Задание 12 ЕГЭ профильной математики — уравнения с отбором корней

Разбор задания 12 ЕГЭ: тригонометрические и логарифмические уравнения с отбором корней. Методы и 2 полных примера с критериями.

Структура задания 12 ЕГЭ

Задание 12 — первое задание второй части профильного ЕГЭ по математике. За него дают 2 первичных балла, и оба оцениваются отдельно: пункт «а» и пункт «б» независимы друг от друга.

Это принципиально важно: даже если ты не добил «б», балл за «а» тебе всё равно засчитают. Именно поэтому задание 12 — одна из самых «выгодных» позиций второй части для тех, кто готовится методично.

Типичная формулировка: «Решите уравнение... а) Найдите все корни уравнения; б) Укажите корни, принадлежащие отрезку [p; q]».

Пункт «а» — это само решение уравнения, чаще всего тригонометрического или логарифмического. Пункт «б» — отбор корней, то есть отсев тех значений из общей серии, которые попадают в заданный промежуток.

Большинство теряет баллы не в «а», а именно в «б». Дальше разберём оба пункта по шагам.

Пункт «а»: решение уравнения

В задании 12 чаще всего встречаются два класса уравнений.

Тригонометрические уравнения. Типичные виды: $\sin x = a$, $\cos x = a$, $\tan x = a$, а также уравнения, которые к ним сводятся после алгебраических преобразований. Ответ записывается через серию с параметром $n \in \mathbb{Z}$.

Логарифмические уравнения. Уравнения вида $\log_a f(x) = b$ или уравнения, где логарифмические выражения присутствуют в обеих частях. Важно: при решении логарифмического уравнения нужно учитывать ОДЗ (область допустимых значений) и проверять, подходят ли найденные корни.

Для тригонометрических уравнений базовые серии решений:

$\sin x = a \Rightarrow x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\cos x = a \Rightarrow x = \pm \arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

$\tan x = a \Rightarrow x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Запиши серию точно, без сокращений. Проверяющий должен видеть полную запись с $n \in \mathbb{Z}$.

Пункт «б»: отбор корней

Здесь задача — из бесконечной серии корней выбрать те, что попадают в конкретный промежуток $[p; q]$.

Алгоритм одинаков для любого типа уравнения.

Шаг 1. Возьми формулу серии из пункта «а». Подставь вместо корня двойное неравенство:

$p \leqslant x_n \leqslant q$

Шаг 2. Реши неравенство относительно $n$. Найди, какие целые значения $n$ удовлетворяют этому условию.

Шаг 3. Подставь каждое подходящее $n$ обратно в формулу серии. Получи конкретные числовые значения.

Шаг 4. Запиши ответ: перечисли корни, принадлежащие отрезку.

Методы отбора: единичная окружность, двойное неравенство, перебор

Три метода — у каждого своя ситуация применения.

Метод 1. Двойное неравенство

Подходит для большинства тригонометрических задач. Если серия имеет вид $x_n = \alpha + \beta n$, составляй:

$p \leqslant \alpha + \beta n \leqslant q$

Вычитай $\alpha$ из всех частей, делай на $\beta$ (следи за знаком при делении). Получаешь числовой промежуток для $n$. Выбираешь целые $n$ внутри него и подставляешь.

Метод 2. Единичная окружность

Рисуешь окружность, откладываешь угол $\alpha$ (решение из «а»), и наглядно видишь, сколько полных оборотов нужно сделать, чтобы попасть в заданный промежуток. Метод работает быстро, когда границы отрезка кратны $\pi$.

Метод 3. Перебор значений $n$

Когда серия нелинейна по $n$ (например, есть $(-1)^n$), двойное неравенство применить сложно. В этом случае подставляй $n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$ последовательно и проверяй каждый корень вручную. Несколько итераций хватает, чтобы найти все подходящие значения.

Пример полного решения

Разберём два типовых примера: тригонометрический и логарифмический.

Пример 1. Тригонометрическое уравнение с отбором

Условие. Решите уравнение $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$. а) Найдите все корни. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[-\pi; 2\pi]$.

Пункт «а». Введём замену $t = \sin x$:

$2t^2 - t - 1 = 0$

По формуле дискриминанта: $D = 1 + 8 = 9$, откуда $t_1 = 1$, $t_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Серия 1: $\sin x = 1 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Серия 2: $\sin x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n$ и $x = \pi + \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n = \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$

Пункт «б». Отрезок $[-\pi; 2\pi]$.

