Чем $\sin x = a$ отличается от $\cos x = a$?

Формулы корней разные. $\sin x = a$ даёт $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ (одна серия). $\cos x = a$ даёт $x = \pm \arccos a + 2\pi n$ (две серии). Условия разрешимости одинаковы — $|a| \le 1$.

Когда уравнение $\sin x = a$ не имеет решений?

При $|a| > 1$. Область значений синуса — $[-1; 1]$, поэтому $\sin x$ не может быть равен, например, $2$ или $-1{,}5$. Если в задаче после преобразований получилось $\sin x = 2$ — значит где-то ошибка или уравнение действительно не имеет решений.

Что такое однородное тригонометрическое уравнение?

Уравнение, где все слагаемые — произведения функций $\sin x$ и $\cos x$ одинакового порядка. Первой степени $a\sin x + b\cos x = 0$ — однородное первой степени. Второй степени $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x = 0$ — однородное второй степени.

Почему при замене $t=\sin x$ нужен диапазон $-1 \le t \le 1$?

Потому что $\sin x$ может принимать значения только из отрезка $[-1; 1]$. Если при решении квадратного уравнения относительно $t$ получишь корень вне этого отрезка — его нужно отбросить, он не даёт реального $x$.

Как решать $a\sin x + b\cos x = c$?

Два способа. Первый — через вспомогательный угол: привести к $\sqrt{a^2+b^2} \sin(x + \varphi) = c$. Второй — универсальная подстановка $t = \tan(x/2)$, приводящая к рациональному уравнению. На ЕГЭ первый способ удобнее.

Что значит "простейшее тригонометрическое уравнение"?

Уравнение вида $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$ или $\cot x = a$. Для каждого есть готовая формула корней. Все более сложные уравнения сводятся к одному из этих четырёх типов.

Как записать все корни уравнения $\cos x = 0$?

$x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число. Это точки на оси OX, в которых косинус обращается в ноль — вершины единичной окружности на оси OY.

Зачем проверять, что деление на $\cos x$ не потеряло корни?

Потому что при $\cos x = 0$ деление невозможно — уравнение теряет смысл. Перед делением на $\cos x$ всегда рассматривай случай $\cos x = 0$ отдельно: подставляй его в исходное уравнение и проверяй, является ли оно решением.

Сколько корней на периоде у $\sin x = 0$?

Два: $x = 0$ и $x = \pi$. Период синуса $2\pi$, и за это время он обращается в ноль ровно два раза. Общая формула всех корней: $x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

В каком задании ЕГЭ встречаются тригонометрические уравнения?

В задании 13 профиля. 2 балла за полное решение двух частей — нахождение всех корней и отбор на заданном промежутке. Часто комбинируются с логарифмическими или показательными функциями через замену переменной.

Тригонометрические уравнения — методы решения и задачи ЕГЭ

Тригонометрическое уравнение — это ядро задания 13 ЕГЭ профиль. Задача состоит из двух частей: найти все корни и отобрать те, что попадают на заданный промежуток. Разберём все методы решения: простейшие, замена, однородные, разложение на множители, — а отбор вынесем в соседнюю тему.

Графики функций y = sin x (honey) и y = cos x (зелёный) на интервале от −2π до 2π. Точки пересечения — решения уравнения sin x = cos x, серия x = π/4 + πn. На интервале: −7π/4, −3π/4, π/4, 5π/4. — Решение уравнения sin x = cos x — точки пересечения графиков: x = π/4 + πn.

Простейшие тригонометрические уравнения

К простейшим относятся четыре типа уравнений:

$\sin x = a$ ;
$\cos x = a$ ;
$\tan x = a$ ;
$\cot x = a$ .

Для каждого есть готовая формула корней. Любое более сложное уравнение при правильной работе сводится к одному из простейших — часто после замены переменной или преобразования.

Условия разрешимости:

Уравнения $\sin x = a$ и $\cos x = a$ имеют решения только при $|a| \le 1$ .
Уравнения $\tan x = a$ и $\cot x = a$ имеют решения при любом действительном $a$ .

Формулы корней

Синус.

$\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Одна серия корней с чередующимся знаком. Альтернативная запись — как две серии: $x = \arcsin a + 2\pi k$ и $x = \pi - \arcsin a + 2\pi k$ .

Косинус.

$\cos x = a \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Две серии корней, симметричных относительно оси OX на единичной окружности.

Тангенс.

$\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Одна серия с периодом $\pi$ (период тангенса меньше, чем у синуса и косинуса).

Котангенс.

$\cot x = a \Rightarrow x = \operatorname{arccot} a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Важные частные случаи:

$\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$ ;
$\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ;
$\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ ;
$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$ ;
$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$ ;
$\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$ .

Метод замены переменной

Уравнение вида $2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0$ — квадратное относительно $\sin x$ . Обозначим $t = \sin x$ :

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

По формуле корней: $t_1 = 2$ , $t_2 = \frac{1}{2}$ .

Проверяем, что $|t| \le 1$ : $t_1 = 2$ отбрасываем, $t_2 = \frac{1}{2}$ подходит.

$\sin x = \frac{1}{2}$ — простейшее уравнение. Корни: $x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

Однородные уравнения

Первая степень. $a\sin x + b\cos x = 0$ .

