Период тригонометрической функции: как определить

Период — это «шаг повторения» функции. Прошёл этот шаг по оси $x$, и график начинается заново, точь-в-точь как был. Для синуса и косинуса этот шаг равен полному обороту, для тангенса — половине. Разберёмся, откуда берутся эти числа и как найти период любой функции вида $y=A\sin (\omega x+\phi )$.

Определение периода

Функция $f(x)$ называется периодической с периодом $T>0$, если для всех $x$ из области определения выполнено равенство:

$f(x+T)=f(x)$

Смысл прямой: сдвинул аргумент на $T$, а значение функции не изменилось. Из этого определения сразу следует, что периодов бесконечно много: если $T$ — период, то и $2T$, $3T$, и любое $kT$ тоже периоды. Ведь если функция вернулась к себе за один шаг $T$, то за два шага она тем более вернётся. Поэтому говорить просто «период» было бы неоднозначно, и договариваются о главном.

Наименьший положительный период называют основным периодом. Именно его имеют в виду, когда говорят «период функции» без уточнений. У синуса основной период $2\pi$, хотя $4\pi$, $6\pi$ тоже формально периоды.

Основные периоды

Откуда эти значения? Синус и косинус — это координаты точки, бегущей по единичной окружности. Чтобы точка вернулась в исходное место, надо пройти полный круг, то есть угол $2\pi$. Поэтому период синуса и косинуса равен $2\pi$.

С тангенсом интереснее. Тангенс равен отношению синуса к косинусу, и у двух диаметрально противоположных точек окружности это отношение совпадает: и синус, и косинус у них меняют знак одновременно, а их частное знак сохраняет. Диаметрально противоположная точка достигается за полоборота, то есть за угол $\pi$. Поэтому период тангенса равен $\pi$, вдвое меньше.

Мнемоника: синус и косинус — «большой период» $2\pi$ (полный оборот). Тангенс и котангенс — «половинный» $\pi$ (за полоборота снова то же значение). Эту пару чисел стоит вызубрить намертво, потому что именно на ней строятся все остальные вычисления периода.

А почему период $|\sin x|$ равен $\pi$, а не $2\pi$? Модуль отражает всю нижнюю часть графика вверх. Там, где синус был отрицательным «горбом», после модуля появляется такой же положительный горб. В итоге картинка повторяется вдвое чаще, и период уменьшается до $\pi$.

Период функции y = A · sin(ωx + φ)

В заданиях чаще встречается не голый синус, а функция с коэффициентом внутри. Для неё есть готовая формула.

Для функции вида $y=A\sin (\omega x+\phi )$:

$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$

Аналогично для косинуса:

$T=\frac{2\pi }{|\omega |}$

Для тангенса базовый период $\pi$, поэтому:

$T=\frac{\pi }{|\omega |}$

Ключевой момент: на период влияет только коэффициент $\omega$ при $x$. Амплитуда $A$ растягивает график по высоте, сдвиг $\phi$ двигает его влево или вправо, но длину одного цикла они не трогают. Модуль у $\omega$ важен: знак коэффициента не меняет период, потому что отрицательный $\omega$ просто разворачивает график, не сжимая его.

Откуда берётся формула $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$? Покажем на синусе. По определению период — это такое $T$, что $\sin (\omega (x+T)+\phi )=\sin (\omega x+\phi )$ при любом $x$. Раскроем скобку: $\sin (\omega x+\omega T+\phi )=\sin (\omega x+\phi )$. Синус повторяется, когда его аргумент увеличился ровно на $2\pi$. Значит $\omega T=2\pi$, откуда $T=\frac{2\pi }{\omega }$. Берём модуль, потому что период обязан быть положительным. Вся формула вырастает из единственного факта: базовый синус повторяется через $2\pi$, и коэффициент $\omega$ «сжимает» этот шаг в $\omega$ раз.

Последняя строка показывает интересный случай: когда $\omega =\pi$, период становится обычным числом $2$. Это бывает в задачах, где график растянут под целочисленную сетку.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг, в третьем — почти весь ход.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди период функции $y=4\sin 5x$.

Решение. Амплитуда $A=4$ на период не влияет, смотрим только на коэффициент при $x$: $\omega =5$. По формуле:

$T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{5}$

Типичная ошибка. Пытаются учесть амплитуду 4 в периоде. Амплитуда меняет высоту, а не ширину цикла.

Ответ: $T=\frac{2\pi }{5}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Найди период функции $y=\cos \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi }{4}\right)$.

Решение. Сдвиг $\frac{\pi }{4}$ на период не влияет. Коэффициент при $x$ равен $\omega =\frac{1}{3}$. Попробуй сам подставить его в формулу $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$.

