводятся из основного тождества.
• Тригонометрические уравнения — основное тождество — ключевой инструмент при решении уравнений с $\sin$ и $\cos$ одновременно.
• Отбор корней — после применения тождества появляются уравнения с несколькими сериями корней.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 — вычисление тригонометрических выражений и упрощение.
• Задание 13 — уравнения, где смешаны $\sin$ и $\cos$, сводятся к одной функции через основное тождество.