Отбор корней тригонометрического уравнения: задание 14 ЕГЭ профиль

Решил уравнение, получил серию $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и не понимаешь, что делать дальше. Во второй части это второй пункт задания: из бесконечной серии корней нужно выбрать те, что попадают в заданный отрезок. Ниже разобрана сама механика отбора на четырёх примерах.

Номер задания указан по проекту ЕГЭ-2027 от ФИПИ: уравнение с отбором корней теперь №14, в 2026 году оно стояло под номером 13. Сами приёмы от нумерации не зависят. Как решать сами уравнения, смотри в статье тригонометрические уравнения по шагам.

Что происходит на единичной окружности

Единичная окружность имеет радиус 1 и центр в начале координат. Каждой точке на ней соответствует угол, а угол задаёт значения синуса и косинуса: косинус угла это абсцисса точки, синус это ордината.

Для уравнения $\sin x=\frac{1}{2}$ на окружности ровно две точки с ординатой $\frac{1}{2}$: угол $\frac{\pi }{6}$ в первой четверти и угол $\frac{5\pi }{6}$ во второй. Если прибавить к углу полный оборот $2\pi$, точка останется той же, а значение угла изменится. Поэтому ответ уравнения это серии:

$x=\frac{\pi }{6}+2\pi n,x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$

Отбор корней отвечает на вопрос: при каких целых $n$ значение $x$ попадает в отрезок из условия. Остальные серии и значения отбрасываются.

Длину отрезка удобно сравнивать с периодом. Отрезок $[0;3\pi ]$ имеет длину $3\pi \approx 9,42$, а период серии $2\pi \approx 6,28$, поэтому из каждой серии с периодом $2\pi$ на нём окажется один или два корня.

Общий алгоритм

1. Реши уравнение и запиши все серии корней.
2. Выпиши отрезок или интервал из условия и посмотри на скобки.
3. Для каждой серии найди целые $n$, при которых корень попадает в промежуток: переберём значения или составим неравенство на $n$.
4. Подставь найденные $n$ и запиши корни явно.

Пример 1. $\sin x=\frac{1}{2}$ на отрезке $[0;3\pi ]$

Серии: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi n$. Границы: $0$ и $3\pi \approx 9,42$.

Первая серия:

• $n=0$: $x=\frac{\pi }{6}\approx 0,52$, подходит;
• $n=1$: $x=\frac{13\pi }{6}\approx 6,81$, подходит;
• $n=2$: $x=\frac{25\pi }{6}\approx 13,09$, больше $3\pi$, не подходит;
• $n=-1$: $x=-\frac{11\pi }{6}\approx -5,76$, меньше $0$, не подходит.

Вторая серия:

• $n=0$: $x=\frac{5\pi }{6}\approx 2,62$, подходит;
• $n=1$: $x=\frac{17\pi }{6}\approx 8,90$, подходит, так как $8,90<9,42$;
• $n=2$: $x=\frac{29\pi }{6}\approx 15,18$, не подходит.

Ответ: $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}$.

На окружности это выглядит так: от точки $0$ ты идёшь против часовой стрелки, и на каждом проходе верхней полуокружности отмечаешь точки с ординатой $\frac{1}{2}$. Первый полный оборот даёт две точки. Затем ты проходишь верхнюю полуокружность второго оборота, от $2\pi$ до $3\pi$, и получаешь ещё две. Всего четыре точки, как и вышло при подстановке.

Пример 2. $\mathrm{tg}x=1$ на отрезке $[-\pi ;\pi ]$

У тангенса период $\pi$, поэтому серия одна: $x=\frac{\pi }{4}+\pi n$. Точки $\frac{\pi }{4}$ и $\frac{5\pi }{4}$ на окружности лежат на одной прямой через начало координат, поэтому описываются одной формулой.

• $n=-2$: $x=-\frac{7\pi }{4}\approx -5,50$, меньше $-\pi$, не подходит;
• $n=-1$: $x=-\frac{3\pi }{4}\approx -2,36$, подходит;
• $n=0$: $x=\frac{\pi }{4}\approx 0,79$, подходит;
• $n=1$: $x=\frac{5\pi }{4}\approx 3,93$, больше $\pi \approx 3,14$, не подходит.

