Задание 13 ЕГЭ (в 2027 году — 14): тригонометрия по шагам

Разбор задания 13: основные типы тригонометрических уравнений, алгоритм отбора корней, типичные ошибки. С примерами полного решения по каждому типу.

Номер задания. В ЕГЭ-2026 уравнение с отбором корней шло под номером 13. В проекте ЕГЭ-2027 добавлены задания 6 (случайные величины) и 13 (финансовая математика), поэтому уравнение с отбором корней теперь четырнадцатое. Метод решения тот же. Документы ЕГЭ-2027 пока проектные, номера и критерии сверяй с финальной версией на сайте ФИПИ.

Что проверяет задание 13

Это первая задача части 2 профильной математики. Она даёт 2 первичных балла и состоит из двух пунктов: «а) решить уравнение» и «б) выбрать корни на указанном отрезке».

Типов уравнений немного, и у каждого есть стандартный алгоритм. Выучи алгоритмы и научись уверенно отбирать корни, тогда это задание превращается в технику без импровизации.

Теория темы в учебнике: тригонометрические уравнения, однородные тригонометрические уравнения и отбор корней на окружности.

✓ Критерии оценки (по проекту демонстрационного варианта ЕГЭ-2027). 2 балла: обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. 1 балл: обоснованно получен верный ответ в пункте а, либо ответы неверны из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов обоих пунктов. Во всех остальных случаях — 0. Отбор корней оценивается вместе с решением уравнения, поэтому важно довести решение до конца и записать обоснование.

Какие бывают типы уравнений

Ниже разобраны четыре группы уравнений, каждая с полным примером:

• базовые: $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}x=a$;
• сводящиеся к квадратным относительно $\sin x$ или $\cos x$;
• однородные: $a\sin x+b\cos x=0$ и однородные второй степени;
• уравнения, в которых сначала нужна формула (двойного угла, понижения степени, суммы в произведение), а затем замена или разложение.

Если в уравнении есть дробь, добавь ещё один шаг: найди ОДЗ и проверяй корни по нему до отбора на отрезке.

Базовые тригонометрические уравнения

Базовое уравнение — это уравнение вида $\sin x=a$, $\cos x=a$, $\mathrm{tg}x=a$. Для них существуют готовые формулы общего решения.

Формулы для синуса:

$\sin x=a\Rightarrow x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Формулы для косинуса:

$\cos x=a\Rightarrow x=\pm \arccos a+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Для тангенса:

$\mathrm{tg}x=a\Rightarrow x=\mathrm{arctg}a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Эти три формулы нужно знать наизусть, потому что они работают как фундамент для всех остальных типов. Важно: формулы синуса и косинуса дают разный шаг по $n$: у синуса $\pi n$, у косинуса $2\pi n$. Если ты их перепутаешь, потеряешь корни или наоборот насчитаешь лишние.

Пример 1. Решить уравнение $\cos x=\frac{1}{2}$ и найти корни на промежутке $[-\pi ;2\pi ]$.

Решение.

По формуле для косинуса:

$x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Это две серии корней: $x_1=\frac{\pi }{3}+2\pi n$ и $x_2=-\frac{\pi }{3}+2\pi n$.

Отбор корней на промежутке $[-\pi ;2\pi ]$. Подставляем целые $n$ в обе серии и оставляем те, что попадают в промежуток.

Серия 1: при $n=0$ получаем $\frac{\pi }{3}$, при $n=1$ получаем $\frac{7\pi }{3}$ (это больше $2\pi$, не подходит), при $n=-1$ получаем $-\frac{5\pi }{3}$ (меньше $-\pi$, не подходит).

Серия 2: при $n=0$ получаем $-\frac{\pi }{3}$, при $n=1$ получаем $\frac{5\pi }{3}$, при $n=-1$ получаем $-\frac{7\pi }{3}$ (меньше $-\pi$, не подходит).

Ответ: $x=\frac{\pi }{3};-\frac{\pi }{3};\frac{5\pi }{3}$.

Уравнения, сводимые к квадратным

Это один из самых распространённых типов. Уравнение содержит одну тригонометрическую функцию (например, только синус или только косинус), и его можно представить как квадратное по этой функции. Алгоритм: вводишь замену $t=\sin x$ (или $t=\cos x$), решаешь квадратное уравнение, для каждого корня делаешь обратную замену.

