Задание 13 ЕГЭ профильной математики — тригонометрия по шагам

Разбор задания 13: четыре основных типа тригонометрических уравнений, алгоритм отбора корней, типичные ошибки. С примерами полного решения по каждому типу.

Что проверяет задание 13

Задание 13 — это первая задача части 2 профильной математики. Оно даёт 2 первичных балла и состоит из двух пунктов: «решить уравнение» и «выбрать корни на указанном промежутке». Каждый пункт оценивается отдельно: 1 балл за полное решение уравнения и 1 балл за корректный отбор корней.

С точки зрения подготовки задание 13 ЕГЭ — самое благодарное во всей второй части. Оно типовое: количество принципиально разных типов уравнений ограничено четырьмя, и каждый тип решается стандартным алгоритмом. Если ты выучишь эти четыре алгоритма и научишься уверенно отбирать корни, ты будешь стабильно брать оба балла. Никакой импровизации, никакой «математической интуиции», просто техника.

Для первой части ЕГЭ это означает: задание 13 — твой обязательный пункт в плане подготовки, если ты целишься выше 70 баллов.

✓ Критерии оценки. За полное решение уравнения с верным ответом ты получаешь 1 балл. За полностью правильный отбор корней на промежутке начисляется ещё 1 балл. Частичные баллы за это задание не ставятся: либо есть, либо нет. Поэтому учись доводить решение до самого конца. «Середина с правильным ходом» здесь не зачитывается.

Какие типы уравнений чаще встречаются

По открытому банку ФИПИ и вариантам ЕГЭ 2022–2025 задание 13 содержит четыре принципиальных типа тригонометрических уравнений. Их частота распределяется примерно так:

Если готовишься в сжатые сроки, имеет смысл сначала закрыть квадратные и базовые — это уже ~63% реальных заданий 13.

Базовые тригонометрические уравнения

Базовое уравнение — это уравнение вида $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\operatorname{tg} x = a$. Для них существуют готовые формулы общего решения.

Формулы для синуса:

$\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Формулы для косинуса:

$\cos x = a \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Для тангенса:

$\operatorname{tg} x = a \Rightarrow x = \operatorname{arctg} a + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Эти три формулы нужно знать наизусть, потому что они работают как фундамент для всех остальных типов. Важно: формулы синуса и косинуса дают разный шаг по $n$: у синуса $\pi n$, у косинуса $2\pi n$. Если ты их перепутаешь, потеряешь корни или наоборот насчитаешь лишние.

Пример 1. Решить уравнение $\cos x = \dfrac{1}{2}$ и найти корни на промежутке $[-\pi;\, 2\pi]$.

Решение.

По формуле для косинуса:

$x = \pm \arccos \dfrac{1}{2} + 2\pi n = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Это две серии корней: $x_1 = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$ и $x_2 = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Отбор корней на промежутке $[-\pi;\, 2\pi]$. Подставляем целые $n$ в обе серии и оставляем те, что попадают в промежуток.

Серия 1: при $n = 0$ получаем $\dfrac{\pi}{3}$, при $n = 1$ получаем $\dfrac{7\pi}{3}$ (это больше $2\pi$, не подходит), при $n = -1$ получаем $-\dfrac{5\pi}{3}$ (меньше $-\pi$, не подходит).

Серия 2: при $n = 0$ получаем $-\dfrac{\pi}{3}$, при $n = 1$ получаем $\dfrac{5\pi}{3}$, при $n = -1$ получаем $-\dfrac{7\pi}{3}$ (меньше $-\pi$, не подходит).

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{3};\; -\dfrac{\pi}{3};\; \dfrac{5\pi}{3}$.

Уравнения, сводимые к квадратным

Это самый частый тип в задании 13 ЕГЭ. Уравнение содержит одну тригонометрическую функцию (например, только синус или только косинус), и его можно представить как квадратное по этой функции. Алгоритм: вводишь замену $t = \sin x$ (или $t = \cos x$), решаешь квадратное уравнение, для каждого корня делаешь обратную замену.

Пример 2. Решить уравнение $2\sin^2 x + 5\sin x - 3 = 0$ и найти корни на промежутке $\left[\dfrac{\pi}{2};\; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

Решение.

