Задание 14 ЕГЭ профильной математики — стереометрия

Разбор задания 14: алгоритм доказательства, алгоритм вычислений, критерии оценки и типичные ошибки. С двумя примерами полного решения.

Что проверяет задание 14

Задание 14 — это первая стереометрическая задача части 2 профильной математики. Оно даёт 3 первичных балла и состоит из двух пунктов: пункт «а» требует доказать утверждение, пункт «б» требует вычислить какую-то величину (угол, расстояние, длину, площадь). За первый пункт можно получить 1 балл, второй пункт даёт до 2 баллов.

С точки зрения экспертов, задание 14 проверяет четыре навыка одновременно: умение читать условие со стереометрической фигурой, умение строить рабочий чертёж, владение базовыми теоремами о перпендикулярности и параллельности, и умение оформлять доказательство по шагам с обоснованием каждого утверждения.

Это задание сложнее тригонометрии, но проще параметра. Если ты целишься выше 70 баллов, задание 14 — твой следующий после первой части и заданий 13/15/16 рубеж.

Часть «доказать» — алгоритм

Пункт «а» — это всегда геометрическое доказательство. Алгоритм работы:

Шаг 1. Внимательно прочитай, что именно надо доказать. Два самых частых типа: «доказать, что прямая X перпендикулярна плоскости Y» и «доказать, что плоскости X и Y перпендикулярны (или параллельны)».

Шаг 2. Сделай аккуратный чертёж. Не маленький схематичный, а крупный, с подписанными буквами вершин, видимыми и невидимыми рёбрами (невидимые штрихуй пунктиром). На чертеже сразу пометь данные из условия: равные отрезки, прямые углы, параллельность.

Шаг 3. Вспомни нужную теорему. Для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости работает признак перпендикулярности: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости. Для перпендикулярности плоскостей применяется свой признак: если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Шаг 4. Запиши решение по шагам. Каждый шаг должен ссылаться на условие, на ранее доказанный факт или на теорему. Эксперт читает доказательство как цепочку, где каждое звено обосновано.

Шаг 5. В конце явно напиши: «что и требовалось доказать», обозначение «ч. т. д.» или просто отметь конец доказательства. Это формальный признак того, что ты закончил.

✓ Совет от методиста. Доказывай только то, что нужно по условию. Самая частая ошибка сильных учеников — попытка доказать слишком много. Если в условии просят доказать перпендикулярность прямой и плоскости, не нужно по дороге доказывать ещё и параллельность каких-то рёбер. Лишние доказанные факты не дают баллов, но забирают время.

Часть «найти» — алгоритм

Пункт «б» — это вычисление. Чаще всего просят найти угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости, или какую-то длину/площадь с использованием доказанного в пункте «а» факта.

Шаг 1. Используй результат пункта «а». Если ты доказал, что какая-то прямая перпендикулярна плоскости, эта перпендикулярность поможет в построении проекций и вычислении углов.

Шаг 2. Введи координаты, если задача позволяет. Для куба, прямоугольного параллелепипеда и правильной пирамиды метод координат часто оказывается быстрее классического. Помещаешь начало координат в удобную вершину, ориентируешь оси по рёбрам, выписываешь координаты всех нужных точек. Дальше работаешь с векторами.

Шаг 3. Если координаты не идут (фигура нестандартная), используй классические приёмы: построение проекции, теорема о трёх перпендикулярах для нахождения расстояний, теоремы синусов и косинусов в плоских сечениях.

Шаг 4. В конце обязательно проверь арифметику. Это самая частая зона потерь баллов в пункте «б»: ход решения правильный, а ответ не сходится из-за ошибки в вычислениях.

Пример 1. Куб

Задача. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$ найти угол между прямой $AC_1$ и плоскостью $BB_1D_1D$.

Решение.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A$. Ось $x$ направим по ребру $AB$, ось $y$ направим по ребру $AD$, ось $z$ направим по ребру $AA_1$. Тогда координаты вершин:

$A(0; 0; 0),\; B(a; 0; 0),\; D(0; a; 0),\; C(a; a; 0)$

$A_1(0; 0; a),\; B_1(a; 0; a),\; D_1(0; a; a),\; C_1(a; a; a)$

Направляющий вектор прямой $AC_1$:

$\vec{AC_1} = (a; a; a)$

Плоскость $BB_1D_1D$ содержит точки $B(a; 0; 0)$, $D(0; a; 0)$, $D_1(0; a; a)$. Найдём нормальный вектор плоскости через векторное произведение векторов $\vec{BD}$ и $\vec{BD_1}$:

$\vec{BD} = (-a; a; 0),\quad \vec{BD_1} = (-a; a; a)$

Векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{BD} \times \vec{BD_1} = (a \cdot a - 0 \cdot a;\; 0 \cdot (-a) - (-a) \cdot a;\; (-a) \cdot a - a \cdot (-a)) = (a^2;\; a^2;\; 0)$

Угол между прямой и плоскостью находится как угол, дополнительный к углу между прямой и нормалью к плоскости:

$\sin \alpha = \dfrac{|\vec{AC_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{n}|}$

Скалярное произведение:

$\vec{AC_1} \cdot \vec{n} = a \cdot a^2 + a \cdot a^2 + a \cdot 0 = 2a^3$

Длины векторов:

$|\vec{AC_1}| = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$

$|\vec{n}| = \sqrt{a^4 + a^4 + 0} = a^2 \sqrt{2}$

Подставляем:

$\sin \alpha = \dfrac{2a^3}{a\sqrt{3} \cdot a^2\sqrt{2}} = \dfrac{2}{\sqrt{6}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{6} = \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Откуда:

$\alpha = \arcsin \dfrac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\arcsin \dfrac{\sqrt{6}}{3}$.

