График тангенса: период, асимптоты и область определения

У синуса и косинуса период $2\pi$, а у тангенса он вдвое короче: всего $\pi$. Это прямое следствие того, что тангенс определяется как отношение синуса к косинусу. Разберёмся, откуда берутся асимптоты графика тангенса и почему сам график устроен иначе, чем привычная синусоида.

Что такое тангенс как функция

Тангенс угла $x$ определяется через синус и косинус:

Это не отдельное правило, а прямое следствие определения тангенса на тригонометрической окружности: там тангенс равен координате точки пересечения луча угла с вертикальной касательной $x=1$, и эта координата геометрически совпадает с отношением $\sin x / \cos x$. Тангенс — это дробь, и у него сразу два свойства, которых нет ни у синуса, ни у косинуса по отдельности: он не определён там, где знаменатель равен нулю, и он не ограничен сверху и снизу.

Синус и косинус равны координатам точки на единичной окружности, поэтому оба лежат в отрезке $[-1;\,1]$ и определены для любого угла без исключений. Тангенс из них построен через деление, и именно деление добавляет графику тангенса те два свойства, которые отличают его от синусоиды: разрывы и период вдвое короче. Обе особенности разберём по порядку: они связаны одной и той же дробью.

Область определения: почему в точках π/2 + πk тангенса нет

Раз $\tg x = \sin x/\cos x$, тангенс не существует ровно там, где знаменатель этой дроби обращается в ноль, то есть где $\cos x = 0$. На тригонометрической окружности косинус равен координате точки по оси $Ox$, и она обращается в ноль в двух точках окружности: наверху и внизу, при углах $\pi/2$ и $-\pi/2$. С учётом периода косинуса $2\pi$ и того, что через каждые $\pi$ появляется ещё одна такая точка, все решения уравнения $\cos x = 0$ записываются одной формулой:

Значит, область определения тангенса устроена так: все действительные числа, кроме этой серии точек.

Здесь есть тонкость: не путай «не определено» с «равно нулю» или «равно бесконечности». В точках $\pi/2 + \pi k$ числитель дроби $\sin x$ равен $\pm 1$, то есть не ноль. Дробь не превращается в неопределённость вида $0/0$: это деление ненулевого числа на ноль, а такое действие в математике не определено вообще, ни при каком соглашении. Вот почему в этих точках у графика тангенса не дырка и не конечная точка, а вертикальная асимптота. При приближении $x$ к $\pi/2$ слева значение $\tg x$ растёт без ограничения, а справа, наоборот, падает без ограничения: обе ветви никогда не встречаются с прямой $x=\pi/2$.

Период тангенса: почему π, а не 2π

Синус и косинус повторяются через $2\pi$: обойди тригонометрическую окружность полным кругом, и вернёшься в ту же точку. Но у тангенса всё повторяется вдвое быстрее, и вот почему.

Возьми любую точку $x$ на окружности и поверни её ровно на пол-оборота, на угол $\pi$. Новая точка окажется диаметрально противоположной прежней, а у диаметрально противоположных точек обе координаты меняют знак на обратный. Поэтому:

По отдельности ни синус, ни косинус через $\pi$ к прежнему значению не возвращаются: они переходят в противоположное. Но тангенс равен отношению, а не самой координате, и когда числитель и знаменатель одновременно меняют знак, минусы в дроби сокращаются:

Вот и весь секрет. Период тангенса равен $\pi$, потому что поворот на пол-оборота меняет знак у синуса и косинуса одновременно, а их отношение эти два минуса гасит. Для сравнения:

Подробный разбор периодов всех тригонометрических функций, включая случай коэффициента перед $x$, есть в теме Период тригонометрической функции. Здесь главное запомнить причину: период короче не потому, что «так исторически сложилось», а потому что деление двух знаков минус даёт плюс.

Как построить график тангенса на одном периоде

График тангенса строится в четыре шага, и все они завязаны на то, что уже разобрано выше.

Шаг 1. Отметь асимптоты. Проведи пунктиром вертикальные прямые в точках $x=\pi/2+\pi k$: рядом с ними график уходит в бесконечность, но никогда их не касается.

Шаг 2. Отметь точку (0; 0). Из нечётности тангенса (подробнее в следующем разделе) следует, что его график всегда проходит через начало координат.

