Однородные тригонометрические уравнения: метод деления

Однородное уравнение узнаёшь с первого взгляда: все слагаемые «весят» одинаково по синусу и косинусу. Как только ты научишься это видеть, такие уравнения станут самыми приятными в задании 13 — один алгоритм решает их все.

Что такое однородное уравнение

Однородное тригонометрическое уравнение — это уравнение, где каждое слагаемое имеет одинаковую суммарную степень по синусу и косинусу, а справа стоит ноль. Степень считают так: $\sin x$ и $\cos x$ — это степень 1, а ${\sin }^{2}x$, $\sin x\cos x$, ${\cos }^{2}x$ — степень 2.

Однородное уравнение первой степени выглядит так:

$a\sin x+b\cos x=0$

Оба слагаемых первой степени. Решается делением на $\cos x$: получаешь $a\mathrm{tg}x+b=0$, откуда $\mathrm{tg}x=-\frac{b}{a}$.

Однородное уравнение второй степени:

$a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=0$

Все три слагаемых второй степени. Ключевая идея: разделить уравнение на ${\cos }^{2}x$ и получить квадратное уравнение относительно $\mathrm{tg}x$.

Почему деление на cos²x работает

Главный приём — деление на ${\cos }^{2}x$. Но делить на выражение можно только тогда, когда оно не равно нулю. Поэтому сначала всегда проверяешь: может ли $\cos x=0$ быть корнем?

Подставь $\cos x=0$ в уравнение. Тогда из основного тождества ${\sin }^{2}x=1$. Если после подстановки равенство нарушается (например, получается $a\cdot 1=0$ при $a\ne 0$), значит $\cos x=0$ не корень. А раз так, на всех настоящих корнях $\cos x\ne 0$, и делить на ${\cos }^{2}x$ можно без потери решений.

После деления каждое слагаемое превращается в тангенс:

$\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}={\mathrm{tg}}^{2}x,\frac{\sin x\cos x}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{tg}x,\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=1$

Уравнение $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x=0$ после деления превращается в:

$a{\mathrm{tg}}^{2}x+b\mathrm{tg}x+c=0$

Это обычное квадратное уравнение, если ввести замену $t=\mathrm{tg}x$.

Алгоритм решения (вторая степень)

1. Убедись, что уравнение однородное: все слагаемые одной степени, справа ноль.
2. Проверь, является ли $\cos x=0$ корнем. Подставь $\cos x=0$, ${\sin }^{2}x=1$.
3. Если не корень — раздели всё уравнение на ${\cos }^{2}x$.
4. Сделай замену $t=\mathrm{tg}x$, реши квадратное уравнение $a{t}^2+bt+c=0$.
5. Для каждого корня $t$ верни $x=\mathrm{arctg}t+\pi n$.

Запомни логику целиком, а не отдельные шаги. Однородное уравнение тем и хорошо, что в нём нет выбора, что делать дальше: увидел одинаковую степень — делишь на старшую степень косинуса — получаешь квадратное относительно тангенса — решаешь его школьными методами. Никакой изобретательности, чистая процедура. Поэтому однородные уравнения и считают подарком в задании 13: их не надо «придумывать», их надо узнать.

Почему именно тангенс, а не косинус

Возникает резонный вопрос: почему мы делим на ${\cos }^{2}x$, а не, скажем, оставляем синусы и косинусы как есть и пытаемся вынести что-то за скобку? Дело в том, что деление на ${\cos }^{2}x$ убирает из уравнения сразу обе функции и оставляет одну — тангенс. А уравнение с одной функцией решать в разы проще, чем со смесью синуса и косинуса.

Технически это работает потому, что отношение синуса к косинусу и есть тангенс. Когда ты делишь ${\sin }^{2}x$ на ${\cos }^{2}x$, получаешь ${\mathrm{tg}}^{2}x$. Когда делишь $\sin x\cos x$ на ${\cos }^{2}x$, один косинус сокращается, остаётся $\mathrm{tg}x$. А ${\cos }^{2}x$, делённое само на себя, даёт единицу. Так смесь из трёх разных слагаемых превращается в аккуратное квадратное уравнение, где переменная — тангенс. На том же принципе строится решение через деление на ${\sin }^{2}x$, только тогда переменной становится котангенс. Выбор между ними чисто вкусовой: тангенс в школе встречается чаще, поэтому делят обычно на косинус.

Разбор примеров

Три примера с нарастающей самостоятельностью: первый разбираем целиком, во втором ты дописываешь один шаг, в третьем — почти весь ход.

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Реши уравнение $3\sin x-\sqrt{3}\cos x=0$.

Решение. Это однородное уравнение первой степени. Проверим $\cos x=0$: тогда $\sin x=\pm 1$, и левая часть равна $3\cdot (\pm 1)-0=\pm 3\ne 0$. Значит $\cos x=0$ не корень, делим на $\cos x$:

$3\mathrm{tg}x-\sqrt{3}=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Отсюда:

$x=\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=\frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Типичная ошибка. Забывают про период $\pi n$ или пишут $2\pi n$. У тангенса период $\pi$, поэтому именно $\pi n$.