Пример 2. Правильная пирамида

Задача. В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания равна 4, а боковое ребро равно $2\sqrt{6}$. Найти расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$.

Решение.

Поскольку пирамида правильная, точка $S$ проецируется в центр квадрата $ABCD$. Обозначим центр как $O$. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна основанию.

Найдём $SO$. Диагональ основания $AC = 4\sqrt{2}$, значит, $AO = OC = 2\sqrt{2}$.

Из прямоугольного треугольника $SOA$:

$SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{24 - 8} = \sqrt{16} = 4$

Объём пирамиды:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{ABCD} \cdot SO = \dfrac{1}{3} \cdot 16 \cdot 4 = \dfrac{64}{3}$

Теперь найдём площадь треугольника $SBC$. Это равнобедренный треугольник: $SB = SC = 2\sqrt{6}$, $BC = 4$. Высота из вершины $S$ к основанию $BC$ (обозначим её $SK$):

$SK = \sqrt{SB^2 - \left(\dfrac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{24 - 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$

Площадь треугольника $SBC$:

$S_{SBC} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot SK = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{5} = 4\sqrt{5}$

Объём пирамиды $ABCS$ (та же пирамида, рассматриваемая от грани $SBC$) равен $\dfrac{64}{3}$. Расстояние от точки $A$ до плоскости $SBC$ обозначим $h$. Тогда:

$V = \dfrac{1}{3} \cdot S_{SBC} \cdot h$

Откуда:

$h = \dfrac{3V}{S_{SBC}} = \dfrac{3 \cdot \dfrac{64}{3}}{4\sqrt{5}} = \dfrac{64}{4\sqrt{5}} = \dfrac{16}{\sqrt{5}} = \dfrac{16\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\dfrac{16\sqrt{5}}{5}$.

Как чертить рисунок для решения

Хороший чертёж — это половина решения. Несколько правил:

Размер. Чертёж должен занимать минимум четверть листа. Маленькие чертежи не дают увидеть нужные элементы и порождают ошибки.

Видимые и невидимые рёбра. Видимые рёбра рисуй сплошной линией, невидимые показывай пунктиром или штриховкой. Это помогает сразу читать пространственную структуру.

Подписи. Каждая значимая точка должна быть подписана буквой. Не жалей букв и не используй неоднозначные обозначения.

Дополнительные построения. Если в решении нужна вспомогательная высота, проекция или прямая, рисуй её сразу другим цветом или штрихом, чтобы не сливалась с основным чертежом.

Не пытайся изобразить пропорции точно. На чертеже куб может выглядеть как параллелепипед, и это нормально. Главное правило: все нужные элементы и связи должны быть видны.

Критерии оценки задания 14

Эксперт оценивает задание по двум пунктам отдельно:

За пункт «а» (доказательство): 1 балл, если доказательство верное и полное, с обоснованием каждого шага. 0 баллов, если доказательство неверное, неполное или содержит логические пропуски.

За пункт «б» (вычисление): 2 балла, если ход решения верный и ответ правильный. 1 балл, если ход решения верный, но в ответе арифметическая ошибка (или ответ верный, но обоснование неполное). 0 баллов, если решение неверное или отсутствует.

Важная деталь: за пункт «б» можно получить баллы только при условии, что пункт «а» решён верно. Если ты не доказал утверждение из пункта «а», эксперт не будет начислять баллы за пункт «б», даже если вычисления верны. Это потому, что пункт «б» обычно опирается на результат пункта «а» как на данное.

Типичные ошибки и как их избежать

Слабый чертёж. Маленький, без подписей, с неотличимыми видимыми и невидимыми рёбрами. Из такого чертежа не видно структуры, и решение разваливается ещё до начала.

Доказательство без обоснований. «Очевидно, что прямая перпендикулярна плоскости» — это не доказательство. Каждое утверждение должно ссылаться на конкретную теорему или ранее доказанный факт.

Координаты без проверки удобства. Метод координат хорош для прямоугольных фигур, но плох для произвольных пирамид и наклонных призм. Прежде чем вводить координаты, прикинь, не будет ли классическое решение через площади и объёмы быстрее.

Арифметические ошибки в финальных вычислениях. Особенно с корнями. Пиши все промежуточные шаги в столбик, проверяй знаки и порядок действий. Лучше потратить лишнюю минуту на проверку, чем потерять балл за обидную ошибку.

Отказ от решения пункта «б» при сомнениях в «а». Многие ученики останавливаются после пункта «а», если не уверены в его правильности. Это ошибка стратегии: даже неуверенное доказательство стоит написать, потому что пункт «б» проверяется отдельно при условии его связи с «а». Если эксперт сочтёт «а» верным, ты получишь баллы и за «б». Если нет, ты потеряешь только то, на что и так не рассчитывал.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 13: тригонометрия
• → Задание 15: неравенства

Пригодится для подготовки к части 2:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

FAQ

Что дальше. Стереометрия — это техника, которая отрабатывается через десятки решённых задач. Сотик из Сот собрал больше 30 типовых конфигураций задания 14 с пошаговыми разборами. Тренируйся ежедневно, и за месяц ты будешь стабильно брать 2 из 3 баллов за это задание. Начать тренировку →

Пригодится: справочник всех формул для ЕГЭ и разбор задания 13 по тригонометрии.