Ответ: $-\frac{3\pi }{4},\frac{\pi }{4}$.

Пример 3. $\cos x=0$ на интервале $\left(\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right)$

Здесь одна серия $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$, а интервал открытый: границы в него не входят.

• $n=0$: $x=\frac{\pi }{2}$, это левая граница, открытая, не берём;
• $n=1$: $x=\frac{3\pi }{2}$, подходит;
• $n=2$: $x=\frac{5\pi }{2}$, правая граница, не берём.

Ответ: $\frac{3\pi }{2}$.

Если бы тот же промежуток был записан как отрезок $\left[\frac{\pi }{2};\frac{5\pi }{2}\right]$, ответ состоял бы из трёх корней. Одна скобка меняет результат, поэтому на неё нужно смотреть первой.

Удобный способ: неравенство на $n$

Перебор $n$ вслепую надёжен на коротких отрезках. Если границы дробные или отрезок длинный, лучше составить неравенство. Для серии $x=x_0+Tn$ и отрезка $[a;b]$:

$a⩽x_0+Tn⩽b⟹\frac{a-x_0}{T}⩽n⩽\frac{b-x_0}{T}.$

Остаётся выписать целые $n$ из этого промежутка.

Для примера 2 ($x_0=\frac{\pi }{4}$, $T=\pi$, отрезок $[-\pi ;\pi ]$):

$-\pi ⩽\frac{\pi }{4}+\pi n⩽\pi ⟹-\frac{5}{4}⩽n⩽\frac{3}{4}.$

Целые значения: $n=-1$ и $n=0$. Они дают те же два корня.

Пример 4. $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ на отрезке $[-\pi ;2\pi ]$

У косинуса две серии, расположенные симметрично относительно оси $Ox$: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi n$ и $x=-\frac{\pi }{6}+2\pi n$.

Первая серия:

$-\pi ⩽\frac{\pi }{6}+2\pi n⩽2\pi ⟹-\frac{7}{12}⩽n⩽\frac{11}{12}.$

Подходит только $n=0$, корень $\frac{\pi }{6}$.

Вторая серия:

$-\pi ⩽-\frac{\pi }{6}+2\pi n⩽2\pi ⟹-\frac{5}{12}⩽n⩽\frac{13}{12}.$

Подходят $n=0$ и $n=1$, корни $-\frac{\pi }{6}$ и $\frac{11\pi }{6}$.

Ответ: $-\frac{\pi }{6},\frac{\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$.

Проверка по окружности: точки с абсциссой $\frac{\sqrt{3}}{2}$ это $\pm \frac{\pi }{6}$ и их повороты на целое число оборотов. Около нуля на отрезке лежат $-\frac{\pi }{6}$ и $\frac{\pi }{6}$, а через оборот добавляется $\frac{11\pi }{6}$. Точка $\frac{13\pi }{6}$ уже правее границы $2\pi$, поэтому корней три.

Типичные ошибки

Шаблон записи отбора

1. Серия 1: x = x₀ + 2πn. Отрезок [a; b].
   (a − x₀)/(2π) ≤ n ≤ (b − x₀)/(2π)  →  целые n: ...
   Корни: ...
2. Серия 2: x = x₁ + 2πn. Те же шаги.
3. Ответ: все найденные корни по возрастанию.

Если в конце выписать корни по возрастанию, проще заметить пропуск или повтор.

Чек-лист перед записью ответа

• Выписаны все серии, а не одна.
• Проверены скобки промежутка.
• Особенно внимательно проверены крайние значения $n$: на них чаще всего теряют корень или добавляют лишний.
• Найденные точки сверены с окружностью: они действительно дают нужное значение синуса, косинуса или тангенса.
• В конце ответа нет повторов: иногда две серии дают одну и ту же точку.

Источники

1. ФИПИ. Проект демонстрационного варианта ЕГЭ-2027 по математике (профильный уровень): задание 14, уравнение с отбором корней.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, ege.fipi.ru.

Проверено: 2026-10-08.