Задание 15 ЕГЭ профиль — логарифмические неравенства: шаблон

Логарифмические неравенства в задании 15 пугают больше, чем есть на самом деле. Шаблон решения одинаков для большинства типов. Разбираем по шагам.

Главное правило: знак неравенства зависит от основания

При переходе от $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ к $f(x) > g(x)$:

• Если основание $a > 1$: знак неравенства сохраняется ($f(x) > g(x)$).
• Если основание $0 < a < 1$: знак неравенства меняется ($f(x) < g(x)$).

Это главный источник ошибок. Запомни это раз и навсегда.

Обязательный шаг: ОДЗ

Логарифм определён только при положительном аргументе. Всегда:

\text{ОДЗ}: f(x) > 0 \quad\text{и}\quad g(x) > 0 \quad\text{(основание > 0, ≠ 1)}

ОДЗ — в начале, до любых преобразований. Ответ = пересечение решения неравенства с ОДЗ.

Тип 1: логарифм больше числа

Задача. Решить $\log_2(x - 3) > 1$.

ОДЗ: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$.

Переход: $\log_2(x-3) > \log_2 2$ (так как $1 = \log_2 2$).

Основание $2 > 1$ → знак сохраняется: $x - 3 > 2 \Rightarrow x > 5$.

Пересечение с ОДЗ ($x > 3$): $x > 5$.

Ответ: $(5;\ +\infty)$.

Тип 2: логарифмы обоих частей

Задача. Решить $\log_3(2x - 1) \geq \log_3(x + 2)$.

ОДЗ: $2x - 1 > 0$ и $x + 2 > 0$, то есть $x > \dfrac{1}{2}$.

Основание $3 > 1$: $2x - 1 \geq x + 2 \Rightarrow x \geq 3$.

Пересечение с ОДЗ ($x > 1/2$): $x \geq 3$.

Ответ: $[3;\ +\infty)$.

Тип 3: основание меньше 1

Задача. Решить $\log_{1/2}(x + 1) < \log_{1/2}(3 - x)$.

ОДЗ: $x + 1 > 0$ и $3 - x > 0$, то есть $-1 < x < 3$.

Основание $1/2 < 1$: знак меняется: $x + 1 > 3 - x \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1$.

Пересечение с ОДЗ ($-1 < x < 3$): $1 < x < 3$.

Ответ: $(1;\ 3)$.

Тип 4: сложный аргумент — метод интервалов

Задача. Решить $\log_2(x^2 - 4) > 1$.

ОДЗ: $x^2 - 4 > 0 \Rightarrow |x| > 2 \Rightarrow x \in (-\infty;\ -2) \cup (2;\ +\infty)$.

Переход: $x^2 - 4 > 2 \Rightarrow x^2 > 6 \Rightarrow |x| > \sqrt{6}$.

$x \in (-\infty;\ -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6};\ +\infty)$.

Пересечение с ОДЗ ($|x| > 2$, а $\sqrt{6} \approx 2.45 > 2$):

$x \in (-\infty;\ -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6};\ +\infty)$.

Ответ: $(-\infty;\ -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6};\ +\infty)$.

Шаблон решения

Шаг 1. Найди ОДЗ (аргументы > 0).
Шаг 2. Приведи к виду log_a(f(x)) > log_a(g(x)) или log_a(f(x)) > число.
Шаг 3. Примени правило:
  a > 1 → знак сохраняется
  0 < a < 1 → знак меняется
Шаг 4. Реши полученное неравенство.
Шаг 5. Пересеки с ОДЗ.
Шаг 6. Запиши ответ в виде промежутка.

Типичные ошибки

Почему знак переворачивается: смысл, а не зубрёжка

Правило «при основании меньше единицы знак меняется» легко забыть в стрессе, если помнить его как голую формулу. Гораздо надёжнее понять, откуда оно берётся, — тогда восстановишь его на экзамене даже без шпаргалки.

