Период тригонометрической функции — как определить

Определение периода

Функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T > 0$, если для всех $x$ из области определения: $f(x + T) = f(x)$

Наименьший положительный период называют основным периодом.

Основные периоды

Мнемоника: синус и косинус — «большой период» $2\pi$ (полный оборот). Тангенс и котангенс — «половинный» $\pi$ (за полоборота снова то же значение).

Период функции y = A · sin(ωx + φ)

Для функции вида $y = A \cdot \sin(\omega x + \varphi)$:

$T = \frac{2\pi}{\omega}$

Аналогично для $\cos$:

$T = \frac{2\pi}{|\omega|}$

Для $\tg$:

$T = \frac{\pi}{|\omega|}$

Примеры:

Период суммы тригонометрических функций

Период суммы $f(x) + g(x)$ — наименьшее общее кратное (НОК) периодов $T_f$ и $T_g$.

Пример. Период $\sin x + \cos 2x$?

$T_1 = 2\pi$, $T_2 = \pi$.

НОК($2\pi$, $\pi$) = $2\pi$.

Период = $2\pi$.

Нахождение периода по графику

Если дан график $y = A\sin(\omega x + \varphi)$:

1. Найди один полный «горб» функции (от одного нуля возрастания до следующего такого же).
2. Это расстояние по оси $x$ — и есть период $T$.
3. Отсюда $\omega = 2\pi / T$.

Применение в задании 7 ЕГЭ

Задание 7 может спросить:

• «Найти период функции по её формуле».
• «По графику определить $\omega$ или формулу функции».

Пример. Период функции $y = 3\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{4}\right) - 1$ равен...

$\omega = \dfrac{\pi}{4}$, $T = \dfrac{2\pi}{\pi/4} = 8$.

Ответ: $T = 8$.

Применение в задании 12 ЕГЭ

При решении уравнений типа $\sin(\omega x) = a$ — период влияет на запись общего решения. Вместо $2\pi n$ пишем $\dfrac{2\pi}{\omega} \cdot n$:

$\sin(2x) = \dfrac{1}{2}$.

Решение уравнения $\sin t = \dfrac{1}{2}$: $t = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $t = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Возвращаясь к $t = 2x$: $x = \dfrac{\pi}{12} + \pi n$ и $x = \dfrac{5\pi}{12} + \pi n$.

(Период $\pi$ — согласуется с периодом $\sin(2x)$.)

Что запомнить

1. $T(\sin x) = T(\cos x) = 2\pi$, $T(\tg x) = T(\ctg x) = \pi$.
2. $T(A\sin(\omega x + \varphi)) = \dfrac{2\pi}{|\omega|}$.
3. Период суммы = НОК периодов.
4. По графику: измерь длину одного полного цикла.