Формулы приведения тригонометрия: правило лошади

Формулы приведения — инструмент перевода тригонометрических функций «неудобных» углов в функции от острого угла. Без них не решить задание 6, где часто просят вычислить значения вроде $\sin 150°$ или упростить $\cos(π + α)$.

Суть формул приведения

Все формулы приведения работают по двум правилам:

Правило 1 (смена функции). Если кратное — нечётное ($90°$, $270°$, или $\pi/2$, $3\pi/2$), синус меняется на косинус и наоборот (тангенс — на котангенс и наоборот).

Правило 2 (знак). Знак перед результатом определяется знаком исходной функции в той четверти, куда попадает угол $90°n \pm \alpha$ при малом положительном $\alpha$.

Эту пару правил часто называют «правилом лошади» (или «правилом 90°/знак по четверти»).

Таблица формул приведения

Углы $90° \pm \alpha$ (нечётные, меняем функцию)

$\sin(90° + \alpha) = \cos\alpha$ $\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$ $\cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha$ $\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha$ $\tan(90° + \alpha) = -\cot\alpha$ $\tan(90° - \alpha) = \cot\alpha$ $\cot(90° - \alpha) = \tan\alpha$ $\cot(90° + \alpha) = -\tan\alpha$

Углы $180° \pm \alpha$ (чётные, функция не меняется)

$\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha$ $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$ $\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha$ $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$ $\tan(180° + \alpha) = \tan\alpha$ $\tan(180° - \alpha) = -\tan\alpha$

Углы $270° \pm \alpha$ (нечётные, меняем функцию)

$\sin(270° + \alpha) = -\cos\alpha$ $\sin(270° - \alpha) = -\cos\alpha$ $\cos(270° + \alpha) = \sin\alpha$ $\cos(270° - \alpha) = -\sin\alpha$

Угол $360° \pm \alpha$ (чётный, функция не меняется, знак сохраняется)

$\sin(360° + \alpha) = \sin\alpha, \quad \sin(360° - \alpha) = -\sin\alpha$ $\cos(360° + \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(360° - \alpha) = \cos\alpha$

Как применять «правило лошади» пошагово

Разберём на примере: чему равно $\cos(270° - \alpha)$?

Шаг 1. Кратное — $270° = 3 \cdot 90°$ — нечётное. Меняем функцию: $\cos \to \sin$.

Шаг 2. Знак берём такой, какой имеет исходная функция в четверти, куда попадает угол при малом $\alpha > 0$. Угол $270° - \alpha$ при малом $\alpha > 0$ лежит в 3-й четверти, где $\cos < 0$ — ставим минус.

Шаг 3. $\cos(270° - \alpha) = -\sin\alpha$.

Разбор примеров ЕГЭ

Пример 1 (задание 6, уровень А). Вычисли: $\sin 150°$.

Решение.

$\sin 150° = \sin(180° - 30°)$.

$180°$ — чётное кратное → функция не меняется: $\sin$. Угол $180° - 30°$ — 2-я четверть, $\sin > 0$ → плюс.

$\sin 150° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$.

Ответ: $\dfrac{1}{2}$.

Пример 2 (задание 6, уровень Б). Упрости: $\dfrac{\sin(180° - \alpha) \cdot \cos(90° + \alpha)}{\sin(90° - \alpha)}$.

Решение.

$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$.

$\cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha$.

$\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$.

$\frac{\sin\alpha \cdot (-\sin\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{-\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = -\sin\alpha \cdot \tan\alpha$

Ответ: $-\sin\alpha \cdot \tan\alpha$.

Пример 3 (задание 13, уровень В). Реши уравнение: $\cos(π + x) + \cos(π - x) = 1$.

Решение.

$\cos(\pi + x) = -\cos x$.

$\cos(\pi - x) = -\cos x$.

Уравнение: $-\cos x + (-\cos x) = 1 \Rightarrow -2\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2}$.

$x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Частые ошибки

1. Перепутать, меняется ли функция. 90° — меняется (sin↔cos), 180° — нет. Проверяй «нечётность» кратного.
2. Неверно определить четверть для знака. Знак берётся для исходной функции в четверти, куда попадает весь угол при малом $\alpha > 0$.
3. Забыть про минусы при $180° + \alpha$ и $270° \pm \alpha$. В 3-й и 4-й четвертях многие функции отрицательны.
4. Применять формулы к радианам неверно. $\pi/2$ — это $90°$, $\pi$ — это $180°$. Логика та же, только в радианах.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — формулы приведения — частный случай формул сложения.
• Тригонометрические уравнения — формулы приведения упрощают уравнения с «нестандартными» углами.
• Основное тригонометрическое тождество — базис, на котором строятся все тригонометрические преобразования.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 6 — упрощение выражений и вычисление значений тригонометрических функций.
• Задание 13 — уравнения с «нестандартными» углами, где нужно применить формулы приведения перед решением.