Замена $t = \sin x$. Уравнение принимает вид:

$2t^2 + 5t - 3 = 0$

Дискриминант: $D = 25 + 24 = 49$, $\sqrt{D} = 7$. Корни:

$t_1 = \dfrac{-5 + 7}{4} = \dfrac{1}{2},\quad t_2 = \dfrac{-5 - 7}{4} = -3$

Второй корень $t_2 = -3$ не подходит, потому что синус всегда от $-1$ до $1$. Остаётся $t_1 = \dfrac{1}{2}$.

Возвращаемся к замене:

$\sin x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^n \dfrac{\pi}{6} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Удобнее сразу записать это как две серии:

$x_1 = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n,\quad x_2 = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Отбор корней на $\left[\dfrac{\pi}{2};\; \dfrac{5\pi}{2}\right]$:

Серия 1: при $n = 0$ получаем $\dfrac{\pi}{6}$ (меньше $\dfrac{\pi}{2}$, не подходит), при $n = 1$ получаем $\dfrac{13\pi}{6}$ (это $\approx 2{,}17\pi$, попадает в промежуток).

Серия 2: при $n = 0$ получаем $\dfrac{5\pi}{6}$ (попадает), при $n = 1$ получаем $\dfrac{17\pi}{6}$ (это $\approx 2{,}83\pi$, больше $\dfrac{5\pi}{2}$, не подходит).

Ответ: $x = \dfrac{5\pi}{6};\; \dfrac{13\pi}{6}$.

Однородные уравнения

Однородное уравнение содержит и синус, и косинус в равных степенях. Простейший случай — это $a\sin x + b\cos x = 0$. Алгоритм: делишь обе части на $\cos x$ (или на $\cos^2 x$ во второй степени), уравнение превращается в уравнение относительно тангенса.

Пример 3. Решить уравнение $\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$ и найти корни на промежутке $\left[0;\; \dfrac{3\pi}{2}\right]$.

Решение.

Делим обе части на $\cos x$. Перед делением проверяем, что $\cos x = 0$ не даёт корня: если $\cos x = 0$, то из исходного уравнения $\sin x = 0$, но $\sin x$ и $\cos x$ одновременно нулю быть не могут. Делить можно.

После деления:

$\operatorname{tg} x - \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \operatorname{tg} x = \sqrt{3}$

Корни:

$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \dfrac{\pi}{3} + \pi n,\quad n \in \mathbb{Z}$

Отбор на $\left[0;\; \dfrac{3\pi}{2}\right]$:

При $n = 0$: $x = \dfrac{\pi}{3}$, попадает. При $n = 1$: $x = \dfrac{4\pi}{3}$, попадает (поскольку $\dfrac{4\pi}{3} \approx 1{,}33\pi < 1{,}5\pi$). При $n = 2$: $x = \dfrac{7\pi}{3}$, не попадает. При $n = -1$: $x = -\dfrac{2\pi}{3}$, не попадает.

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{3};\; \dfrac{4\pi}{3}$.

⚠️ Не теряй корни при делении. Перед тем как поделить уравнение на $\cos x$, всегда проверяй, может ли $\cos x = 0$ быть корнем исходного уравнения. Если может, эти значения нужно добавить в ответ отдельно. Это самая частая ошибка в однородных уравнениях, и за неё снимают балл за решение.

Уравнения с заменой переменной

В задании 13 ЕГЭ в эту категорию попадают уравнения, в которых нужно сначала упростить выражение через формулы преобразования (двойного угла, понижения степени, суммы в произведение), а уже потом решать.

Пример 4. Решить уравнение $\cos 2x + 5\cos x + 3 = 0$ и найти корни на промежутке $[0;\; 2\pi]$.

Решение.

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Подставляем:

$2\cos^2 x - 1 + 5\cos x + 3 = 0$

$2\cos^2 x + 5\cos x + 2 = 0$

Дальше уравнение сводится к квадратному заменой $t = \cos x$:

$2t^2 + 5t + 2 = 0$

$D = 25 - 16 = 9$, $\sqrt{D} = 3$. Корни:

$t_1 = \dfrac{-5 + 3}{4} = -\dfrac{1}{2},\quad t_2 = \dfrac{-5 - 3}{4} = -2$

Корень $t_2 = -2$ не подходит, поскольку косинус только в диапазоне $[-1; 1]$. Остаётся $\cos x = -\dfrac{1}{2}$.

Решение базового уравнения:

$x = \pm \arccos \left(-\dfrac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Две серии:

$x_1 = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n,\quad x_2 = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi n = \dfrac{4\pi}{3} + 2\pi n$

Отбор на $[0;\; 2\pi]$:

Серия 1: при $n = 0$ получаем $\dfrac{2\pi}{3}$ (попадает); при $n = 1$ получаем $\dfrac{8\pi}{3}$ (не попадает).

