Формулы приведения тригонометрия: правило лошади

Формулы приведения — инструмент перевода тригонометрических функций «неудобных» углов в функции от острого угла. Без них не решить задание 6, где часто просят вычислить значения вроде $\sin 150°$ или упростить $\cos(\pi + \alpha)$. Хорошая новость: вместо зубрёжки шестнадцати формул можно запомнить одно короткое правило и выводить любую формулу за пару секунд.

Суть формул приведения

Все формулы приведения работают по двум правилам:

Правило 1 (смена функции). Если кратное — нечётное ($90°$, $270°$, или $\pi/2$, $3\pi/2$), синус меняется на косинус и наоборот (тангенс — на котангенс и наоборот).

Правило 2 (знак). Знак перед результатом определяется знаком исходной функции в той четверти, куда попадает угол $90°n \pm \alpha$ при малом положительном $\alpha$.

Эту пару правил часто называют «правилом лошади» (или «правилом 90°/знак по четверти»). Название шуточное: лошадь на вопрос про смену функции «кивает» (да, меняем) при нечётном кратном и «мотает головой» (нет, не меняем) при чётном. Не так важна сама мнемоника, как два правила за ней. Освоив их, ты будешь выводить любую из шестнадцати формул приведения на ходу, не заглядывая в таблицу.

Разберём правила подробнее. Первое правило про смену функции зависит только от того, какое кратное девяноста градусов стоит в угле. Если кратное нечётное (это $90°$ и $270°$, или в радианах $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{3\pi}{2}$), функция меняется на «соседнюю»: синус на косинус, тангенс на котангенс. Если кратное чётное ($180°$ и $360°$, или $\pi$ и $2\pi$), функция остаётся прежней. Простой способ запомнить: вертикальные оси (90° и 270°) меняют функцию, горизонтальные (0°, 180°, 360°) не меняют.

Второе правило про знак не зависит от смены функции вообще. Ты определяешь, в какую четверть попадает весь угол при малом положительном $\alpha$, и берёшь знак, который имеет там исходная функция. Подчеркну: именно исходная, та, что была до приведения, а не та, что получилась. Это частая ловушка.

Таблица формул приведения

Углы $90° \pm \alpha$ (нечётные, меняем функцию)

$\sin(90° + \alpha) = \cos\alpha$ $\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$ $\cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha$ $\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha$ $\tan(90° + \alpha) = -\cot\alpha$ $\tan(90° - \alpha) = \cot\alpha$ $\cot(90° - \alpha) = \tan\alpha$ $\cot(90° + \alpha) = -\tan\alpha$

Углы $180° \pm \alpha$ (чётные, функция не меняется)

$\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha$ $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$ $\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha$ $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$ $\tan(180° + \alpha) = \tan\alpha$ $\tan(180° - \alpha) = -\tan\alpha$

Углы $270° \pm \alpha$ (нечётные, меняем функцию)

$\sin(270° + \alpha) = -\cos\alpha$ $\sin(270° - \alpha) = -\cos\alpha$ $\cos(270° + \alpha) = \sin\alpha$ $\cos(270° - \alpha) = -\sin\alpha$

Угол $360° \pm \alpha$ (чётный, функция не меняется, знак сохраняется)

$\sin(360° + \alpha) = \sin\alpha, \quad \sin(360° - \alpha) = -\sin\alpha$ $\cos(360° + \alpha) = \cos\alpha, \quad \cos(360° - \alpha) = \cos\alpha$

На окружности видно, как угол $\alpha$ из первой четверти отражается во второй ($\pi - \alpha$), третьей ($\pi + \alpha$) и четвёртой ($2\pi - \alpha$) четвертях. Например, для второй четверти $\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$, а $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$: синус сохраняет знак, косинус меняет, потому что во второй четверти синус положителен, а косинус отрицателен. Эта картинка наглядно показывает оба правила приведения сразу: смену функции и знак по четверти.

Как применять «правило лошади» пошагово

Разберём на примере: чему равно $\cos(270° - \alpha)$?

Шаг 1. Кратное — $270° = 3 \cdot 90°$ — нечётное. Меняем функцию: $\cos \to \sin$.

Шаг 2. Знак берём такой, какой имеет исходная функция в четверти, куда попадает угол при малом $\alpha > 0$. Угол $270° - \alpha$ при малом $\alpha > 0$ лежит в 3-й четверти, где $\cos < 0$ — ставим минус.

Шаг 3. Собираем оба правила вместе: функция сменилась на синус, знак минус. Итог: $\cos(270° - \alpha) = -\sin\alpha$.