Шаг 3. Отметь пару опорных точек. Возьми табличные значения: $\tg(\pi/4)=1$ и $\tg(-\pi/4)=-1$. Это даёт две точки, $(\pi/4;\,1)$ и $(-\pi/4;\,-1)$, симметричные относительно начала координат.

Шаг 4. Соедини плавной возрастающей линией. Кривая идёт от нижней асимптоты вверх к верхней, проходя через отмеченные точки, и никогда эти асимптоты не пересекает. На соседних промежутках рисунок повторяется: сдвинь получившуюся «ветвь» на $\pi$ вправо или влево, и получишь весь график.

Обрати внимание на форму каждой отдельной ветви: она нигде не «загибается» обратно, а идёт строго вверх слева направо от одной асимптоты до другой. Это свойство называется монотонностью на каждом промежутке, и мы разберём его подробнее в следующем разделе.

Свойства функции: нечётность, монотонность, область значений

Три свойства графика тангенса пригодятся отдельно: они регулярно всплывают в заданиях на исследование функции.

Нечётность. Синус нечётен ($\sin(-x)=-\sin x$), косинус чётен ($\cos(-x)=\cos x$). Тангенс наследует нечётность от синуса, потому что косинус в знаменателе знак не меняет:

Графически это симметрия относительно начала координат: если точка $(x_0;\,y_0)$ лежит на графике, то и точка $(-x_0;\,-y_0)$ тоже на нём лежит.

Монотонность на каждом промежутке. На любом интервале вида $(-\pi/2+\pi k;\ \pi/2+\pi k)$ функция строго возрастает: от $-\infty$ у левой асимптоты до $+\infty$ у правой. Но нельзя сказать, что тангенс возрастает «на всей области определения»: между двумя соседними промежутками, в самой точке разрыва, функция не определена, и сравнивать значения по разные стороны от асимптоты бессмысленно. Возрастать может только отдельный промежуток, а не весь график сразу.

Область значений. У синуса и косинуса область значений равна отрезку $[-1;\,1]$, потому что это координаты точки на окружности радиуса 1, дальше которой уйти нельзя. У тангенса ограничения нет: около каждой асимптоты значения растут по модулю без предела, значит функция принимает вообще любое число, $E(\tg) = \mathbb{R}$.

Разбор примеров

Три примера нарастающей сложности. Первый разобран полностью, во втором один шаг оставлен тебе, в третьем почти всё решение оставлено тебе.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди область определения функции $y=\tg x$ и укажи первые три асимптоты справа от нуля.

Решение. Тангенс не определён там, где $\cos x = 0$, то есть при $x=\pi/2+\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$. Область определения записывается как $x \neq \pi/2+\pi k$. Чтобы найти первые три асимптоты справа от нуля, подставь $k=0,\,1,\,2$: $\pi/2$, $\pi/2+\pi=3\pi/2$, $\pi/2+2\pi=5\pi/2$.

Типичная ошибка. Указывают только $x=\pi/2$ и забывают слагаемое $+\pi k$, хотя серия точек разрыва бесконечна в обе стороны, а не ограничена одной точкой.

Ответ: $D(y)=x\neq\pi/2+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$; асимптоты справа от нуля: $\pi/2$, $3\pi/2$, $5\pi/2$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг оставлен тебе). Найди период и область определения функции $y=\tg(2x-\pi/4)$.

Решение. Период тангенса с коэффициентом при $x$ делится на модуль этого коэффициента: $T=\pi/|k|$. Здесь коэффициент при $x$ равен 2, значит $T=\pi/2$.

Теперь область определения. Тангенс не определён там, где его аргумент равен $\pi/2+\pi n$. Значит нужно решить: $2x-\pi/4 \neq \pi/2+\pi n$. Попробуй сам выразить $x$ из этого условия: сначала перенеси $\pi/4$ в правую часть, потом раздели обе части на 2.

Проверка себя: $2x \neq \pi/2+\pi/4+\pi n = 3\pi/4+\pi n$, откуда $x \neq 3\pi/8 + \pi n/2$.

Типичная ошибка. Делят на 2 только слагаемое $\pi n$, а свободный член $3\pi/4$ оставляют без изменений. Делить на коэффициент нужно всё уравнение целиком, обе части сразу.