Ответ: $x=\frac{\pi }{6}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Реши уравнение ${\sin }^{2}x-\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=0$.

Решение. Уравнение однородное, вторая степень. Проверим $\cos x=0$: тогда ${\sin }^{2}x=1$, и левая часть равна $1-0-0=1\ne 0$. Не корень, делим на ${\cos }^{2}x$:

${\mathrm{tg}}^{2}x-\mathrm{tg}x-2=0$

Замена $t=\mathrm{tg}x$ даёт квадратное уравнение $t^2-t-2=0$. Попробуй сам найти его корни через теорему Виета: нужны два числа, дающие в сумме 1 и в произведении $-2$.

Раскрытие: корни $t_1=2$, $t_2=-1$. Возвращаемся к тангенсу:

• $\mathrm{tg}x=2\Rightarrow x=\mathrm{arctg}2+\pi n$;
• $\mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$.

Типичная ошибка. Оставляют $\mathrm{arctg}2$ как «незаконченное» и пытаются вычислить его «красивое» значение. У $\mathrm{arctg}2$ табличного значения нет, его так и оставляют в ответе.

Ответ: $x=\mathrm{arctg}2+\pi n$ или $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пример 3 (уровень В, skeleton с self-explanation). Реши уравнение ${\sin }^{2}x+\sin x\cos x=0$.

Решение.

Шаг 1. Проверь однородность и $\cos x=0$. Спроси себя: оба ли слагаемых второй степени? Да. Подставь $\cos x=0$: левая часть равна ${\sin }^{2}x=1\ne 0$, не корень.

Здесь удобнее не делить, а вынести общий множитель. Спроси себя: что общего у ${\sin }^{2}x$ и $\sin x\cos x$? Общий множитель $\sin x$:

$\sin x(\sin x+\cos x)=0$

Шаг 2. Разбей на два простых уравнения. Спроси себя: когда произведение равно нулю?

• $\sin x=0\Rightarrow x=\pi n$;
• $\sin x+\cos x=0\Rightarrow \mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$.

Шаг 3 (итоговая проверка). Обе серии входят в ответ.

Типичная ошибка. Делят на $\sin x$ вместо вынесения за скобку и теряют серию $\sin x=0$. Выноси за скобку, не дели.

Ответ: $x=\pi n$ или $x=-\frac{\pi }{4}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Когда уравнение надо привести к однородному

Иногда уравнение почти однородное, но справа стоит не ноль, а число, или есть слагаемое «не той степени». Тогда его приводят к однородному виду с помощью основного тождества ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Пример. Реши уравнение $2{\sin }^{2}x-\sqrt{3}\sin 2x+{\cos }^{2}x=1$.

Сначала раскроем двойной угол: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. Затем единицу справа заменим на ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ и перенесём влево:

$2{\sin }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=0$

После приведения подобных:

${\sin }^{2}x-2\sqrt{3}\sin x\cos x=0$

Теперь уравнение однородное. Выносим $\sin x$ за скобку:

$\sin x(\sin x-2\sqrt{3}\cos x)=0$

• $\sin x=0\Rightarrow x=\pi n$;
• $\sin x=2\sqrt{3}\cos x\Rightarrow \mathrm{tg}x=2\sqrt{3}\Rightarrow x=\mathrm{arctg}(2\sqrt{3})+\pi n$.

Ответ: $x=\pi n$ или $x=\mathrm{arctg}(2\sqrt{3})+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Этот приём с заменой числа на $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$ — главный способ превратить «почти однородное» уравнение в настоящее однородное. Логика простая: единица в тригонометрии почти всегда переписывается как ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$, и эта замена выравнивает степени всех слагаемых. Если справа стоит число 3, заменяешь его на $3({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$, и снова получаешь однородное уравнение второй степени.

Отдельно стоит сказать про двойной угол. Слагаемое $\sin 2x$ часто прячет однородную структуру: пока ты не раскрыл его как $2\sin x\cos x$, не видно, что это слагаемое второй степени. Поэтому первый шаг при виде $\sin 2x$ в уравнении — всегда раскрыть двойной угол и пересчитать степени. То же касается $\cos 2x$: его раскрывают через одну из трёх форм (например, $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$), и часто после этого уравнение становится однородным.

Ещё один разбор из ЕГЭ

Этот пример показывает чистую процедуру без приведения и без особых случаев — именно так выглядит большинство однородных уравнений в реальных вариантах. Проследи, как механически он решается: ни одной идеи, кроме самого алгоритма деления, тебе тут не понадобится. В этом и сила метода.

Задача. Реши уравнение $2{\sin }^{2}x+3\sin x\cos x-2{\cos }^{2}x=0$.

Решение. Уравнение однородное, вторая степень. Проверим $\cos x=0$: тогда ${\sin }^{2}x=1$, левая часть равна $2\cdot 1+0-0=2\ne 0$. Не корень, делим на ${\cos }^{2}x$:

$2{\mathrm{tg}}^{2}x+3\mathrm{tg}x-2=0$

Замена $t=\mathrm{tg}x$: $2t^2+3t-2=0$. Дискриминант $D=9+16=25$, корни:

$t_1=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2},t_2=\frac{-3-5}{4}=-2$

Возвращаемся к тангенсу:

• $\mathrm{tg}x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n$;
• $\mathrm{tg}x=-2\Rightarrow x=\mathrm{arctg}(-2)+\pi n=-\mathrm{arctg}2+\pi n$.