Раскрытие: $T=\frac{2\pi }{1/3}=2\pi \cdot 3=6\pi$.

Типичная ошибка. Делят на $1/3$ как на 3, получая $2\pi /3$. Деление на дробь $1/3$ равно умножению на 3.

Ответ: $T=6\pi$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Найди период функции $y=\mathrm{tg}\left(3x-\frac{\pi }{5}\right)$.

Решение.

Шаг 1. Определи базовый период. Спроси себя: это синус, косинус или тангенс? Тангенс, значит базовый период $\pi$, а не $2\pi$.

Шаг 2. Найди $\omega$ и подставь в формулу. Спроси себя: какой коэффициент стоит при $x$? Это $\omega =3$. Формула для тангенса:

$T=\frac{\pi }{|\omega |}=\frac{\pi }{3}$

Шаг 3 (итоговая проверка). Сдвиг $\frac{\pi }{5}$ не учитываем, он только двигает график.

Типичная ошибка. Берут базовый период $2\pi$ вместо $\pi$. У тангенса базовый период $\pi$.

Ответ: $T=\frac{\pi }{3}$.

Период суммы тригонометрических функций

Когда функция — это сумма нескольких тригонометрических, её период находят как наименьшее общее кратное (НОК) периодов слагаемых. Логика простая: сумма повторится только тогда, когда повторятся оба слагаемых одновременно, а это случается на общем кратном их периодов.

Пример. Найди период функции $y=\sin x+\cos 2x$.

Период первого слагаемого $T_1=2\pi$, второго $T_2=\pi$. Наименьшее общее кратное: НОК$(2\pi ,\pi )=2\pi$.

Период суммы равен $2\pi$.

Период функций со степенью: sin²x и cos²x

Отдельный частый сюжет — функции вроде ${\sin }^{2}x$ или ${\cos }^{2}x$. На первый взгляд кажется, что период такой же, как у синуса, то есть $2\pi$. Но это не так, и причина прячется в формулах понижения степени.

Распишем ${\sin }^{2}x$ через двойной угол:

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$

В правой части стоит $\cos 2x$, у которого период $\pi$. Значит и у ${\sin }^{2}x$ период тоже $\pi$, а не $2\pi$. То же с ${\cos }^{2}x$: после понижения степени появляется $\cos 2x$, и период становится $\pi$.

Это типичная ловушка. Если в задании дана функция $y={\sin }^{2}x$ и спрашивают период, правильный ответ $\pi$. Тот, кто механически написал $2\pi$, теряет балл. Полезное правило: квадрат тригонометрической функции колеблется вдвое чаще, поэтому его период вдвое короче.

Период и частота: как связаны

С периодом тесно связано понятие частоты — это число полных колебаний на единичном отрезке. Чем больше коэффициент $\omega$, тем чаще функция колеблется и тем короче её период. Связь обратная: $T=\frac{2\pi }{\omega }$, то есть период и коэффициент обратно пропорциональны.

Понимать эту связь полезно при чтении графиков. Если на картинке волны «частые», плотно набитые, значит $\omega$ большой, а период маленький. Если волны «растянутые», редкие, значит $\omega$ маленький, а период большой. Этот визуальный навык помогает за секунду прикинуть ответ и проверить себя после вычислений. Например, у $\sin 10x$ за тот же отрезок укладывается в десять раз больше волн, чем у $\sin x$, и период у него ровно в десять раз меньше.

Нахождение периода по графику

В задании 7 период часто требуется снять прямо с картинки. Порядок такой:

1. Найди один полный «горб» функции (от одного нуля при возрастании до следующего такого же нуля при возрастании, либо от вершины до вершины).
2. Расстояние по оси $x$ между этими точками и есть период $T$.
3. Если нужна формула функции, найди $\omega =\frac{2\pi }{T}$.

Пройдём по этому алгоритму прямо на картинке. График начинается в нуле и идёт вверх — это старт цикла. Дальше он поднимается до единицы, спускается до минус единицы и возвращается на ось. Возврат случился в точке $x=\pi$, и там функция снова идёт вверх — значит, цикл замкнулся именно здесь, а не в $x=\pi /2$, где график тоже пересекает ось, но уже на спуске. Отсюда $T=\pi$, а коэффициент $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$. Сверяем с формулой $y=\sin 2x$ — совпало.

