Отбор корней на единичной окружности по промежутку

Отбор корней — это вторая половина задания 12 и 13, за которую дают балл наравне с самим решением. Метод единичной окружности здесь самый наглядный: вместо абстрактного перебора целых чисел ты просто рисуешь дугу и смотришь, какие точки на неё попали.

Идея метода

На единичной окружности каждому углу $x$ соответствует одна точка. Корни уравнения $\sin x = a$ или $\cos x = a$ — это точки, где горизонтальная (для синуса) или вертикальная (для косинуса) прямая пересекает окружность.

Заданный промежуток $[\alpha;\ \beta]$ превращается в дугу: ты идёшь по окружности против часовой стрелки от угла $\alpha$ до угла $\beta$. Корни, попавшие на эту дугу, и есть ответ. Те, что остались за дугой, отбрасываешь. Вся задача сводится к одному вопросу: какие из точек-корней лежат на нарисованной дуге.

Главное преимущество окружности — наглядность. Ты видишь сразу всю картину: где корни, где промежуток, что куда попало. Алгебраический перебор тоже работает, но окружность экономит время, когда промежуток короткий, а корни табличные. Многим школьникам геометрический образ заходит лучше абстрактных неравенств: точки и дуга — это конкретно, их можно показать пальцем, в отличие от строчки с целым $n$, которое надо подбирать в уме. Поэтому окружность часто рекомендуют как основной метод для задания 12, оставляя алгебру на сложные случаи.

Как нарисовать дугу промежутка

1. Нарисуй единичную окружность с осями $Ox$ и $Oy$.
2. Отметь начало дуги — точку угла $\alpha$, отсчитывая от положительного направления оси $Ox$ против часовой стрелки.
3. Отметь конец дуги — точку угла $\beta$.
4. Закрась дугу от $\alpha$ до $\beta$, двигаясь против часовой стрелки.

Граничные точки рисуй по типу скобок. Если граница включена (квадратная скобка $[$ или $]$), точка закрашенная, корень на ней входит в ответ. Если граница не включена (круглая скобка $($ или $)$), точка пустая, корень на ней не входит.

Расположение «красивых» углов

Чтобы быстро наносить корни без вычислений, держи в голове опорную сетку основных углов.

Эту таблицу не нужно зубрить целиком: достаточно запомнить первую четверть и понять симметрию. Углы во II, III и IV четвертях получаются отражением углов первой четверти, и знаки синуса с косинусом меняются по понятному правилу четвертей.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь шаг, в третьем — почти весь ход.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $\sin x = \dfrac{1}{2}$ и отбери корни на промежутке $[0;\ \pi]$.

Решение. Общее решение: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$. На окружности это две точки: горизонтальная прямая $y = \dfrac{1}{2}$ пересекает окружность в углах $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$.

Дуга промежутка $[0;\ \pi]$ — это верхняя полуокружность от точки $0$ до точки $\pi$. Обе точки, $\dfrac{\pi}{6}$ и $\dfrac{5\pi}{6}$, лежат на этой дуге: угол $\dfrac{\pi}{6}$ в первой четверти, угол $\dfrac{5\pi}{6}$ во второй, и обе четверти входят в верхнюю полуокружность. Значит оба корня попадают в ответ.

Типичная ошибка. Берут только одну точку, забывая, что у синуса на верхней дуге две точки с одним значением. Горизонтальная прямая всегда пересекает окружность в двух местах, кроме случая касания на самом верху или внизу.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{6}$ и $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ и отбери корни на $[-\pi;\ \pi]$.

Решение. Общее решение: $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$. На окружности вертикальная прямая $x = -\dfrac{1}{2}$ пересекает её в точках $\dfrac{2\pi}{3}$ и $-\dfrac{2\pi}{3}$.

Попробуй сам определить, какая дуга соответствует промежутку $[-\pi;\ \pi]$. Подсказка: это вся окружность, от точки $-\pi$ (левая точка) против часовой через низ, право, верх обратно к $\pi$.

Раскрытие: дуга $[-\pi;\ \pi]$ покрывает всю окружность, поэтому обе точки попадают в ответ.

Типичная ошибка. Считают $-\dfrac{2\pi}{3}$ выходящим за промежуток, забывая, что $-\dfrac{2\pi}{3} \approx -2{,}09$ лежит между $-\pi \approx -3{,}14$ и $\pi$.

Ответ: $x = \dfrac{2\pi}{3}$ и $x = -\dfrac{2\pi}{3}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение $\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ и отбери корни на $[-\pi;\ 0]$.

Решение.

Шаг 1. Запиши общее решение. Спроси себя: где синус равен $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$? Это $x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi n$ и $x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi n$.

Шаг 2. Определи дугу промежутка. Спроси себя: какая часть окружности соответствует $[-\pi;\ 0]$? Это нижняя полуокружность, от левой точки $-\pi$ через низ до правой точки $0$.

Шаг 3 (проверка попадания). Точки $\dfrac{\pi}{4}$ и $\dfrac{3\pi}{4}$ лежат в верхней части окружности, не на нижней дуге. Проверим соседние $n$: при $n = -1$ получаем $\dfrac{\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{7\pi}{4} \approx -5{,}5$ и $\dfrac{3\pi}{4} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{4} \approx -3{,}9$ — обе за пределами $[-\pi;\ 0]$. На нижней дуге синус отрицателен, а нам нужен положительный $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ — значит на этой дуге корней нет.

Типичная ошибка. Механически записывают $\dfrac{\pi}{4}$ в ответ, не проверив, что она на нужной дуге.

Ответ: на промежутке $[-\pi;\ 0]$ корней нет.