Обрати внимание, как два правила работают независимо. Смена функции определилась только чётностью кратного, а знак — только четвертью угла. Эти два решения не влияют друг на друга, поэтому их можно принимать по отдельности и потом просто соединить. Именно эта независимость делает правило лошади таким надёжным: ты не запутаешься, если будешь применять правила по очереди, а не пытаться удержать всё в голове сразу. Сначала реши вопрос про функцию, потом отдельно про знак, и затем собери ответ.

Разбор примеров ЕГЭ

Примеры с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, в следующих ты дописываешь шаги.

Пример 1 (задание 6, уровень А, полный разбор). Вычисли $\sin 150°$.

Решение. Представляем неудобный угол через ближайшее кратное девяноста и острый угол: $150° = 180° - 30°$. Теперь применяем правило лошади. Кратное $180°$ чётное, значит функция не меняется, остаётся синус. Угол $180° - 30°$ попадает во вторую четверть, где синус положителен, поэтому знак плюс. Итог:

$\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$

Типичная ошибка. Представляют $150°$ как $90° + 60°$ и меняют функцию на косинус. Так тоже можно, но тогда нужно аккуратнее со знаком: $\sin(90° + 60°) = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$, ответ тот же. Главное — не запутаться в выборе разложения.

Ответ: $\dfrac{1}{2}$.

Пример 2 (задание 6, уровень Б, один шаг свёрнут). Упрости выражение $\dfrac{\sin(180° - \alpha) \cdot \cos(90° + \alpha)}{\sin(90° - \alpha)}$.

Решение. Приводим каждую функцию по отдельности. Попробуй сам применить правило лошади к каждому множителю, прежде чем смотреть раскрытие.

Раскрытие. Числитель: $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$ (чётное кратное, вторая четверть, синус положителен) и $\cos(90° + \alpha) = -\sin\alpha$ (нечётное кратное, меняем на синус, вторая четверть, косинус отрицателен). Знаменатель: $\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$ (нечётное кратное, меняем на косинус, первая четверть, синус положителен). Собираем:

$\frac{\sin\alpha \cdot (-\sin\alpha)}{\cos\alpha} = \frac{-\sin^2\alpha}{\cos\alpha} = -\sin\alpha \cdot \tg\alpha$

Типичная ошибка. В $\cos(90° + \alpha)$ забывают сменить функцию и оставляют косинус. Кратное $90°$ нечётное, поэтому функция обязана смениться на синус.

Ответ: $-\sin\alpha \cdot \tg\alpha$.

Пример 3 (задание 13, уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\cos(\pi + x) + \cos(\pi - x) = 1$.

Решение.

Шаг 1. Приведи оба слагаемых. Спроси себя: что даёт правило лошади для $\cos(\pi + x)$ и $\cos(\pi - x)$? Кратное $\pi$ чётное, функция остаётся косинусом. Угол $\pi + x$ в третьей четверти (косинус отрицателен), угол $\pi - x$ во второй четверти (косинус отрицателен). Значит оба приводятся к $-\cos x$:

$\cos(\pi + x) = -\cos x, \qquad \cos(\pi - x) = -\cos x$

Шаг 2. Подставь и реши. Спроси себя: что получится после подстановки? Уравнение становится простым:

$-\cos x - \cos x = 1 \Rightarrow -2\cos x = 1 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2}$

Отсюда $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Типичная ошибка. Считают, что $\cos(\pi - x) = \cos x$ (без минуса), забыв про знак во второй четверти. Косинус там отрицателен.

Ответ: $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Формулы приведения в радианах

На экзамене углы чаще записаны в радианах, чем в градусах. Правило лошади работает точно так же, нужно лишь помнить соответствие: $\dfrac{\pi}{2}$ это $90°$, $\pi$ это $180°$, $\dfrac{3\pi}{2}$ это $270°$, $2\pi$ это $360°$. Кратные с $\dfrac{\pi}{2}$ и $\dfrac{3\pi}{2}$ нечётные (меняют функцию), кратные с $\pi$ и $2\pi$ чётные (не меняют).

Например, $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right)$ разбирается так же, как $\cos(90° + \alpha)$: кратное $\dfrac{\pi}{2}$ нечётное, меняем косинус на синус, угол во второй четверти, где косинус отрицателен, ставим минус. Получаем $\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin\alpha$. Никакой новой логики, только перевод единиц в голове. Поэтому не пугайся радианной записи: переведи кратное в градусы мысленно, и дальше всё привычно.

