Задание 14 ЕГЭ профиль — полный гайд по стереометрии

Задание 14 — самая «инженерная» задача в ЕГЭ профиль. 3 балла, два пункта: доказательство + расчёт, и два возможных метода — геометрический и координатный. У большинства школьников оно занимает четверть всего времени экзамена, и часто этого недостаточно.

Эта статья — полный гайд: что в задании, как устроена структура баллов, два метода с конкретными примерами, пять типичных ошибок и план подготовки.

Что в задании 14

Задание 14 стоит в части 2 (без калькулятора, с развёрнутым решением). Структура фиксирована:

• Пункт а. Доказать утверждение про геометрическую фигуру. Например: «докажите, что прямые AB и CD скрещиваются», «докажите, что сечение PMN — параллелограмм», «докажите, что плоскость ABC перпендикулярна основанию».
• Пункт б. Посчитать конкретную величину. Расстояние, угол, длину, площадь сечения.

Баллы: 1 балл за пункт а, 2 балла за пункт б. Без пункта а пункт б часто не засчитывается — потому что расчёт опирается на доказанное свойство.

Фигура — это обычно одна из:

• Куб, прямоугольный параллелепипед.
• Правильная призма (треугольная, четырёхугольная, шестиугольная).
• Правильная пирамида (треугольная — тетраэдр, четырёхугольная).
• Реже — наклонная пирамида или призма.

В 80% случаев это «удобная» фигура — куб, прямоугольный параллелепипед или правильная пирамида/призма. Это значит, что метод координат работает почти всегда.

Структура баллов

Критерии оценки задания 14 на ЕГЭ-2026:

• 3 балла — обоснованно доказан пункт а и получен верный ответ в пункте б с обоснованным решением.
• 2 балла — есть ошибка только в пункте б при правильном пункте а (например, арифметическая в финальном вычислении), но логика верная.
• 1 балл — обоснованно доказан только пункт а, или в пункте б есть значительный прогресс без верного ответа.
• 0 баллов — нет существенного продвижения.

Важно: если ты пропустил пункт а и сразу написал расчёт пункта б — даже при верном ответе ставят 0 или 1 балл. Логика «расчёт без доказательства» не считается полным решением.

Что доказывают в пункте а

Список самых частых утверждений за последние 5 лет ЕГЭ.

Параллельность / перпендикулярность:

• «Докажите, что прямые $AB$ и $MN$ параллельны».
• «Докажите, что прямая $PQ$ перпендикулярна плоскости $ABC$».
• «Докажите, что плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны».

Равенство:

• «Докажите, что $AM=BM$».
• «Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный».

Принадлежность:

• «Докажите, что точки $K$, $L$, $M$ лежат на одной прямой».
• «Докажите, что точка $T$ лежит в плоскости $ABC$».

Свойства сечения:

• «Докажите, что сечение — параллелограмм».
• «Докажите, что сечение — равнобедренная трапеция».

Скрещивание:

• «Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ скрещиваются».

Что нужно для доказательства: знание базовых теорем стереометрии — признак параллельности прямой и плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорема о трёх перпендикулярах, признаки параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Что считают в пункте б

Расстояния:

• От точки до прямой.
• От точки до плоскости.
• Между скрещивающимися прямыми.

Углы:

• Между прямыми (в том числе скрещивающимися).
• Между прямой и плоскостью.
• Между плоскостями (двугранный угол).

Площади / объёмы:

• Площадь сечения.
• Объём части фигуры (отсечённой плоскостью).

Длины:

• Длина отрезка, проведённого в фигуре.

Метод координат vs геометрический

Главная развилка задания 14 — выбор метода. Разбираем оба.

Геометрический метод

Идея: работаешь с самой фигурой, проводишь дополнительные построения, используешь теоремы стереометрии и планиметрии. Доказательство — прямое (через признаки и теоремы), расчёт — через прямоугольные треугольники в плоскостях фигуры.

Плюсы:

• Решение короче, если правильно построил.
• Меньше арифметики.
• Не нужно подсчитывать координаты вершин.

Минусы:

• Нужно «увидеть» правильное построение — это опыт.
• Если построение неудачное — застрял на полчаса.
• Сложно для нестандартных фигур.

Координатный метод

Идея: вводишь систему координат, находишь координаты ключевых точек, дальше — алгебра. Расстояние, угол, объём — всё через формулы.

Плюсы:

• Универсальный — работает почти всегда.
• Доказательство тоже можно через координаты (например, скалярное произведение = 0 → перпендикулярность).
• Меньше «надо догадаться».

Минусы:

• Длиннее по записи.
• Больше шансов на арифметическую ошибку.
• Нужно знать формулы (расстояние, скалярное произведение, уравнение плоскости).

Когда что выбирать

Координатный метод:

• Куб, прямоугольный параллелепипед — система координат вводится естественно, координаты вершин рациональны.
• Правильная пирамида / призма с прямоугольным основанием.
• Если в задаче явно даны числовые координаты или удобные длины ($a=4$, $h=6$).