Пример с большим промежутком

Когда промежуток выходит за один оборот, на окружности приходится учитывать несколько витков. Разберём такой случай.

Задача. Реши уравнение $\cos x = 1$ и отбери корни на промежутке $[0;\ 4\pi]$.

Решение. Косинус равен 1 только в крайней правой точке окружности, то есть при $x = 2\pi n$. Это одна серия, без второй точки.

Промежуток $[0;\ 4\pi]$ — это два полных оборота. На окружности точка $\cos x = 1$ одна, но за два оборота мы проходим её трижды: на старте $x = 0$, после первого оборота $x = 2\pi$ и после второго $x = 4\pi$.

Перебираем $n$: при $n = 0$ корень $x = 0$ (граница включена), при $n = 1$ корень $x = 2\pi$, при $n = 2$ корень $x = 4\pi$ (вторая граница включена). Все три в промежутке.

Ответ: $x = 0$, $x = 2\pi$, $x = 4\pi$.

Этот пример показывает, почему для больших промежутков окружность дополняют перебором: сама точка одна, но за несколько оборотов она «срабатывает» несколько раз. Считать обороты удобнее по формуле, а окружность помогает не запутаться, где именно точка.

Почему важен сдвиг 2πn

Часто корни записывают с периодом $2\pi n$, и этот сдвиг нельзя игнорировать при отборе. Одна и та же точка окружности соответствует бесконечному множеству углов, отличающихся на полный оборот: $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{6} + 2\pi$, $\dfrac{\pi}{6} - 2\pi$ и так далее. Все они — одна точка на окружности, но разные числа на числовой оси.

При отборе важно проверить не только базовый корень, но и его сдвиги на $\pm 2\pi$. Корень $\dfrac{\pi}{6}$ может не попасть в промежуток, а вот $\dfrac{\pi}{6} - 2\pi$ — попасть, если промежуток сдвинут влево. Поэтому правило простое: для каждой серии перебери несколько соседних значений $n$ (обычно $-1, 0, 1$, иногда больше) и проверь каждый корень на попадание. Пропустишь сдвиг — потеряешь корень.

Когда окружность, а когда алгебра

Метод окружности не единственный. Есть алгебраический способ через неравенство для $n$: подставляешь общее решение в неравенство $\alpha \leq x \leq \beta$ и решаешь его относительно целого $n$. Полезно понимать, когда какой метод выбрать.

Окружность бери, когда промежуток — примерно один оборот ($[0;\ 2\pi]$, $[-\pi;\ \pi]$ и подобные), когда нужно быстро отсеять лишние корни визуально и когда корни «красивые» ($\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$ и так далее).

Алгебру бери, когда промежуток большой ($[0;\ 10\pi]$, $[-50;\ 50]$), когда корни нетабличные (например, $\arctg 2$) и когда требуется найти число корней, а не перечислить их. На большом промежутке рисовать десятки точек на окружности неудобно, а неравенство для $n$ даёт ответ сразу.

Граничные точки: тонкий момент

Граничные точки промежутка — самое частое место ошибок. Если промежуток записан как $[0;\ 2\pi]$ с квадратными скобками, обе границы включены, и корень, попавший ровно на $0$ или на $2\pi$, входит в ответ. Если промежуток $(0;\ 2\pi)$ с круглыми скобками, границы не входят, и такой корень отбрасывается.

Особенно коварен случай, когда корень совпадает с границей. Например, уравнение $\sin x = 0$ имеет корень $x = 0$. На промежутке $[0;\ 2\pi]$ этот корень входит (граница закрашена), а на $(0;\ 2\pi)$ — нет. Поэтому всегда смотри на тип скобок, прежде чем записать ответ. Эта мелочь решает, потеряешь ты балл или нет. Совет: подчёркивай или обводи тип скобок в условии, как только начинаешь задачу, чтобы в конце не забыть про границу. На экзамене из-за усталости легко принять закрытую скобку за открытую, и тогда правильно решённая задача теряет балл на последнем шаге.

Типичные ошибки

1. Рисовать дугу в неправильном направлении. Дуга всегда идёт против часовой стрелки от $\alpha$ к $\beta$.
2. Забывать про второй корень. У синуса и косинуса на промежутке часто две точки с одним значением, не одна.
3. Не учитывать сдвиг на $2\pi n$. Корни при разных $n$ могут попадать или не попадать на дугу — проверяй соседние значения $n$.
4. Неверно обрабатывать граничные точки. Квадратная скобка — точка входит, круглая — не входит.
5. Путать дуги для синуса и косинуса. Синус задаётся горизонтальной прямой, косинус — вертикальной.

Что запомнить

Отбор корней на окружности — это перевод задачи на язык геометрии. Корни становятся точками, промежуток — дугой, и ты просто смотришь, какие точки на дугу попали. Дугу рисуешь против часовой стрелки от $\alpha$ к $\beta$. Граничные точки обрабатываешь по типу скобок: квадратная — входит, круглая — нет. Для каждой серии корней проверяешь несколько соседних $n$, чтобы не упустить сдвиг на $2\pi$. Окружность хороша для коротких промежутков и табличных корней, а для больших промежутков её дополняют перебором или неравенством для $n$. И главное правило: после отбора всегда сверяй, что отобранные корни действительно удовлетворяют исходному уравнению.

Связь с другими темами

• Отбор корней тригонометрических уравнений — алгебраический способ через неравенство для $n$, дополняет окружность.
• Тригонометрические уравнения — откуда берутся корни, которые потом отбирают.
• Тригонометрические неравенства — та же окружность, но дуга задаёт область решений неравенства.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 12 — уравнение с отбором корней на отрезке. Окружность здесь основной инструмент.
• Задание 13 — часть 2, где отбор корней оценивается отдельным баллом.