Частые ошибки

1. Перепутать, меняется ли функция. При $90°$ и $270°$ функция меняется (синус на косинус), при $180°$ и $360°$ остаётся. Проверяй чётность кратного: нечётное меняет, чётное нет.
2. Неверно определить четверть для знака. Знак берётся для исходной функции в четверти, куда попадает весь угол при малом положительном $\alpha$. Бери знак той функции, что была до приведения, а не после.
3. Забыть про минусы в третьей и четвёртой четвертях. Там многие функции отрицательны, и про знак легко забыть, особенно при $180° + \alpha$ и $270° \pm \alpha$.
4. Путать радианы с градусами. Помни соответствие: $\dfrac{\pi}{2}$ это $90°$, $\pi$ это $180°$. Логика правила лошади одна и та же в обеих системах.
5. Менять функцию при чётном кратном. При $180° \pm \alpha$ функция не меняется, остаётся прежней. Менять её — частая ошибка.

Что запомнить

Формулы приведения переводят функцию неудобного угла в функцию острого угла по двум правилам. Первое: при нечётном кратном девяноста градусов ($90°$, $270°$) функция меняется на соседнюю, при чётном ($180°$, $360°$) остаётся. Второе: знак берётся такой, какой имеет исходная функция в четверти, куда попадает весь угол при малом положительном $\alpha$. Эти два правила заменяют зубрёжку шестнадцати формул. На экзамене не учи таблицу наизусть, а выводи каждую формулу за пару секунд по правилу лошади. В радианах всё то же, только с переводом единиц. Главное — не путать, какая функция исходная при определении знака, и не забывать менять функцию при нечётном кратном.

Откуда берутся формулы приведения

Формулы приведения не появляются из ниоткуда: они выводятся из формул сложения. Например, $\sin(90° + \alpha)$ раскрывается по формуле синуса суммы как $\sin 90°\cos\alpha + \cos 90°\sin\alpha$. Поскольку $\sin 90° = 1$, а $\cos 90° = 0$, выражение упрощается до $\cos\alpha$. Вот и получилась формула приведения. Точно так же выводится любая из шестнадцати: берёшь формулу сложения, подставляешь табличные значения функций кратного угла, и громоздкое выражение схлопывается в одну функцию острого угла.

Это объясняет, почему правило лошади работает. Смена функции происходит из-за того, что у нечётных кратных ($90°$, $270°$) синус и косинус «меняются местами» по величине: $\sin 90° = 1 = \cos 0°$. А знак берётся из знаков $\sin$ и $\cos$ кратного угла. Понимать этот вывод полезно: если правило лошади вдруг забылось на экзамене, ты всегда восстановишь нужную формулу через формулу сложения. Это надёжная страховка, которая не подведёт под стрессом.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — формулы сложения, из которых выводятся формулы приведения.
• Тригонометрические уравнения — формулы приведения упрощают уравнения с «нестандартными» углами перед решением.
• Основное тригонометрическое тождество — базис, на котором строятся все тригонометрические преобразования.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Формулы приведения работают на ученика сразу в нескольких заданиях. В задании шесть они помогают вычислять значения функций неудобных углов и упрощать громоздкие выражения. В задании тринадцать они нужны как подготовительный шаг: прежде чем решить уравнение со «странными» углами, ты приводишь все функции к одному виду. Без этого навыка многие задачи просто не сдвинуть с места, поэтому правило лошади стоит довести до автоматизма.

• Задание 6 — упрощение выражений и вычисление значений тригонометрических функций.
• Задание 13 — уравнения с «нестандартными» углами, где нужно применить формулы приведения перед решением.

Что запомнить

Формулы приведения переводят функцию неудобного угла в функцию острого угла по двум независимым правилам. Первое правило про смену функции: при нечётном кратном девяноста градусов функция меняется на соседнюю, при чётном остаётся прежней. Второе правило про знак: берёшь тот знак, какой имеет исходная функция в четверти, куда попадает весь угол при малом положительном дополнении. Эти два правила применяй по очереди и потом соединяй, не пытаясь удержать всё в голове сразу. Запоминать шестнадцать формул наизусть не нужно, достаточно правила лошади. А если оно вдруг забылось, любую формулу можно вывести из формул сложения за один шаг. В радианах логика та же, только с переводом единиц: половина пи это девяносто градусов, целое пи это сто восемьдесят. Главное на экзамене — не путать, какая функция исходная при выборе знака, и не забывать менять функцию при нечётном кратном.