Задание 13 ЕГЭ математика — отбор корней тригонометрических уравнений

Решил уравнение, получил серию $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ — и дальше не понимаешь, что делать. Задание 13 — это всегда отбор: из бесконечной серии корней надо выбрать только те, которые попадают в заданный промежуток. Разбираем механику.

Что происходит на единичной окружности

Единичная окружность — это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Каждая точка на ней соответствует углу, а угол — значению синуса, косинуса или тангенса.

Когда ты решаешь уравнение $\sin x = \dfrac{1}{2}$, на единичной окружности есть ровно две точки, где синус равен $\dfrac{1}{2}$: угол $\dfrac{\pi}{6}$ (30°) в первом квадранте и угол $\dfrac{5\pi}{6}$ (150°) во втором квадранте. Это две «базовые» точки.

Дальше — полный оборот. Прибавь к каждой точке $2\pi$ (360°), получишь ту же точку на окружности, но другое значение угла. Именно поэтому общее решение — это серия: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

Отбор корней — это ответ на вопрос: какие конкретные «обороты» (конкретные значения $n$) дают углы, попадающие в заданный промежуток? Остальные — отбрасываешь.

Важный момент с промежутком: если условие задаёт $\left[0;\ 3\pi\right]$, то $3\pi$ — это полтора оборота, то есть на числовой прямой ты рассматриваешь участок длиной $3\pi \approx 9.42$. Каждая серия через $2\pi \approx 6.28$ даёт новый корень, поэтому на промежутке длиной $3\pi$ обычно умещается 2–3 корня из каждой серии.

Общий алгоритм

1. Реши уравнение — получи общее решение (одна или две серии).
2. Запиши промежуток из условия (например, $[0;\ 3\pi]$ или $\left[-\dfrac{\pi}{2};\ \pi\right]$).
3. Подставляй $n = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ в каждую серию и проверяй попадание в промежуток.
4. Запиши все подходящие корни.

Пример 1: $\sin x = \dfrac{1}{2}$ на отрезке $[0;\ 3\pi]$

Уравнение $\sin x = \dfrac{1}{2}$: на единичной окружности синус равен $\dfrac{1}{2}$ в двух точках — угол $\dfrac{\pi}{6}$ (первый квадрант, где $x > 0$, $y > 0$) и угол $\dfrac{5\pi}{6}$ (второй квадрант, где $x < 0$, $y > 0$). Обе точки лежат выше оси $Ox$ — именно там синус положителен.

Общее решение:

• Серия 1: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$
• Серия 2: $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n$

Отбор из серии 1 ($3\pi \approx 9.42$):

• $n = 0$: $x = \dfrac{\pi}{6} \approx 0.52$ — попадает в $[0;\ 9.42]$, берём
• $n = 1$: $x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{13\pi}{6} \approx 6.81$ — попадает, берём
• $n = 2$: $x = \dfrac{\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{25\pi}{6} \approx 13.09$ — больше $3\pi$, не берём
• $n = -1$: $x = \dfrac{\pi}{6} - 2\pi = -\dfrac{11\pi}{6} \approx -5.76$ — меньше 0, не берём

Отбор из серии 2:

• $n = 0$: $x = \dfrac{5\pi}{6} \approx 2.62$ — берём
• $n = 1$: $x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi = \dfrac{17\pi}{6} \approx 8.90$ — $8.90 \leq 9.42$, берём
• $n = 2$: $x = \dfrac{5\pi}{6} + 4\pi = \dfrac{29\pi}{6} \approx 15.2$ — больше $3\pi$, не берём

Ответ: $x = \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \dfrac{13\pi}{6},\ \dfrac{17\pi}{6}$

Проверь себя: все четыре значения лежат в $[0;\ 3\pi]$, каждое из них дало бы на единичной окружности точку с синусом $\dfrac{1}{2}$. Если бы промежуток был $[0;\ 2\pi]$, взяли бы только первые два.

Пример 2: $\tan x = 1$ на промежутке $[-\pi;\ \pi]$

У тангенса одна серия: $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$.

