Задание 6 ЕГЭ профиль — тригонометрические вычисления

Задание 6 — тригонометрические вычисления. Никаких уравнений, никаких графиков — просто посчитать значение выражения, иногда упростить и подставить. Если знаешь формулы, задание решается за 2-3 минуты.

Что проверяется в задании 6

Типичные темы:

• Вычислить $\sin$, $\cos$, $\tg$ от заданного угла.
• Упростить тригонометрическое выражение и найти его значение.
• По одной известной функции угла найти другую.
• Вычислить значение выражения с двойным или половинным углом.

Ответ — число (часто простая дробь или иррациональное).

Минимальный набор формул

Основное тригонометрическое тождество

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$

Из него: $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$, $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$.

Связь tg и ctg с sin/cos

$\tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \quad \ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{1}{\tg \alpha}$

$1 + \tg^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}, \quad 1 + \ctg^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Формулы двойного угла

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 2\cos^2 \alpha - 1 = 1 - 2\sin^2 \alpha$

$\tg 2\alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha}$

Стандартные значения (must know)

Знаки в четвертях

Типы задач

Тип 1: По sin найти cos (или наоборот)

«Найти $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = -3/5$ и $\alpha$ — III четверть.»

Из основного тождества: $\cos^2 \alpha = 1 - 9/25 = 16/25$, значит $\cos \alpha = \pm 4/5$.

В III четверти $\cos$ отрицателен. Ответ: $\cos \alpha = -4/5$.

Тип 2: По одной — найти все

«Найти $\sin$, $\tg$, $\ctg$, если $\cos \alpha = 12/13$ и $\alpha$ — IV четверть.»

$\sin^2 = 1 - 144/169 = 25/169$, $\sin \alpha = -5/13$ (IV четверть, отрицателен).

$\tg \alpha = -5/13 \div 12/13 = -5/12$.

$\ctg \alpha = -12/5$.

Тип 3: Упрощение через формулы приведения

«Найти $\sin(\pi/2 + \alpha) \cdot \cos(\pi - \alpha)$.»

По формулам приведения:

• $\sin(\pi/2 + \alpha) = \cos \alpha$;
• $\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha$.

Произведение: $\cos \alpha \cdot (-\cos \alpha) = -\cos^2 \alpha$.

Тип 4: С двойным углом

«Найти $\sin 2\alpha$, если $\sin \alpha = 1/3$, $\alpha \in (0;\,\pi/2)$.»

$\cos \alpha = \sqrt{1 - 1/9} = \sqrt{8/9} = 2\sqrt{2}/3$ (положителен в I четверти).

$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot (1/3) \cdot (2\sqrt{2}/3) = 4\sqrt{2}/9$.

Формулы приведения — короткое правило

Аргументы вида $\dfrac{\pi k}{2} \pm \alpha$:

1. Если $k$ чётное ($\pi$, $2\pi$, $-\pi$): функция не меняется ($\sin → \sin$, $\cos → \cos$).
2. Если $k$ нечётное ($\pi/2$, $3\pi/2$): функция меняется ($\sin → \cos$, $\tg → \ctg$).
3. Знак определяется четвертью, в которой лежит угол $\dfrac{\pi k}{2} \pm \alpha$ при $\alpha$ из I четверти.

Пример. $\sin(\pi/2 - \alpha)$. $\pi/2$ — нечётное $k = 1$, функция меняется на $\cos$. При $\alpha$ из I четверти, $\pi/2 - \alpha$ тоже в I → знак «+». Итого: $\sin(\pi/2 - \alpha) = \cos \alpha$.

Пример. $\cos(\pi + \alpha)$. $\pi$ — чётное $k = 2$, функция не меняется. При $\alpha$ из I четверти, $\pi + \alpha$ в III → $\cos < 0$. Итого: $\cos(\pi + \alpha) = -\cos \alpha$.

Распространённые ошибки

1. Игнорировать четверть при извлечении корня. Из $\sin^2 \alpha = 1/4$ не «$\sin \alpha = 1/2$», а «$\sin \alpha = \pm 1/2$» с выбором знака по четверти.

2. В формуле двойного угла перепутать варианты $\cos 2\alpha$. Их три, все правильные. Выбирай тот, что удобнее.

3. В формулах приведения перепутать чёт/неч. Запомни: $\pi/2$ — функция меняется, $\pi$ — нет. Это от свойства симметрии графиков.

4. Перепутать знаки в I/IV четвертях. $\sin$ положителен в I и II, отрицателен в III и IV. $\cos$ положителен в I и IV, отрицателен в II и III.

5. Не упрощать, а подставлять. Иногда выражение можно упростить до простой формы, а уже потом подставлять. Это короче и надёжнее.

Разобранный пример

Условие. Найти $\tg \alpha$, если $\cos \alpha = -\dfrac{2}{\sqrt{5}}$ и $\pi < \alpha < 3\pi/2$.

Решение. $\alpha$ в III четверти.

Из $\sin^2 \alpha = 1 - 4/5 = 1/5$ → $\sin \alpha = \pm 1/\sqrt{5}$.

В III четверти $\sin < 0$ → $\sin \alpha = -1/\sqrt{5}$.

$\tg \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \dfrac{-1/\sqrt{5}}{-2/\sqrt{5}} = \dfrac{1}{2}$.

Ответ. $0{,}5$.

Что запомнить

• Основное тождество: $\sin^2 + \cos^2 = 1$.
• Стандартные углы $0, \pi/6, \pi/4, \pi/3, \pi/2$ — наизусть.
• Знаки по четвертям.
• Формула двойного: $\sin 2\alpha = 2 \sin \cos$, $\cos 2\alpha$ — три варианта.
• Формулы приведения: чёт/неч + знак по четверти.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — полный справочник.
• Основное тригонометрическое тождество — главная формула.
• Формулы приведения — как сводить любой аргумент к острому углу.
• Формулы двойного угла — для удвоения аргумента.