Делим обе части на $\cos x$ (после проверки, что $\cos x = 0$ не является решением — подстави в исходное уравнение):

$a \tan x + b = 0 \Rightarrow \tan x = -\frac{b}{a}$

Дальше — простейшее уравнение с тангенсом.

Вторая степень. $A\sin^2 x + B\sin x\cos x + C\cos^2 x = 0$ .

Делим на $\cos^2 x$ (после проверки $\cos x = 0$ ):

$A\tan^2 x + B\tan x + C = 0$

Замена $t = \tan x$ сводит к квадратному уравнению.

Разложение на множители

Уравнение вида $\sin x + \sin 3x = 0$ сводится к произведению по формуле суммы синусов:

$\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos x = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль. Значит либо $\sin 2x = 0$ , либо $\cos x = 0$ . Каждое из этих простейших уравнений решается по отдельности.

Сведение к одной функции

Уравнение вида $\cos^2 x + \sin x = 1$ сводится через основное тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$1 - \sin^2 x + \sin x = 1 \Rightarrow -\sin^2 x + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x(1 - \sin x) = 0$

Значит $\sin x = 0$ или $\sin x = 1$ . Дальше — простейшие уравнения.

Алгоритм решения

Если уравнение квадратное относительно $\sin x$ или $\cos x$ — делай замену.
Если все слагаемые с $\sin x$ и $\cos x$ одного порядка — это однородное, делай деление.
Если есть сумма синусов или косинусов — применяй формулу в произведение.
Если есть $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$ одновременно — сводишь через основное тождество.
Если ничего не видно — попробуй преобразовать одно слагаемое через другое, или подстановку $t = \tan(x/2)$ .

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Реши уравнение $2\sin x = 1$ .

Решение. Делим обе части на 2: $\sin x = \frac{1}{2}$ . Применяем формулу:

$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Или как две серии: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$ , $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$ , $k \in \mathbb{Z}$ .

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \dfrac{\pi}{6} + \pi n$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

Пример 2 (уровень Б). Реши уравнение $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ .

Решение. Замена $t = \cos x$ . Уравнение: $2t^2 - t - 1 = 0$ .

Дискриминант $D = 1 + 8 = 9$ . Корни $t = \frac{1 \pm 3}{4}$ : $t_1 = 1$ , $t_2 = -\frac{1}{2}$ .

Оба $|t| \le 1$ — оба подходят.

Возвращаемся к $x$ :

$\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$ ;
$\cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$ .

Ответ: $x = 2\pi n$ или $x = \pm \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k$ , $n, k \in \mathbb{Z}$ .

Типичная ошибка. Забыть проверить $|t| \le 1$ и оставить в ответе $t = 2$ или подобный нереальный корень.

Пример 3 (уровень В). Реши уравнение $\sin x + \sin 3x = 0$ .

Решение. По формуле суммы синусов $\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ :

$\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos(-x) = 2\sin 2x \cos x$

Так как $\cos(-x) = \cos x$ .

Уравнение:

$2\sin 2x \cos x = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль:

$\sin 2x = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$ ;
$\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ .

Заметим, что корни из второго случая входят в первый при нечётных $n$ (то есть $n = 2k + 1$ ):

$x = \frac{\pi(2k+1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k$

Значит объединённый ответ — $x = \frac{\pi n}{2}$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

Ответ: $x = \dfrac{\pi n}{2}$ , $n \in \mathbb{Z}$ .

Типичная ошибка. Записать $x = \pi n$ вместо $x = \frac{\pi n}{2}$ для $\sin 2x = 0$ . Не забывай: если аргумент синуса — $2x$ , то корни — половины обычных.

Типичные ошибки

Терять корни при делении на $\cos x$ или $\sin x$ . Деление возможно только после проверки, что соответствующая функция не обнуляется. Иначе теряешь часть корней.
Не проверять $|a| \le 1$ . После замены переменной или преобразования всегда проверяй, что $\sin x$ или $\cos x$ лежит в нужном диапазоне. Выход за диапазон отбрасывается.
Ошибаться в формуле корней. $\sin x = a$ — одна серия с $(-1)^n$ . $\cos x = a$ — две серии с $\pm$ . Не путай.
Забывать период. Синус и косинус — период $2\pi$ , тангенс и котангенс — $\pi$ . В формулах корней это проявляется в множителе перед $n$ : $2\pi n$ или $\pi n$ .
Не объединять серии. Если в уравнении несколько случаев, и их серии пересекаются — объединяй в одну. Так ответ короче и корректнее для отбора.

Связь с другими темами

Тригонометрические формулы — необходимая база. Формулы сложения, двойного угла, суммы-произведения, приведения — инструменты для преобразования уравнения.
Отбор корней тригонометрических уравнений — вторая часть задания 13. После нахождения всех корней нужно отобрать попадающие на заданный промежуток.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 13 (уравнения с отбором корней) — основной номер для тригонометрических уравнений. 2 балла: 1 за все корни, 1 за отбор на промежутке.

Закрой пробелы в тригонометрии

15 минут диагностики — и персональный маршрут по заданию 13

Начать диагностику