Тригонометрические уравнения — методы решения и задачи ЕГЭ

Тригонометрическое уравнение — это ядро задания 13 ЕГЭ профиль. Задача состоит из двух частей: найти все корни и отобрать те, что попадают на заданный промежуток. Разберём все методы решения: простейшие, замена, однородные, разложение на множители, — а отбор вынесем в соседнюю тему.

Простейшие тригонометрические уравнения

К простейшим относятся четыре типа уравнений:

• $\sin x=a$;
• $\cos x=a$;
• $\tan x=a$;
• $\cot x=a$.

Для каждого есть готовая формула корней. Любое более сложное уравнение при правильной работе сводится к одному из простейших — часто после замены переменной или преобразования.

Условия разрешимости:

• Уравнения $\sin x=a$ и $\cos x=a$ имеют решения только при $|a|\le 1$.
• Уравнения $\tan x=a$ и $\cot x=a$ имеют решения при любом действительном $a$.

Формулы корней

Синус.

$\sin x=a\Rightarrow x=(-1{)}^n\arcsin a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Одна серия корней с чередующимся знаком. Альтернативная запись — как две серии: $x=\arcsin a+2\pi k$ и $x=\pi -\arcsin a+2\pi k$.

Косинус.

$\cos x=a\Rightarrow x=\pm \arccos a+2\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Две серии корней, симметричных относительно оси OX на единичной окружности.

Тангенс.

$\tan x=a\Rightarrow x=\arctan a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Одна серия с периодом $\pi$ (период тангенса меньше, чем у синуса и косинуса).

Котангенс.

$\cot x=a\Rightarrow x=\mathrm{arccot}a+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Важные частные случаи:

• $\sin x=0\Rightarrow x=\pi n$;
• $\sin x=1\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+2\pi n$;
• $\sin x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n$;
• $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi n$;
• $\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n$;
• $\cos x=-1\Rightarrow x=\pi +2\pi n$.

Метод замены переменной

Уравнение вида $2{\sin }^{2}x-5\sin x+2=0$ — квадратное относительно $\sin x$. Обозначим $t=\sin x$:

$2t^2-5t+2=0$

По формуле корней: $t_1=2$, $t_2=\frac{1}{2}$.

Проверяем, что $|t|\le 1$: $t_1=2$ отбрасываем, $t_2=\frac{1}{2}$ подходит.

$\sin x=\frac{1}{2}$ — простейшее уравнение. Корни: $x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Однородные уравнения

Первая степень. $a\sin x+b\cos x=0$.

Делим обе части на $\cos x$ (после проверки, что $\cos x=0$ не является решением — подстави в исходное уравнение):

$a\tan x+b=0\Rightarrow \tan x=-\frac{b}{a}$

Дальше — простейшее уравнение с тангенсом.

Вторая степень. $A{\sin }^{2}x+B\sin x\cos x+C{\cos }^{2}x=0$.

Делим на ${\cos }^{2}x$ (после проверки $\cos x=0$):

$A{\tan }^{2}x+B\tan x+C=0$

Замена $t=\tan x$ сводит к квадратному уравнению.

Разложение на множители

Уравнение вида $\sin x+\sin 3x=0$ сводится к произведению по формуле суммы синусов:

$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль. Значит либо $\sin 2x=0$, либо $\cos x=0$. Каждое из этих простейших уравнений решается по отдельности.

Сведение к одной функции

Уравнение вида ${\cos }^{2}x+\sin x=1$ сводится через основное тождество ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x$:

$1-{\sin }^{2}x+\sin x=1\Rightarrow -{\sin }^{2}x+\sin x=0\Rightarrow \sin x(1-\sin x)=0$

Значит $\sin x=0$ или $\sin x=1$. Дальше — простейшие уравнения.

Алгоритм решения

1. Если уравнение квадратное относительно $\sin x$ или $\cos x$ — делай замену.
2. Если все слагаемые с $\sin x$ и $\cos x$ одного порядка — это однородное, делай деление.
3. Если есть сумма синусов или косинусов — применяй формулу в произведение.
4. Если есть ${\sin }^{2}x$ и ${\cos }^{2}x$ одновременно — сводишь через основное тождество.
5. Если ничего не видно — попробуй преобразовать одно слагаемое через другое, или подстановку $t=\tan (x/2)$.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $2\sin x=1$.

Решение. Делим обе части на 2: $\sin x=\frac{1}{2}$. Применяем формулу:

$x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n,n\in \mathbb{Z}$

Или как две серии: $x=\frac{\pi }{6}+2\pi k$, $x=\frac{5\pi }{6}+2\pi k$, $k\in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=(-1{)}^n\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $2{\cos }^{2}x-\cos x-1=0$.

Решение. Замена $t=\cos x$. Уравнение: $2t^2-t-1=0$.

Дискриминант $D=1+8=9$. Корни $t=\frac{1\pm 3}{4}$: $t_1=1$, $t_2=-\frac{1}{2}$.

Оба $|t|\le 1$ — оба подходят.

Возвращаемся к $x$:

• $\cos x=1\Rightarrow x=2\pi n$;
• $\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$.

Ответ: $x=2\pi n$ или $x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k$, $n,k\in \mathbb{Z}$.

Типичная ошибка. Забыть проверить $|t|\le 1$ и оставить в ответе $t=2$ или подобный нереальный корень.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $\sin x+\sin 3x=0$.

Решение. По формуле суммы синусов $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$:

$\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos (-x)=2\sin 2x\cos x$

Так как $\cos (-x)=\cos x$.

Уравнение:

$2\sin 2x\cos x=0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль:

• $\sin 2x=0\Rightarrow 2x=\pi n\Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$;
• $\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+\pi k$.

Заметим, что корни из второго случая входят в первый при нечётных $n$ (то есть $n=2k+1$):

$x=\frac{\pi (2k+1)}{2}=\frac{\pi }{2}+\pi k$

Значит объединённый ответ — $x=\frac{\pi n}{2}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x=\frac{\pi n}{2}$, $n\in \mathbb{Z}$.

Типичная ошибка. Записать $x=\pi n$ вместо $x=\frac{\pi n}{2}$ для $\sin 2x=0$. Не забывай: если аргумент синуса — $2x$, то корни — половины обычных.

Типичные ошибки

1. Терять корни при делении на $\cos x$ или $\sin x$. Деление возможно только после проверки, что соответствующая функция не обнуляется. Иначе теряешь часть корней.
2. Не проверять $|a|\le 1$. После замены переменной или преобразования всегда проверяй, что $\sin x$ или $\cos x$ лежит в нужном диапазоне. Выход за диапазон отбрасывается.
3. Ошибаться в формуле корней. $\sin x=a$ — одна серия с $(-1{)}^n$. $\cos x=a$ — две серии с $\pm$. Не путай.
4. Забывать период. Синус и косинус — период $2\pi$, тангенс и котангенс — $\pi$. В формулах корней это проявляется в множителе перед $n$: $2\pi n$ или $\pi n$.
5. Не объединять серии. Если в уравнении несколько случаев, и их серии пересекаются — объединяй в одну. Так ответ короче и корректнее для отбора.

Связь с другими темами

• Тригонометрические формулы — необходимая база. Формулы сложения, двойного угла, суммы-произведения, приведения — инструменты для преобразования уравнения.
• Отбор корней тригонометрических уравнений — вторая часть задания 13. После нахождения всех корней нужно отобрать попадающие на заданный промежуток.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 13 (уравнения с отбором корней) — основной номер для тригонометрических уравнений. 2 балла: 1 за все корни, 1 за отбор на промежутке.