Геометрический метод:

• Наклонная пирамида или призма.
• Если в задаче нужно доказать сложное утверждение, которое в координатах требует громоздких вычислений.
• Если ты опытный — иногда геометрический даёт решение в 2-3 строки там, где координаты дадут полстраницы.

Универсальная стратегия: на ЕГЭ — сначала пробуй координатный. Если в течение 5 минут понятно, что координаты неудобные (нерациональные числа, корни в координатах вершин) — переходи на геометрический.

Пример решения координатным методом

Дан куб $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ с ребром 4. $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $C{D}_1$.

а) Докажите, что прямые $A_{1}M$ и $BN$ скрещиваются. б) Найдите расстояние между ними.

Ввод координат: $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $C(4;4;0)$, $D(0;4;0)$, $A_1(0;0;4)$, $B_1(4;0;4)$, $C_1(4;4;4)$, $D_1(0;4;4)$.

$M$ — середина $AB$: $M(2;0;0)$. $N$ — середина $C{D}_1$: $N(2;4;2)$.

а) Доказательство.

Векторы направлений:

$\overrightarrow{A_{1}M}=(2-0;0-0;0-4)=(2;0;-4)$

$\overrightarrow{BN}=(2-4;4-0;2-0)=(-2;4;2)$

Векторы не параллельны (компоненты не пропорциональны: $2/-2\ne 0/4$).

Точки $A_1$, $M$, $B$, $N$ не лежат в одной плоскости — это можно проверить через смешанное произведение, либо геометрически (видно из построения).

Значит, прямые скрещиваются.

б) Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Формула:

$d=\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot [\overrightarrow{A_{1}M}\times \overrightarrow{BN}]|}{|\overrightarrow{A_{1}M}\times \overrightarrow{BN}|}$

$\overrightarrow{A_{1}B}=(4;0;-4)$.

Векторное произведение $\overrightarrow{A_{1}M}\times \overrightarrow{BN}$:

$\overrightarrow{A_{1}M}\times \overrightarrow{BN}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 2& 0& -4\\ -2& 4& 2\end{array}\right|=\vec{i}(0\cdot 2-(-4)\cdot 4)-\vec{j}(2\cdot 2-(-4)(-2))+\vec{k}(2\cdot 4-0\cdot (-2))$

$=\vec{i}(0+16)-\vec{j}(4-8)+\vec{k}(8)=(16;4;8)$

Модуль: $|\overrightarrow{A_{1}M}\times \overrightarrow{BN}|=\sqrt{256+16+64}=\sqrt{336}=4\sqrt{21}$.

Скалярное произведение $\overrightarrow{A_{1}B}\cdot (16;4;8)=4\cdot 16+0\cdot 4+(-4)\cdot 8=64-32=32$.

$d=\frac{32}{4\sqrt{21}}=\frac{8}{\sqrt{21}}=\frac{8\sqrt{21}}{21}$

Ответ: $\frac{8\sqrt{21}}{21}$.

Пять типичных ошибок

Ошибка 1. Доказательство «по построению». «Из построения видно, что MN параллельна AB» — это не доказательство. Нужна ссылка на признак (например, средняя линия треугольника, или $\overrightarrow{MN}=\lambda \overrightarrow{AB}$).

Ошибка 2. Двойной проход через теорему о трёх перпендикулярах. Часто используют ТТП без указания всех условий: нужны прямая в плоскости, её проекция перпендикулярна другой прямой, тогда оригинал тоже перпендикулярен. Все три условия — обязательны.

Ошибка 3. Координаты с ошибкой. В правильной пирамиде или наклонной призме легко ошибиться с координатами вершины. Перепроверь: расстояния должны соответствовать заданным длинам рёбер.

Ошибка 4. Знак в скалярном произведении. Угол между прямыми всегда от 0 до 90°, поэтому в формуле $\cos \alpha =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ обязателен модуль. Без модуля можно получить тупой угол, и это считается ошибкой.

Ошибка 5. Расстояние между скрещивающимися с потерянным модулем. В формуле через смешанное произведение модуль обязателен — расстояние неотрицательно. Часто пишут число без модуля, получают отрицательное — это сигнал, что забыл модуль.

План решения за 50 минут

Если в первые 10 минут понятно, что не идёт — пропусти. Лучше вернуться к 14 в конце с свежей головой, чем 40 минут писать черновик и не закрыть 17 или 18.

Где готовиться

Перед заданием 14 — четыре темы из учебника:

• Метод координат в пространстве.
• Сечения многогранников.
• Двугранный угол.
• Расстояние между скрещивающимися прямыми.

После теории — практика. По заданию 14 нормальный темп — 2-3 задачи в неделю с полным разбором. За 2 месяца такого темпа большинство закрывает 80% типов.