Логарифм — это функция, и у неё есть направление роста. Когда основание больше единицы, логарифм возрастает: чем больше аргумент, тем больше значение логарифма. Поэтому если один логарифм больше другого, то и его аргумент больше — знак неравенства сохраняется естественным образом.

Когда основание меньше единицы, всё переворачивается: логарифм убывает. Чем больше аргумент, тем меньше значение логарифма. Значит, если один логарифм больше другого, его аргумент, наоборот, меньше — и знак неравенства при переходе к аргументам меняется на противоположный.

Проверить себя можно на крошечном примере без иксов. Сравни $\log_{0,5} 2$ и $\log_{0,5} 4$. Поскольку $0{,}5^{-1} = 2$, первый логарифм равен $-1$. Поскольку $0{,}5^{-2} = 4$, второй равен $-2$. Получается, что у большего аргумента ($4$) логарифм меньше ($-2 < -1$). Это и есть переворот: при основании меньше единицы порядок чисел и порядок их логарифмов противоположны. Запомнив этот мини-пример, ты никогда не ошибёшься со знаком.

Где ОДЗ реально меняет ответ

Может сложиться впечатление, что ОДЗ — формальность, ведь в разобранных примерах она часто совпадала с решением. Но бывают случаи, где именно ОДЗ отсекает часть ответа, и без неё балл теряется.

Это происходит, когда решение неравенства даёт более широкий промежуток, чем допускает область определения. Тогда после пересечения часть найденного промежутка отбрасывается. Особенно внимательным надо быть, когда в неравенстве два логарифма с разными аргументами: у каждого своё условие положительности, и итоговая ОДЗ — это пересечение обоих. Пропустишь одно условие — и в ответ попадут лишние точки.

Вывод тот же, что и в начале: ОДЗ пишется первой строкой, до всех преобразований, и финальный ответ всегда пересекается с ней. Это дисциплина, которая бережёт баллы в задании 15 надёжнее любого знания формул.

Как оформлять решение, чтобы получить полный балл

Эксперт проверяет не только итоговый ответ, но и логику решения. В задании второй части важно показать каждый обязательный шаг явно, иначе можно потерять баллы даже при верном результате. Оформляй решение так, чтобы по нему было видно ход мысли.

Первой строкой запиши область определения с пояснением, откуда взялись условия. Дальше покажи переход от логарифмов к аргументам и отдельно отметь, что произошло со знаком неравенства и почему — особенно если основание меньше единицы. Это ключевой момент, и проверяющий должен увидеть, что ты осознанно его учёл, а не случайно угадал.

В конце аккуратно выпиши пересечение решения с областью определения и финальный ответ в виде промежутка с правильными скобками. Удобно изобразить пересечение на числовой прямой: это и тебе помогает не ошибиться, и проверяющему наглядно показывает, что ответ получен корректно. Чем прозрачнее оформление, тем меньше поводов снять балл.

Главное

Логарифмическое неравенство = 5 шагов: ОДЗ → привести вид → знак основания → решить неравенство → пересечь с ОДЗ. Не пропускай ни одного шага.

Частые вопросы про логарифмические неравенства

Почему ОДЗ нужно писать в самом начале, а не в конце?

Потому что часть преобразований может «потерять» ограничения. Записав ОДЗ первой строкой, ты гарантированно её не забудешь и в конце просто пересечёшь с ней решение.

Что делать, если основание логарифма само содержит икс?

Тогда добавляются условия на основание: оно должно быть положительным и не равным единице. Дальше задача обычно распадается на два случая — основание больше единицы и основание между нулём и единицей, — в каждом свой знак неравенства.

Можно ли решать логарифмическое неравенство заменой переменной?

Да, если в нём один и тот же логарифм встречается несколько раз. Замена $t = \log_a x$ сводит его к рациональному или квадратному неравенству относительно $t$, а в конце возвращаешься к иксу и пересекаешь с ОДЗ.

Источники

1. ФИПИ. Спецификация ЕГЭ по математике (профильный уровень), 2026.
2. ФИПИ. Открытый банк заданий ЕГЭ, задание 15, ege.fipi.ru.