Однородные тригонометрические уравнения

Однородные тригонометрические уравнения — один из типов задания 13 ЕГЭ. Их легко узнать по структуре, и они решаются одним стандартным алгоритмом.

Что такое однородное уравнение

Однородное уравнение второй степени: $a \sin^2 x + b \sin x \cos x + c \cos^2 x = 0$

Все члены имеют суммарную степень 2 (или одинаковую степень). Ключевая особенность: можно разделить на $\cos^2 x$, получив уравнение относительно $\tan x$.

Первой степени: $a \sin x + b \cos x = 0$

Делится на $\cos x$ — получаем $a \tan x + b = 0$.

Алгоритм (второй степени)

1. Проверить: $\cos x = 0$ является ли решением
2. Если нет — разделить всё уравнение на $\cos^2 x$
3. Получить уравнение относительно $\tan x$
4. Решить алгебраическое уравнение в $\tan x$
5. Вернуться к $x$: $x = \arctan(\ldots) + \pi n$

Пример 1: Первой степени

$3\sin x - \sqrt{3}\cos x = 0$

Метод: разделить на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$).

$3\tan x = \sqrt{3} \Rightarrow \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$x = \arctan\frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n$

Проверить $\cos x = 0$: при $x = \frac{\pi}{2}$ имеем $3 \cdot 1 - \sqrt{3} \cdot 0 = 3 \neq 0$ — не решение. Значит, деление допустимо.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Пример 2: Второй степени

$\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0$

Шаг 1. Проверим $\cos x = 0$: $\sin^2 x = 1$ → $1 - 0 - 0 = 1 \neq 0$. Не решение.

Шаг 2. Делим на $\cos^2 x$: $\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \frac{\sin x}{\cos x} - 2 = 0$ $\tan^2 x - \tan x - 2 = 0$

Шаг 3. Квадратное уравнение: $t^2 - t - 2 = 0$, $t = 2$ или $t = -1$.

Шаг 4.

• $\tan x = 2$: $x = \arctan 2 + \pi n$
• $\tan x = -1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ: $x = \arctan 2 + \pi n$ или $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

Особый случай: когда $\cos x = 0$ — решение

$\sin^2 x + \sin x \cos x = 0$

Шаг 1. Проверим $\cos x = 0$: $\sin^2 x = 1$ → $1 + 0 = 1 \neq 0$. Не решение.

Разложим: $\sin x (\sin x + \cos x) = 0$.

• $\sin x = 0$: $x = \pi n$
• $\sin x + \cos x = 0$: $\tan x = -1$, $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

Ответ: $x = \pi n$ или $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$.

Частый пример из ЕГЭ

$2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin 2x + \cos^2 x = 1$

Упростим: $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.

$2\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x + 1 - \sin^2 x = 1$

$\sin^2 x - 2\sqrt{3}\sin x \cos x = 0$

$\sin x(\sin x - 2\sqrt{3}\cos x) = 0$

• $\sin x = 0$: $x = \pi n$
• $\sin x = 2\sqrt{3}\cos x$: $\tan x = 2\sqrt{3}$, $x = \arctan(2\sqrt{3}) + \pi n$

Типичные ошибки

Ошибка 1. Делить на $\cos^2 x$ без проверки, что $\cos x = 0$ не является решением.

Ошибка 2. При $\sin^2 x$ в уравнении не заменить через $\sin 2x$: $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$ — иногда полезно.

Ошибка 3. При получении квадратного уравнения в $\tan x$ — потерять один корень.

Ошибка 4. Забыть привести $\arctan$ к «красивому» значению, если оно существует.

Чек-лист

• Узнаю однородное уравнение: все члены одной степени
• Сначала проверяю $\cos x = 0$ — решение или нет
• Делю на $\cos^n x$, получаю уравнение в $\tan x$
• Решаю алгебраическое уравнение, нахожу все значения $\tan x$
• Записываю ответ через $\arctan + \pi n$

Связанные темы

• Уравнение a·sin x + b·cos x = c
• Тригонометрические уравнения
• Задание 13: полный гайд