Ответ: $T=\pi/2$; $D(y)=x\neq 3\pi/8+\pi n/2,\ n\in\mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton). Реши уравнение $\tg x=1$ и найди все его корни на отрезке $[0;\,3\pi]$.

Решение.

Шаг 1. Найди один корень уравнения $\tg x=1$ среди табличных значений первой четверти и запиши общий вид решения через период. Подсказка: в какой точке первой четверти тангенс равен единице?

Проверка: $\tg(\pi/4)=1$, значит общий вид всех решений такой: $x=\pi/4+\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$ (шаг между корнями равен именно периоду тангенса, то есть $\pi$, а не $2\pi$).

Шаг 2. Подставь $n=0,\,1,\,2,\,3,\dots$ и определи, какие значения попадают в отрезок $[0;\,3\pi]$, а на каком номере серия выходит за границу. Сделай итоговую проверку самостоятельно, прежде чем смотреть ответ ниже.

Проверка: $n=0 \to \pi/4$; $n=1 \to 5\pi/4$; $n=2 \to 9\pi/4$; $n=3 \to 13\pi/4 = 3{,}25\pi$, это уже больше $3\pi$, значит корень не подходит.

Типичная ошибка. Ищут корни с шагом $2\pi$ по привычке от синуса и косинуса и теряют часть решений. Из-за периода $\pi$ у тангенса корней на том же отрезке ровно вдвое больше, чем было бы у аналогичного уравнения с синусом.

Ответ: на отрезке $[0;\,3\pi]$ уравнение $\tg x=1$ имеет три корня: $\pi/4$, $5\pi/4$, $9\pi/4$.

Типичные ошибки

1. Считают период тангенса равным $2\pi$ по привычке от синуса и косинуса. Из-за этого пропускают часть корней при решении уравнений или неправильно указывают промежутки повторения графика. Период тангенса равен $\pi$, ровно вдвое короче.
2. Забывают слагаемое $+\pi k$ в записи области определения. Указывают одну точку $\pi/2$ вместо бесконечной серии $\pi/2+\pi k$, хотя асимптот у графика бесконечно много в обе стороны.
3. Путают асимптоту с обычным разрывом-«дыркой». В точке разрыва вида «дырка» функция могла бы иметь конечный предел с обеих сторон. У асимптоты тангенса значения уходят в бесконечность, и это принципиально другое поведение графика.
4. При сдвиге аргумента делят на коэффициент только часть уравнения. Например, для $\tg(2x-\pi/4)$ переносят и делят на 2 не всё условие целиком, а только слагаемое с $\pi n$, и получают неверные асимптоты.
5. Считают тангенс ограниченной функцией, как синус и косинус. Область значений тангенса включает все действительные числа, а не только отрезок $[-1;\,1]$: рядом с каждой асимптотой значения растут без предела.

Связь с другими темами

• Тригонометрическая окружность: геометрический смысл тангенса как координаты точки на линии тангенсов, откуда и берётся формула $\tg x=\sin x/\cos x$.
• График синуса и косинуса: для сравнения, та же логика построения графика, но без асимптот и с периодом вдвое длиннее.
• Период тригонометрической функции: общая формула периода для всех тригонометрических функций, включая случай коэффициента перед $x$.
• Уравнение tg x = a: практическое применение периода $\pi$, как записывать все корни уравнения одной формулой.
• Арктангенс и арккотангенс: обратная функция к тангенсу, которая берёт ровно одну «ветвь» этого графика между соседними асимптотами.

Когда понимание графика тангенса становится автоматическим, отбор корней в уравнениях с тангенсом перестаёт быть отдельной сложностью: период $\pi$ просто подставляется в общую формулу без раздумий. Если тема пока путается, короткие тренировки по слабым местам показывают, где именно теряется период или знак асимптоты, и подбирают задачи под конкретный пробел.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 11: исследование функции: здесь график тангенса может встретиться напрямую, нужно прочитать с него период, асимптоты или количество корней уравнения на заданном промежутке.
• Задание 13: уравнения с отбором корней: в уравнениях с тангенсом период $\pi$ определяет, с каким шагом перечислять корни при отборе на отрезке. Перепутай с $2\pi$, и потеряешь половину ответов.

Часто задаваемые вопросы