На единичной окружности $\tan x = 1$ при угле $\dfrac{\pi}{4}$ (45°, первый квадрант) и при угле $\dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4}$ (225°, третий квадрант) — это один и тот же случай с периодом $\pi$, поэтому серия одна.

Отбор на $[-\pi;\ \pi]$:

• $n = -1$: $x = \dfrac{\pi}{4} - \pi = -\dfrac{3\pi}{4} \approx -2.36$ — $-\pi \approx -3.14$, попадает, берём
• $n = 0$: $x = \dfrac{\pi}{4} \approx 0.79$ — берём
• $n = 1$: $x = \dfrac{\pi}{4} + \pi = \dfrac{5\pi}{4} \approx 3.93$ — больше $\pi \approx 3.14$, не берём
• $n = -2$: $x = \dfrac{\pi}{4} - 2\pi \approx -5.50$ — меньше $-\pi$, не берём

Ответ: $x = -\dfrac{3\pi}{4}$ и $x = \dfrac{\pi}{4}$

Пример 3: ОДЗ обрезает ответ

Задача. Найди корни уравнения $\cos x = 0$ на промежутке $\left(\dfrac{\pi}{2};\ \dfrac{5\pi}{2}\right)$ (открытый промежуток — границы не включаются).

Общее решение: $x = \dfrac{\pi}{2} + \pi n$.

Отбор:

• $n = 0$: $x = \dfrac{\pi}{2}$ — граница промежутка, но промежуток открытый, не берём
• $n = 1$: $x = \dfrac{3\pi}{2} \approx 4.71$ — попадает, берём
• $n = 2$: $x = \dfrac{5\pi}{2}$ — снова граница, не берём
• $n = -1$: $x = -\dfrac{\pi}{2}$ — меньше нижней границы, не берём

Ответ: $x = \dfrac{3\pi}{2}$

Именно здесь чаще всего теряют балл: граница с открытой скобкой $($ не входит, с закрытой $[$ входит. Перепутал скобки — потерял правильный корень или добавил лишний.

Удобный способ: неравенство на $n$

Вместо подстановки всех $n$ по одному составь неравенство сразу.

Для серии $x = x_0 + \pi n$, которая должна попасть в $[a;\ b]$:

$a \leq x_0 + \pi n \leq b \Rightarrow \frac{a - x_0}{\pi} \leq n \leq \frac{b - x_0}{\pi}$

Найди все целые $n$ из этого промежутка — и подставь только их.

Разбор для примера 2 ($x = \dfrac{\pi}{4} + \pi n$ на $[-\pi;\ \pi]$):

$-\pi \leq \dfrac{\pi}{4} + \pi n \leq \pi$ $-1 - \dfrac{1}{4} \leq n \leq 1 - \dfrac{1}{4}$ $-1.25 \leq n \leq 0.75$

Целые $n$ в этом промежутке: $n = -1$ и $n = 0$. Подставляем: $x = -\dfrac{3\pi}{4}$ и $x = \dfrac{\pi}{4}$. Совпадает с ответом выше.

Этот способ быстрее на экзамене, потому что сразу видно, сколько корней будет, не перебирая $n$ вслепую.

Типичные ошибки

Шаблон решения задания 13

1. Решаю уравнение → получаю серии (обычно 2 для sin/cos, 1 для tan/cot)
2. Серия 1: x = ... + 2πn. Промежуток: [a; b]
   Неравенство: (a - x₀)/π ≤ n ≤ (b - x₀)/π
   Целые n: n = ...
   Корни: x = ...
3. Серия 2: x = ... + 2πn. [аналогично]
4. Ответ: x = ..., x = ..., ...

Главное

Отбор корней — это механика, не творчество. Выпиши серии, составь неравенство на $n$, найди целые $n$, подставь. Ошибки почти всегда в граничных случаях: проверяй $n = n_{\min}$ и $n = n_{\max}$ особенно внимательно. И всегда смотри на скобки промежутка — открытая граница уже забрала немало баллов у тех, кто её проигнорировал.