Задание 12 ЕГЭ: уравнения с отбором корней

Разбор задания 12 ЕГЭ: тригонометрические и логарифмические уравнения с отбором корней. Методы и 2 полных примера с критериями.

Структура задания 12 ЕГЭ

Задание 12 — первое задание второй части профильного ЕГЭ по математике. За него дают 2 первичных балла, и оба оцениваются отдельно: пункт «а» и пункт «б» независимы друг от друга.

Это принципиально важно: даже если ты не добил «б», балл за «а» тебе всё равно засчитают. Именно поэтому задание 12 — одна из самых «выгодных» позиций второй части для тех, кто готовится методично.

Типичная формулировка: «Решите уравнение... а) Найдите все корни уравнения; б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [p; q]».

Пункт «а» — это само решение уравнения, чаще всего тригонометрического или логарифмического. Пункт «б» — отбор корней, то есть отсев тех значений из общей серии, которые попадают в заданный промежуток.

Большинство теряет баллы не в «а», а именно в «б». Дальше разберём оба пункта по шагам.

Пункт «а»: решение уравнения

В задании 12 чаще всего встречаются два класса уравнений.

Тригонометрические уравнения. Типичные виды: $sin x = a$ , $cos x = a$ , $tan x = a$ , а также уравнения, которые к ним сводятся после алгебраических преобразований. Ответ записывается через серию с параметром $n \in Z$ .

Логарифмические уравнения. Уравнения вида $lo g_{a} f (x) = b$ или уравнения, где логарифмические выражения присутствуют в обеих частях. Важно: при решении логарифмического уравнения нужно учитывать ОДЗ (область допустимых значений) и проверять, подходят ли найденные корни.

Для тригонометрических уравнений базовые серии решений:

$sin x = a \Rightarrow x = (- 1)^{n} arcsin a + π n, n \in Z$

$cos x = a \Rightarrow x = \pm arccos a + 2 π n, n \in Z$

$tan x = a \Rightarrow x = arctan a + π n, n \in Z$

Запиши серию точно, без сокращений. Проверяющий должен видеть полную запись с $n \in Z$ .

Пункт «б»: отбор корней

Здесь задача — из бесконечной серии корней выбрать те, что попадают в конкретный промежуток $[p; q]$ .

Алгоритм одинаков для любого типа уравнения.

Шаг 1. Возьми формулу серии из пункта «а». Подставь вместо корня двойное неравенство:

$p ⩽ x_{n} ⩽ q$

Шаг 2. Реши неравенство относительно $n$ . Найди, какие целые значения $n$ удовлетворяют этому условию.

Шаг 3. Подставь каждое подходящее $n$ обратно в формулу серии. Получи конкретные числовые значения.

Шаг 4. Запиши ответ: перечисли корни, принадлежащие отрезку.

Методы отбора: единичная окружность, двойное неравенство, перебор

Три метода — у каждого своя ситуация применения.

Метод 1. Двойное неравенство

Подходит для большинства тригонометрических задач. Если серия имеет вид $x_{n} = α + β n$ , составляй:

$p ⩽ α + β n ⩽ q$

Вычитай $α$ из всех частей, делай на $β$ (следи за знаком при делении). Получаешь числовой промежуток для $n$ . Выбираешь целые $n$ внутри него и подставляешь.

Метод 2. Единичная окружность

Рисуешь окружность, откладываешь угол $α$ (решение из «а»), и наглядно видишь, сколько полных оборотов нужно сделать, чтобы попасть в заданный промежуток. Метод работает быстро, когда границы отрезка кратны $π$ .

Метод 3. Перебор значений $n$

Когда серия нелинейна по $n$ (например, есть $(- 1)^{n}$ ), двойное неравенство применить сложно. В этом случае подставляй $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ последовательно и проверяй каждый корень вручную. Несколько итераций хватает, чтобы найти все подходящие значения.

Хочешь тренировать задание 12 с разбором каждой ошибки? Пройди диагностику на Сотах — получишь личный маршрут и задачи именно по своим пробелам.

Пример полного решения

Разберём два типовых примера: тригонометрический и логарифмический.

Пример 1. Тригонометрическое уравнение с отбором

Условие. Решите уравнение $2 sin^{2} x - sin x - 1 = 0$ . а) Найдите все корни. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[- π; 2 π]$ .

Пункт «а». Введём замену $t = sin x$ :

$2 t^{2} - t - 1 = 0$

По формуле дискриминанта: $D = 1 + 8 = 9$ , откуда $t_{1} = 1$ , $t_{2} = - \frac{1}{2}$ .

Серия 1: $sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{2} + 2 π n, n \in Z$

Серия 2: $sin x = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = - \frac{π}{6} + 2 π n$ и $x = π + \frac{π}{6} + 2 π n = \frac{7 π}{6} + 2 π n, n \in Z$

Пункт «б». Отрезок $[- π; 2 π]$ .

Серия 1: $- π ⩽ \frac{π}{2} + 2 π n ⩽ 2 π$ . Вычтем $\frac{π}{2}$ : $- \frac{3 π}{2} ⩽ 2 π n ⩽ \frac{3 π}{2}$ . Делим на $2 π$ : $- \frac{3}{4} ⩽ n ⩽ \frac{3}{4}$ . Целое $n = 0$ . Корень: $x = \frac{π}{2}$ .

Серия 2a: $- π ⩽ - \frac{π}{6} + 2 π n ⩽ 2 π$ . Прибавим $\frac{π}{6}$ : $- \frac{5 π}{6} ⩽ 2 π n ⩽ \frac{13 π}{6}$ . Делим на $2 π$ : $- \frac{5}{12} ⩽ n ⩽ \frac{13}{12}$ . Целое $n = 0$ . Корень: $x = - \frac{π}{6}$ .

