Отбор корней на единичной окружности по промежутку

Графический метод отбора корней на единичной окружности — самый надёжный инструмент для заданий 12 и 13 ЕГЭ. Он особенно незаменим, когда промежуток задан в виде $[\alpha; \beta]$ и нужно быстро понять, какие корни входят.

Идея метода

На единичной окружности каждый угол $x$ соответствует точке. Корни уравнения $\sin x = a$ или $\cos x = a$ — это точки пересечения горизонтальной (или вертикальной) прямой с окружностью.

Промежуток $[\alpha; \beta]$ задаёт дугу окружности (двигаясь против часовой стрелки от $\alpha$ до $\beta$). Корни, попавшие на эту дугу, — нужные.

Как нарисовать дугу промежутка

1. Нарисуй единичную окружность с осями
2. Отметь начало дуги — точку угла $\alpha$ (отсчёт от положительной оси Ox, против часовой)
3. Отметь конец дуги — точку угла $\beta$
4. Закрась дугу от $\alpha$ до $\beta$ (против часовой стрелки)

Если граница включена (скобка $[$ или $]$) — рисуй закрашенную точку. Если не включена (скобка $($) — рисуй незакрашенную.

Пример 1: sin x = 1/2, промежуток $[0; \pi]$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$

На окружности: горизонтальная прямая $y = \frac{1}{2}$ пересекает окружность в точках $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Дуга промежутка $[0; \pi]$: от 0 до $\pi$ (верхняя полуокружность).

Обе точки $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ — на этой дуге.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Пример 2: cos x = −1/2, промежуток $[-\pi; \pi]$

Общее решение: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

На окружности: вертикальная прямая $x = -\frac{1}{2}$ пересекает окружность в точках $\frac{2\pi}{3}$ и $-\frac{2\pi}{3}$.

Дуга промежутка $[-\pi; \pi]$: вся окружность от $-\pi$ до $\pi$.

Обе точки входят.

Ответ: $x = \frac{2\pi}{3}$ и $x = -\frac{2\pi}{3}$.

Пример 3: Сложный промежуток $[-\pi; 0]$

Уравнение: $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Дуга $[-\pi; 0]$: нижняя полуокружность (от $-\pi$ до $0$).

Точки $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$ — на верхней дуге, не попадают.

А при $n = -1$: $\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4}$ — за пределами.

Ответ: корней нет на $[-\pi; 0]$.

Когда метод особенно полезен

Используй окружность, когда:

• Промежуток — одна «волна» ($[0; 2\pi]$, $[-\pi; \pi]$ и т.д.)
• Нужно быстро отсеять лишние корни визуально
• Корни «красивые» ($\frac{\pi}{6}$, $\frac{\pi}{4}$, $\frac{\pi}{3}$, $\frac{\pi}{2}$ и т.д.)

Используй алгебраический метод (неравенство для n), когда:

• Промежуток большой ($[0; 10\pi]$, $[-50; 50]$)
• Корни не «красивые» (irrational values)
• Нужно найти число корней, а не перечислить

Запомни расположение «красивых» углов

Типичные ошибки

Ошибка 1. Нарисовать дугу в неправильном направлении (по часовой вместо против часовой).

Ошибка 2. Забыть, что промежуток $[a; b]$ при $a < b$ — это конкретная дуга, а не «все точки».

Ошибка 3. Не учесть сдвиг на $2\pi n$ — корни при разных $n$ могут попадать или не попадать на дугу.

Ошибка 4. Включить или исключить граничные точки неверно (строгое/нестрогое неравенство в промежутке).

Чек-лист

• Знаю расположение основных «красивых» углов на окружности
• Умею рисовать дугу по заданному промежутку
• Помню: дуга — против часовой стрелки
• Проверяю граничные точки (входят ли в промежуток)
• При «некрасивых» корнях переключаюсь на алгебраический метод

Связанные темы

• Отбор корней тригонометрических уравнений (общий метод)
• Задание 12 ЕГЭ: уравнения с отбором корней
• Задание 13: полный гайд