Задание 15 ЕГЭ профиль — логарифмические неравенства: шаблон

Логарифмические неравенства в задании 15 пугают больше, чем есть на самом деле. Шаблон решения одинаков для большинства типов. Разбираем по шагам.

Главное правило: знак неравенства зависит от основания

При переходе от $\log_a f(x) > \log_a g(x)$ к $f(x) > g(x)$:

• Если основание $a > 1$: знак неравенства сохраняется ($f(x) > g(x)$).
• Если основание $0 < a < 1$: знак неравенства меняется ($f(x) < g(x)$).

Это главный источник ошибок. Запомни это раз и навсегда.

Обязательный шаг: ОДЗ

Логарифм определён только при положительном аргументе. Всегда:

\text{ОДЗ}: f(x) > 0 \quad\text{и}\quad g(x) > 0 \quad\text{(основание > 0, ≠ 1)}

ОДЗ — в начале, до любых преобразований. Ответ = пересечение решения неравенства с ОДЗ.

Тип 1: логарифм больше числа

Задача. Решить $\log_2(x - 3) > 1$.

ОДЗ: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$.

Переход: $\log_2(x-3) > \log_2 2$ (так как $1 = \log_2 2$).

Основание $2 > 1$ → знак сохраняется: $x - 3 > 2 \Rightarrow x > 5$.

Пересечение с ОДЗ ($x > 3$): $x > 5$.

Ответ: $(5;\ +\infty)$.

Тип 2: логарифмы обоих частей

Задача. Решить $\log_3(2x - 1) \geq \log_3(x + 2)$.

ОДЗ: $2x - 1 > 0$ и $x + 2 > 0$, то есть $x > \dfrac{1}{2}$.

Основание $3 > 1$: $2x - 1 \geq x + 2 \Rightarrow x \geq 3$.

Пересечение с ОДЗ ($x > 1/2$): $x \geq 3$.

Ответ: $[3;\ +\infty)$.

Тип 3: основание меньше 1

Задача. Решить $\log_{1/2}(x + 1) < \log_{1/2}(3 - x)$.

ОДЗ: $x + 1 > 0$ и $3 - x > 0$, то есть $-1 < x < 3$.

Основание $1/2 < 1$: знак меняется: $x + 1 > 3 - x \Rightarrow 2x > 2 \Rightarrow x > 1$.

Пересечение с ОДЗ ($-1 < x < 3$): $1 < x < 3$.

Ответ: $(1;\ 3)$.

Тип 4: сложный аргумент — метод интервалов

Задача. Решить $\log_2(x^2 - 4) > 1$.

ОДЗ: $x^2 - 4 > 0 \Rightarrow |x| > 2 \Rightarrow x \in (-\infty;\ -2) \cup (2;\ +\infty)$.

Переход: $x^2 - 4 > 2 \Rightarrow x^2 > 6 \Rightarrow |x| > \sqrt{6}$.

$x \in (-\infty;\ -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6};\ +\infty)$.

Пересечение с ОДЗ ($|x| > 2$, а $\sqrt{6} \approx 2.45 > 2$):

$x \in (-\infty;\ -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6};\ +\infty)$.

Ответ: $(-\infty;\ -\sqrt{6}) \cup (\sqrt{6};\ +\infty)$.

Шаблон решения

Шаг 1. Найди ОДЗ (аргументы > 0).
Шаг 2. Приведи к виду log_a(f(x)) > log_a(g(x)) или log_a(f(x)) > число.
Шаг 3. Примени правило:
  a > 1 → знак сохраняется
  0 < a < 1 → знак меняется
Шаг 4. Реши полученное неравенство.
Шаг 5. Пересеки с ОДЗ.
Шаг 6. Запиши ответ в виде промежутка.

Типичные ошибки

Главное

Логарифмическое неравенство = 5 шагов: ОДЗ → привести вид → знак основания → решить неравенство → пересечь с ОДЗ. Не пропускай ни одного шага.