Пример 2. Решить уравнение $2{\sin }^{2}x+5\sin x-3=0$ и найти корни на промежутке $\left[\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$.

Решение.

Замена $t=\sin x$. Уравнение принимает вид:

$2t^2+5t-3=0$

Дискриминант: $D=25+24=49$, $\sqrt{D}=7$. Корни:

$t_1=\frac{-5+7}{4}=\frac{1}{2},t_2=\frac{-5-7}{4}=-3$

Второй корень $t_2=-3$ не подходит, потому что синус всегда от $-1$ до $1$. Остаётся $t_1=\frac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

$\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=(-1{)}^n\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Удобнее сразу записать это как две серии:

$x_1=\frac{\pi }{6}+2\pi n,x_2=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$

Отбор корней на $\left[\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$:

Серия 1: при $n=0$ получаем $\frac{\pi }{6}$ (меньше $\frac{\pi }{2}$, не подходит), при $n=1$ получаем $\frac{13\pi }{6}$ (это $\approx 2,17\pi$, попадает в промежуток).

Серия 2: при $n=0$ получаем $\frac{5\pi }{6}$ (попадает), при $n=1$ получаем $\frac{17\pi }{6}$ (это $\approx 2,83\pi$, больше $\frac{5\pi }{2}$, не подходит).

Ответ: $x=\frac{5\pi }{6};\frac{13\pi }{6}$.

Однородные уравнения

Однородное уравнение содержит и синус, и косинус в равных степенях. Простейший случай — это $a\sin x+b\cos x=0$. Алгоритм: делишь обе части на $\cos x$ (или на ${\cos }^{2}x$ во второй степени), уравнение превращается в уравнение относительно тангенса.

Пример 3. Решить уравнение $\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$ и найти корни на промежутке $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$.

Решение.

Делим обе части на $\cos x$. Перед делением проверяем, что $\cos x=0$ не даёт корня: если $\cos x=0$, то из исходного уравнения $\sin x=0$, но $\sin x$ и $\cos x$ одновременно нулю быть не могут. Делить можно.

После деления:

$\mathrm{tg}x-\sqrt{3}=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=\sqrt{3}$

Корни:

$x=\mathrm{arctg}\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{3}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Отбор на $\left[0;\frac{3\pi }{2}\right]$:

При $n=0$: $x=\frac{\pi }{3}$, попадает. При $n=1$: $x=\frac{4\pi }{3}$, попадает (поскольку $\frac{4\pi }{3}\approx 1,33\pi <1,5\pi$). При $n=2$: $x=\frac{7\pi }{3}$, не попадает. При $n=-1$: $x=-\frac{2\pi }{3}$, не попадает.

Ответ: $x=\frac{\pi }{3};\frac{4\pi }{3}$.

⚠️ Не теряй корни при делении. Перед тем как поделить уравнение на $\cos x$, всегда проверяй, может ли $\cos x=0$ быть корнем исходного уравнения. Если может, эти значения нужно добавить в ответ отдельно. Это типичная ошибка в однородных уравнениях: потерянный корень делает ответ неверным.

Сначала формулы, потом замена

В эту группу попадают уравнения, в которых нужно сначала упростить выражение через формулы преобразования (двойного угла, понижения степени, суммы в произведение), а уже потом решать.

Пример 4. Решить уравнение $\cos 2x+5\cos x+3=0$ и найти корни на промежутке $[0;2\pi ]$.

Решение.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$. Подставляем:

$2{\cos }^{2}x-1+5\cos x+3=0$

$2{\cos }^{2}x+5\cos x+2=0$

Дальше уравнение сводится к квадратному заменой $t=\cos x$:

$2t^2+5t+2=0$

$D=25-16=9$, $\sqrt{D}=3$. Корни:

$t_1=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2},t_2=\frac{-5-3}{4}=-2$

Корень $t_2=-2$ не подходит, поскольку косинус только в диапазоне $[-1;1]$. Остаётся $\cos x=-\frac{1}{2}$.

Решение базового уравнения:

$x=\pm \arccos \left(-\frac{1}{2}\right)+2\pi n=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi n$

Две серии:

$x_1=\frac{2\pi }{3}+2\pi n,x_2=-\frac{2\pi }{3}+2\pi n=\frac{4\pi }{3}+2\pi n$

Отбор на $[0;2\pi ]$:

Серия 1: при $n=0$ получаем $\frac{2\pi }{3}$ (попадает); при $n=1$ получаем $\frac{8\pi }{3}$ (не попадает).