Ответ: $x=\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n$ или $x=-\mathrm{arctg}2+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Обрати внимание на последнюю строчку: $\mathrm{arctg}(-2)$ переписали как $-\mathrm{arctg}2$, потому что арктангенс — нечётная функция. Это мелочь, но в чистовике ответ записывают именно так.

Как узнать однородное уравнение среди других

На экзамене уравнение редко подписано «однородное». Его надо распознать по виду, и этому стоит научиться отдельно. Есть три признака, по которым ты отличишь однородное уравнение от остальных типов задания 13.

Первый признак — справа ноль или то, что легко превращается в ноль через основное тождество. Если справа стоит, например, $\cos 2x$, оно тоже раскрывается через синусы и косинусы и переносится влево.

Второй признак — слагаемые «парные» по степени. В уравнении второй степени ты увидишь комбинации из ${\sin }^{2}x$, $\sin x\cos x$ и ${\cos }^{2}x$. Если хотя бы одно слагаемое выпадает из этого набора (скажем, появляется просто $\sin x$ или число), уравнение либо не однородное, либо его надо сначала привести к однородному виду.

Третий признак — отсутствие смешанных аргументов. В однородном уравнении везде один и тот же угол $x$. Если встречаются $\sin x$ и $\sin 3x$ одновременно, это уже другой тип, и метод деления к нему напрямую не подходит.

Сравни два уравнения. $4{\sin }^{2}x-5\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=0$ — однородное: все слагаемые второй степени, справа ноль. А $4{\sin }^{2}x-5\sin x+1=0$ — не однородное: слагаемое $-5\sin x$ первой степени, а ${\sin }^{2}x$ второй. Второе решается заменой $t=\sin x$ напрямую, без всякого деления на косинус.

Особый случай: cos x = 0 является корнем

Бывает, что проверка показывает: $\cos x=0$ всё-таки корень. Тогда делить на ${\cos }^{2}x$ нельзя без оговорки. Действуют так: записывают серию $x=\frac{\pi }{2}+\pi n$ как отдельный ответ, а оставшуюся часть решают делением для случая $\cos x\ne 0$. На практике в школьных однородных уравнениях $\cos x=0$ почти никогда не корень, но проверку всё равно делают — это страховка от потери серии.

Типичные ошибки

1. Делить на ${\cos }^{2}x$ без проверки. Сначала убедись, что $\cos x=0$ не корень, иначе рискуешь потерять серию.
2. Путать степени. ${\sin }^{2}x+\cos x=0$ — не однородное, степени разные. Метод деления к нему не применяется напрямую.
3. Терять корень при делении на $\sin x$. Когда можно вынести общий множитель, выноси за скобку, а не дели — деление съедает серию $\sin x=0$.
4. Забывать про период $\pi n$. У тангенса период $\pi$, не $2\pi$. Серия $x=\mathrm{arctg}t+\pi n$.
5. Не приводить «почти однородное» к однородному. Если справа число, замени его на $({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$ и перенеси влево.
6. Не раскрывать двойной угол. Слагаемое $\sin 2x$ маскирует степень: пока оно не раскрыто как $2\sin x\cos x$, структуру уравнения не видно. Раскрывай двойные углы первым делом.

Что запомнить

Однородное уравнение узнаёшь по одинаковой степени всех слагаемых и нулю справа. Главный приём — деление на старшую степень косинуса с обязательной предварительной проверкой $\cos x=0$. После деления получаешь квадратное уравнение относительно тангенса, решаешь его школьными методами и возвращаешь каждый корень формулой $x=\mathrm{arctg}t+\pi n$. Если уравнение «почти однородное» (справа число или есть двойной угол), сначала приводишь его к однородному виду через основное тождество, а потом действуешь по алгоритму. Весь метод укладывается в одну фразу: выровняй степени, раздели на косинус, реши квадратное.

Связь с другими темами

Однородные уравнения не живут отдельно — они часть большой картины тригонометрических уравнений задания 13. После деления на косинус ты упираешься в простейшее уравнение с тангенсом, поэтому без уверенного владения им однородные не решить. А приведение «почти однородного» к однородному держится целиком на основном тождестве. Вот темы, которые стоит держать рядом.

• Уравнение a·sin x + b·cos x = c — соседний тип задания 13; для него с ненулевой правой частью работает метод вспомогательного угла, а не деление.
• Уравнение tg x = a — к нему сводится однородное уравнение после деления на косинус.
• Основное тригонометрическое тождество — инструмент приведения числа к виду ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$.
• Тригонометрические уравнения — общая методика и классификация типов задания 13.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 — тригонометрическое уравнение с отбором корней, часть 2. Однородные уравнения — один из самых узнаваемых и алгоритмичных типов в этом задании.