Обрати внимание на две вещи. Во-первых, на отрезке $[0;2\pi ]$ уместилось ровно два периода — это и есть визуальный признак того, что $\omega =2$: сколько периодов уложилось в полный оборот, таков и коэффициент. Во-вторых, амплитуда здесь равна единице, потому что множителя перед синусом нет; на период она всё равно не влияет — растяни график по высоте вдвое, и скобка под ним останется той же длины.

Применение в задании 7 ЕГЭ

Задание 7 спрашивает про период двумя способами. Первый: дана формула, найди период. Второй: дан график, определи $\omega$ или восстанови формулу функции.

Пример. Найди период функции $y=3\cos \left(\frac{\pi x}{4}\right)-1$.

Свободный член $-1$ опускает график вниз, но на период не влияет. Амплитуда 3 тоже не при чём. Смотрим на коэффициент при $x$: $\omega =\frac{\pi }{4}$.

$T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{\pi /4}=2\pi \cdot \frac{4}{\pi }=8$

Ответ: $T=8$.

Обратная задача встречается так же часто: по графику восстановить $\omega$. Допустим, на картинке видно, что синусоида делает один полный цикл за отрезок длиной $\pi$. Тогда период $T=\pi$, и коэффициент $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{\pi }=2$. Значит функция имеет вид $y=A\sin (2x+\phi )$, а амплитуду $A$ и сдвиг $\phi$ дочитываешь с того же графика: $A$ — это высота горба, $\phi$ — насколько график сдвинут от обычного синуса. Так из одной измеренной длины восстанавливается вся формула.

Применение в задании 12 ЕГЭ

В уравнениях период подсказывает, как записать общее решение. Когда под синусом стоит $\omega x$, период серии решений тоже меняется.

Пример. Реши уравнение $\sin 2x=\frac{1}{2}$.

Сделаем замену $t=2x$. Уравнение $\sin t=\frac{1}{2}$ имеет решения:

$t=\frac{\pi }{6}+2\pi n\text{и}t=\pi -\frac{\pi }{6}+2\pi n=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$

Возвращаемся к $t=2x$, делим на 2:

$x=\frac{\pi }{12}+\pi n\text{и}x=\frac{5\pi }{12}+\pi n$

Обрати внимание: период серии стал $\pi n$, а не $2\pi n$. Это согласуется с тем, что период функции $\sin 2x$ равен $\pi$. Когда делишь аргумент на 2, период тоже делится на 2.

Этот эффект работает и в обратную сторону. Если в уравнении стоит $\sin \frac{x}{2}$, то период функции равен $\frac{2\pi }{1/2}=4\pi$, и серия решений будет иметь шаг $4\pi n$. Поэтому, записывая ответ, всегда сверяй период серии с периодом самой функции: они должны совпадать. Это хорошая страховка от ошибки. Если ты получил серию с шагом $2\pi n$, а функция была $\sin 3x$ с периодом $\frac{2\pi }{3}$, значит где-то потерял делитель и ответ надо перепроверить.

Типичные ошибки

1. Учитывать амплитуду или сдвиг в периоде. Период зависит только от $\omega$. Множитель $A$ и слагаемое $\phi$ его не трогают.
2. Брать период $2\pi$ для тангенса. У тангенса и котангенса базовый период $\pi$.
3. Забывать модуль у $\omega$. Период всегда положителен, поэтому в формуле стоит $|\omega |$, а не $\omega$.
4. Путать деление на дробь. $\frac{2\pi }{1/3}=6\pi$, а не $\frac{2\pi }{3}$.
5. Считать период $|\sin x|$ равным $2\pi$. У модуля синуса период $\pi$ — график повторяется вдвое чаще.

Что запомнить

Период синуса и косинуса равен $2\pi$, тангенса и котангенса — $\pi$. Для функции $y=A\sin (\omega x+\phi )$ период равен $\frac{2\pi }{|\omega |}$, и ни амплитуда, ни сдвиг на него не влияют. Период суммы — это НОК периодов слагаемых. По графику период снимают как длину одного полного цикла. Отдельно держи в голове две ловушки: квадрат функции (${\sin }^{2}x$, ${\cos }^{2}x$) имеет период $\pi$, а не $2\pi$, и модуль ($|\sin x|$) тоже даёт период $\pi$. И помни главное правило: чем больше коэффициент $\omega$, тем чаще колебания и тем короче период.

Связь с другими темами

• Графики синуса и косинуса — там период виден как длина одной волны.
• Тригонометрические уравнения — период определяет, как записать серию решений.
• Формулы двойного угла — $\sin 2x$ имеет вдвое меньший период, чем $\sin x$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 7 — исследование функций и графиков, где период определяют по формуле или по картинке.
• Задание 12 — тригонометрические уравнения, где период влияет на запись общего решения.