Серия 2: при $n = 0$ получаем $\dfrac{4\pi}{3}$ (попадает); при $n = 1$ получаем $\dfrac{10\pi}{3}$ (не попадает).

Ответ: $x = \dfrac{2\pi}{3};\; \dfrac{4\pi}{3}$.

Как выбирать корни в указанном промежутке

Отбор корней — это вторая половина задания 13 ЕГЭ, и за неё дают отдельный балл. Алгоритм одинаковый для всех типов уравнений:

1. После решения уравнения у тебя на руках одна или несколько серий корней вида $x = a + Tn$, где $T$ — период.
2. Для каждой серии отдельно подставляешь целые $n$ начиная с $n = 0$ и проверяешь, попадает ли результат в указанный промежуток.
3. Двигаешься в обе стороны: $n = 1, 2, \ldots$ и $n = -1, -2, \ldots$, пока корни не выйдут за границы промежутка.
4. Все попавшие значения собираешь в ответ. Порядок неважен, но удобнее записывать их по возрастанию.

Альтернативный способ — отбор корней на единичной окружности. Он быстрее визуально, но ошибиться в нём проще, особенно если промежуток нестандартный (например, $\left[\dfrac{5\pi}{4};\; \dfrac{17\pi}{4}\right]$). На экзамене подставление целых $n$ в формулу обычно надёжнее.

✓ Совет от методиста. Когда промежуток в условии длинный (больше двух периодов), сразу прикинь, сколько целых $n$ тебе придётся подставить. Если промежуток имеет длину $4\pi$, а период серии $2\pi$, то в каждой серии будет 1–2 корня. Это помогает не сбиться и не пропустить ни одного.

Типичные ошибки

Все ошибки в задании 13 ЕГЭ ловятся в одних и тех же местах. Если ты будешь помнить про них, твой шанс взять оба балла резко вырастет.

Перепутанные периоды. У синуса формула общего решения через $(-1)^n$, у косинуса через $\pm$. У тангенса период $\pi$, у синуса и косинуса по умолчанию $2\pi$ (в записи через две серии) или $\pi$ (в записи через $(-1)^n$). Эти детали запоминаются только повторением.

Деление на ноль. В однородных уравнениях, когда ты делишь на $\cos x$, всегда проверяй, не теряешь ли ты корни. Это автоматический минус балл за решение.

Лишние корни в квадратном. После замены $t = \sin x$ или $t = \cos x$ ты получаешь квадратное уравнение, и его корни могут оказаться вне диапазона $[-1; 1]$. Такие корни нужно отбросить сразу, иначе ты будешь решать $\sin x = -3$, а это бессмыслица.

Ошибки в отборе. Самое обидное место. Решил уравнение правильно, но при подстановке $n$ напутал с арифметикой и пропустил один корень или внёс лишний. Здесь спасает только аккуратность: подставляй $n$ в столбик, не в уме.

Незаписанная одна из серий. В формуле через $\pm$ важно записать обе серии отдельно. Если ты записал только одну, ты автоматически теряешь половину корней.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 12: уравнения с отбором
• → Задание 14: стереометрия

Пригодится для подготовки к части 2:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

3 ошибки, из-за которых теряют второй балл

Разбор реальных работ показывает три повторяющиеся ошибки в отборе корней:

1. Неверно подставляют границы промежутка. Когда промежуток задан в виде отрезка $[a; b]$, проверять надо оба конца включительно — не «строго между». Пропуск граничного корня — частая потеря балла.
2. Теряют корни при решении дробно-рационального уравнения. Забывают про ОДЗ и включают в ответ корни, которые обнуляют знаменатель. Проверь ОДЗ ДО отбора корней, а не после.
3. Пишут только часть серии корней. Формула общего решения даёт бесконечную серию, но в отбор нужно включить все значения $n$, при которых корень попадает в промежуток. Не один, а все подряд.

FAQ

Что дальше. Тригонометрия — это техника, которая отрабатывается только повторением. Сотик из Сот собрал больше 50 типовых вариантов задания 13 с пошаговым разбором каждого. Тренируйся ежедневно, и за две недели ты будешь стабильно брать оба балла за это задание. Начать тренировку →

Пригодится: справочник всех формул для ЕГЭ и разбор задания 14 по стереометрии.