Серия 2: при $n=0$ получаем $\frac{4\pi }{3}$ (попадает); при $n=1$ получаем $\frac{10\pi }{3}$ (не попадает).

Ответ: $x=\frac{2\pi }{3};\frac{4\pi }{3}$.

Как выбирать корни в указанном промежутке

Отбор корней — это вторая половина задания 13 ЕГЭ, и за неё дают отдельный балл. Алгоритм одинаковый для всех типов уравнений:

1. После решения уравнения у тебя на руках одна или несколько серий корней вида $x=a+Tn$, где $T$ — период.
2. Для каждой серии отдельно подставляешь целые $n$ начиная с $n=0$ и проверяешь, попадает ли результат в указанный промежуток.
3. Двигаешься в обе стороны: $n=1,2,\dots$ и $n=-1,-2,\dots$, пока корни не выйдут за границы промежутка.
4. Все попавшие значения собираешь в ответ. Порядок неважен, но удобнее записывать их по возрастанию.

Альтернативный способ — отбор корней на единичной окружности. Он нагляднее, но ошибиться в нём проще, особенно если промежуток нестандартный (например, $\left[\frac{5\pi }{4};\frac{17\pi }{4}\right]$). На экзамене подставление целых $n$ в формулу обычно надёжнее.

✓ Совет. Когда промежуток в условии длинный (больше двух периодов), сразу прикинь, сколько целых $n$ тебе придётся подставить. Если промежуток имеет длину $4\pi$, а период серии $2\pi$, то в каждой серии будет два корня (три, если корень попадает на оба конца отрезка). Это помогает не сбиться и не пропустить ни одного.

Типичные ошибки

Ошибки в этом задании чаще всего случаются в одних и тех же местах.

Перепутанные формулы. У синуса общее решение записывается через $(-1{)}^n$ с шагом $\pi n$, у косинуса через $\pm$ с шагом $2\pi n$. У тангенса шаг $\pi n$. Если записываешь решение $\sin x=a$ двумя сериями, у каждой серии шаг $2\pi n$.

Потерянные корни при делении. В однородных уравнениях, когда ты делишь на $\cos x$, всегда проверяй, не теряешь ли ты корни. Потеря корня делает ответ неверным.

Лишние корни в квадратном. После замены $t=\sin x$ или $t=\cos x$ ты получаешь квадратное уравнение, и его корни могут оказаться вне диапазона $[-1;1]$. Такие корни нужно отбросить сразу, иначе ты будешь решать $\sin x=-3$, а это бессмыслица.

Ошибки в отборе. Самое обидное место. Решил уравнение правильно, но при подстановке $n$ напутал с арифметикой и пропустил один корень или внёс лишний. Здесь спасает только аккуратность: подставляй $n$ в столбик, не в уме.

Незаписанная одна из серий. В формуле через $\pm$ важно записать обе серии отдельно. Если ты записал только одну, ты автоматически теряешь половину корней.

Что почитать дальше

• Тригонометрические уравнения в ЕГЭ: пять типов и методы — шпаргалка по методам и формулам.
• Отбор корней на окружности — подробно про пункт б.
• Демоверсия ЕГЭ 2027 по математике — как устроен экзамен и какие номера изменились.
• Все формулы профильной математики.
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике.

Три ошибки в отборе корней

Вот три ошибки, на которых можно потерять второй балл:

1. Неверно подставляют границы промежутка. Когда промежуток задан в виде отрезка $[a;b]$, проверять надо оба конца включительно — не «строго между». Пропуск граничного корня — частая потеря балла.
2. Теряют корни при решении дробно-рационального уравнения. Забывают про ОДЗ и включают в ответ корни, которые обнуляют знаменатель. Проверь ОДЗ ДО отбора корней, а не после.
3. Пишут только часть серии корней. Формула общего решения даёт бесконечную серию, но в отбор нужно включить все значения $n$, при которых корень попадает в промежуток. Не один, а все подряд.

FAQ

Что дальше. Тригонометрия отрабатывается повторением: решай уравнения каждого типа и записывай, на каком шаге ошибся. Начать тренировку →

Проверено: 2026-10-08.