Серия 1: $-\pi \leqslant \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \leqslant 2\pi$. Вычтем $\dfrac{\pi}{2}$: $-\dfrac{3\pi}{2} \leqslant 2\pi n \leqslant \dfrac{3\pi}{2}$. Делим на $2\pi$: $-\dfrac{3}{4} \leqslant n \leqslant \dfrac{3}{4}$. Целое $n = 0$. Корень: $x = \dfrac{\pi}{2}$.

Серия 2a: $-\pi \leqslant -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi n \leqslant 2\pi$. Прибавим $\dfrac{\pi}{6}$: $-\dfrac{5\pi}{6} \leqslant 2\pi n \leqslant \dfrac{13\pi}{6}$. Делим на $2\pi$: $-\dfrac{5}{12} \leqslant n \leqslant \dfrac{13}{12}$. Целое $n = 0$. Корень: $x = -\dfrac{\pi}{6}$.

Серия 2b: $-\pi \leqslant \dfrac{7\pi}{6} + 2\pi n \leqslant 2\pi$. Вычтем $\dfrac{7\pi}{6}$: $-\dfrac{13\pi}{6} \leqslant 2\pi n \leqslant \dfrac{5\pi}{6}$. Делим на $2\pi$: $-\dfrac{13}{12} \leqslant n \leqslant \dfrac{5}{12}$. Целое $n = 0$. Корень: $x = \dfrac{7\pi}{6}$.

Ответ пункта «б»: $x = -\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{7\pi}{6}$.

Пример 2. Логарифмическое уравнение

Условие. Решите уравнение $\log_3(x^2 - 3x) = 1$. а) Найдите все корни. б) Укажите корни, принадлежащие отрезку $[-1; 6]$.

Пункт «а». ОДЗ: $x^2 - 3x > 0$, то есть $x < 0$ или $x > 3$.

Из уравнения: $x^2 - 3x = 3^1 = 3$, то есть $x^2 - 3x - 3 = 0$.

По формуле: $x = \dfrac{3 \pm \sqrt{9 + 12}}{2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.

Проверяем ОДЗ: $\sqrt{21} \approx 4{,}58$. Тогда $x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{2} \approx -0{,}79$ (входит в $x < 0$, подходит), $x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{2} \approx 3{,}79$ (входит в $x > 3$, подходит).

Пункт «б». Отрезок $[-1; 6]$. $x_1 \approx -0{,}79 \in [-1; 6]$ — подходит. $x_2 \approx 3{,}79 \in [-1; 6]$ — подходит.

Ответ пункта «б»: $x_1 = \dfrac{3 - \sqrt{21}}{2},\ x_2 = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{2}$.

Критерии оценки и частые потери балла

В задании 12 действует раздельное оценивание: 1 балл за пункт «а» и 1 балл за пункт «б». Итого максимум 2 первичных балла.

Что проверяет эксперт в пункте «а»:

• верное преобразование и решение уравнения;
• полная запись серии с указанием $n \in \mathbb{Z}$;
• для логарифмических — проверка ОДЗ.

Что проверяет эксперт в пункте «б»:

• явное неравенство для $n$ или явный перебор значений;
• конкретные числовые ответы (не серия, а числа);
• все корни, попадающие в отрезок, без лишних.

Частые потери балла в пункте «а»: потеря корня при квадратном уравнении после замены переменной; неверный знак в серии для $\cos x$ (забытая симметричная ветка); отсутствие проверки ОДЗ в логарифмическом уравнении.

Частые потери балла в пункте «б»: не выполнен отбор (записана серия из «а» без конкретных значений); арифметическая ошибка при решении неравенства для $n$; не учтены оба знака в серии (потерян один из корней).

Задание 12 ЕГЭ проверяет две вещи: умение решить уравнение и умение работать с бесконечной серией корней. Первое тренируется через повторение формул. Второе — через многократную отработку алгоритма отбора, пока он не станет автоматическим.

Смежные темы, которые стоит разобрать рядом: полный разбор тригонометрии второй части — задание 13 по тригонометрии, и шпаргалка по всем формулам — все формулы ЕГЭ профильная математика.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 11: исследование функции
• → Задание 13: тригонометрия

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

Частые вопросы