Задание 6 ЕГЭ профиль — тригонометрические вычисления

Задание 6 — тригонометрические вычисления. Никаких уравнений, никаких графиков — просто посчитать значение выражения, иногда упростить и подставить. Если знаешь формулы, задание решается за 2-3 минуты.

Что проверяется в задании 6

Типичные темы:

• Вычислить $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ от заданного угла.
• Упростить тригонометрическое выражение и найти его значение.
• По одной известной функции угла найти другую.
• Вычислить значение выражения с двойным или половинным углом.

Ответ — число (часто простая дробь или иррациональное).

Минимальный набор формул

Основное тригонометрическое тождество

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Из него: ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$, ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha$.

Связь tg и ctg с sin/cos

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$

$1+{\mathrm{tg}}^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha },1+{\mathrm{ctg}}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

Формулы двойного угла

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$

$\mathrm{tg}2\alpha =\frac{2\mathrm{tg}\alpha }{1-{\mathrm{tg}}^2\alpha }$

Стандартные значения (must know)

Знаки в четвертях

Типы задач

Тип 1: По sin найти cos (или наоборот)

«Найти $\cos \alpha$, если $\sin \alpha =-3/5$ и $\alpha$ — III четверть.»

Из основного тождества: ${\cos }^2\alpha =1-9/25=16/25$, значит $\cos \alpha =\pm 4/5$.

В III четверти $\cos$ отрицателен. Ответ: $\cos \alpha =-4/5$.

Тип 2: По одной — найти все

«Найти $\sin$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$, если $\cos \alpha =12/13$ и $\alpha$ — IV четверть.»

${\sin }^2=1-144/169=25/169$, $\sin \alpha =-5/13$ (IV четверть, отрицателен).

$\mathrm{tg}\alpha =-5/13÷12/13=-5/12$.

$\mathrm{ctg}\alpha =-12/5$.

Тип 3: Упрощение через формулы приведения

«Найти $\sin (\pi /2+\alpha )\cdot \cos (\pi -\alpha )$.»

По формулам приведения:

• $\sin (\pi /2+\alpha )=\cos \alpha$;
• $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$.

Произведение: $\cos \alpha \cdot (-\cos \alpha )=-{\cos }^2\alpha$.

Тип 4: С двойным углом

«Найти $\sin 2\alpha$, если $\sin \alpha =1/3$, $\alpha \in (0;\pi /2)$.»

$\cos \alpha =\sqrt{1-1/9}=\sqrt{8/9}=2\sqrt{2}/3$ (положителен в I четверти).

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot (1/3)\cdot (2\sqrt{2}/3)=4\sqrt{2}/9$.

Формулы приведения — короткое правило

Аргументы вида $\frac{\pi k}{2}\pm \alpha$:

1. Если $k$ чётное ($\pi$, $2\pi$, $-\pi$): функция не меняется ($\sin \to \sin$, $\cos \to \cos$).
2. Если $k$ нечётное ($\pi /2$, $3\pi /2$): функция меняется ($\sin \to \cos$, $\mathrm{tg}\to \mathrm{ctg}$).
3. Знак определяется четвертью, в которой лежит угол $\frac{\pi k}{2}\pm \alpha$ при $\alpha$ из I четверти.

Пример. $\sin (\pi /2-\alpha )$. $\pi /2$ — нечётное $k=1$, функция меняется на $\cos$. При $\alpha$ из I четверти, $\pi /2-\alpha$ тоже в I → знак «+». Итого: $\sin (\pi /2-\alpha )=\cos \alpha$.

Пример. $\cos (\pi +\alpha )$. $\pi$ — чётное $k=2$, функция не меняется. При $\alpha$ из I четверти, $\pi +\alpha$ в III → $\cos <0$. Итого: $\cos (\pi +\alpha )=-\cos \alpha$.

Распространённые ошибки

1. Игнорировать четверть при извлечении корня. Из ${\sin }^2\alpha =1/4$ не «$\sin \alpha =1/2$», а «$\sin \alpha =\pm 1/2$» с выбором знака по четверти.

2. В формуле двойного угла перепутать варианты $\cos 2\alpha$. Их три, все правильные. Выбирай тот, что удобнее.

3. В формулах приведения перепутать чёт/неч. Запомни: $\pi /2$ — функция меняется, $\pi$ — нет. Это от свойства симметрии графиков.

4. Перепутать знаки в I/IV четвертях. $\sin$ положителен в I и II, отрицателен в III и IV. $\cos$ положителен в I и IV, отрицателен в II и III.

5. Не упрощать, а подставлять. Иногда выражение можно упростить до простой формы, а уже потом подставлять. Это короче и надёжнее.

Разобранный пример

Условие. Найти $\mathrm{tg}\alpha$, если $\cos \alpha =-\frac{2}{\sqrt{5}}$ и $\pi <\alpha <3\pi /2$.

Решение. $\alpha$ в III четверти.

Из ${\sin }^2\alpha =1-4/5=1/5$ → $\sin \alpha =\pm 1/\sqrt{5}$.

В III четверти $\sin <0$ → $\sin \alpha =-1/\sqrt{5}$.

$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-1/\sqrt{5}}{-2/\sqrt{5}}=\frac{1}{2}$.

Ответ. $0,5$.

Что запомнить

• Основное тождество: ${\sin }^2+{\cos }^2=1$.
• Стандартные углы $0,\pi /6,\pi /4,\pi /3,\pi /2$ — наизусть.
• Знаки по четвертям.
• Формула двойного: $\sin 2\alpha =2\sin \cos$, $\cos 2\alpha$ — три варианта.
• Формулы приведения: чёт/неч + знак по четверти.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — полный справочник.
• Основное тригонометрическое тождество — главная формула.
• Формулы приведения — как сводить любой аргумент к острому углу.
• Формулы двойного угла — для удвоения аргумента.