Серия 2b: $- π ⩽ \frac{7 π}{6} + 2 π n ⩽ 2 π$ . Вычтем $\frac{7 π}{6}$ : $- \frac{13 π}{6} ⩽ 2 π n ⩽ \frac{5 π}{6}$ . Делим на $2 π$ : $- \frac{13}{12} ⩽ n ⩽ \frac{5}{12}$ . Целое $n = 0$ . Корень: $x = \frac{7 π}{6}$ .

Ответ пункта «б»: $x = - \frac{π}{6}, \frac{π}{2}, \frac{7 π}{6}$ .

Пример 2. Логарифмическое уравнение

Условие. Решите уравнение $lo g_{3} (x^{2} - 3 x) = 1$ . а) Найдите все корни. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[- 1; 6]$ .

Пункт «а». ОДЗ: $x^{2} - 3 x > 0$ , то есть $x < 0$ или $x > 3$ .

Из уравнения: $x^{2} - 3 x = 3^{1} = 3$ , то есть $x^{2} - 3 x - 3 = 0$ .

По формуле: $x = \frac{3 \pm 9 + 12}{2} = \frac{3 \pm 21}{2}$ .

Проверяем ОДЗ: $21 \approx 4, 58$ . Тогда $x_{1} = \frac{3 - 21}{2} \approx - 0, 79$ (входит в $x < 0$ , подходит), $x_{2} = \frac{3 + 21}{2} \approx 3, 79$ (входит в $x > 3$ , подходит).

Пункт «б». Отрезок $[- 1; 6]$ . $x_{1} \approx - 0, 79 \in [- 1; 6]$ — подходит. $x_{2} \approx 3, 79 \in [- 1; 6]$ — подходит.

Ответ пункта «б»: $x_{1} = \frac{3 - 21}{2}, x_{2} = \frac{3 + 21}{2}$ .

Критерии оценки и частые потери балла

В задании 12 действует раздельное оценивание: 1 балл за пункт «а» и 1 балл за пункт «б». Итого максимум 2 первичных балла.

Что проверяет эксперт в пункте «а»:

верное преобразование и решение уравнения;
полная запись серии с указанием $n \in Z$ ;
для логарифмических — проверка ОДЗ.

Что проверяет эксперт в пункте «б»:

явное неравенство для $n$ или явный перебор значений;
конкретные числовые ответы (не серия, а числа);
все корни, попадающие в отрезок, без лишних.

Частые потери балла в пункте «а»: потеря корня при квадратном уравнении после замены переменной; неверный знак в серии для $cos x$ (забытая симметричная ветка); отсутствие проверки ОДЗ в логарифмическом уравнении.

Частые потери балла в пункте «б»: не выполнен отбор (записана серия из «а» без конкретных значений); арифметическая ошибка при решении неравенства для $n$ ; не учтены оба знака в серии (потерян один из корней).

Задание 12 ЕГЭ проверяет две вещи: умение решить уравнение и умение работать с бесконечной серией корней. Первое тренируется через повторение формул. Второе — через многократную отработку алгоритма отбора, пока он не станет автоматическим.

Смежные темы, которые стоит разобрать рядом: полный разбор тригонометрии второй части — задание 13 по тригонометрии, и шпаргалка по всем формулам — все формулы ЕГЭ профильная математика.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

Пригодится для подготовки к части 1:

Частые вопросы

Сколько баллов даёт задание 12 ЕГЭ?

Задание 12 даёт 2 первичных балла: по одному за каждый пункт. Пункты оцениваются независимо. Если пункт «а» решён верно, а «б» — нет (или не сделан), ты всё равно получишь 1 балл. В пересчёте на стобалльную шкалу каждый первичный балл второй части весит больше, чем балл первой.

Чем задание 12 отличается от задания 13?

Задание 13 — тоже уравнение второй части, но, как правило, сложнее по структуре: там может быть несколько уравнений, система или более глубокое преобразование. Задание 12 чаще предполагает одно уравнение с последующим отбором корней в заданный промежуток. По критериям оба задания дают по 2 балла, но задание 13 считается более трудоёмким.

Какой метод отбора корней удобнее?

Зависит от вида серии. Если серия линейна по $n$ (например, $x = α + β n$ ), быстрее всего работает двойное неравенство: составляешь $p ⩽ α + β n ⩽ q$ , решаешь относительно $n$ , выбираешь целые значения. Если границы отрезка кратны $π$ , подключи единичную окружность для наглядности. Если в серии стоит $(- 1)^{n}$ , используй перебор по $n = 0, \pm 1, \pm 2$ .

Если решить только пункт «а», получу ли балл?

Да. Пункты оцениваются отдельно. Верное решение пункта «а» с полной записью серии — это 1 балл, даже если пункт «б» пустой. Поэтому тактика «сначала добей «а» полностью, потом начинай «б»» оправдана: хотя бы один балл зафиксирован.

Как тренировать отбор корней, чтобы не терять балл?

Отрабатывай отбор как отдельный навык, независимо от решения уравнения. Возьми готовую серию (например, $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ ) и тренируйся подставлять разные отрезки: $[0; 4 π]$ , $[- 2 π; π]$ , $[1; 10]$ . Когда алгоритм двойного неравенства и перебора $n$ работает без ошибок на «чистых» сериях, переходи к полным задачам «а + б». На Сотах задание 12 разбито на оба пункта по отдельности — можно тренировать именно «б», не повторяя «а» каждый раз.

Задание 12 ЕГЭ профильной математики — уравнения с отбором корней

Структура задания 12 ЕГЭ

Пункт «а»: решение уравнения

Пункт «б»: отбор корней