Задание 11 ЕГЭ профильной математики — исследование функции

Разбор задания 11 ЕГЭ: наибольшее и наименьшее значения функции, экстремумы, производная. Алгоритм и 3 полных примера.

Что проверяет задание 11 ЕГЭ

Задание 11 — первое задание второй части профильного ЕГЭ. Здесь ты должен самостоятельно провести исследование функции: найти наибольшее или наименьшее значение на отрезке, определить экстремумы или доказать монотонность. За это начисляется 1 первичный балл.

Задание кажется объёмным, но устроено по единому шаблону. Почти всегда тебе дают функцию и просят одно из трёх:

• найти наибольшее или наименьшее значение на отрезке $[a; b]$,
• найти экстремумы (максимум, минимум) на всей области определения,
• исследовать монотонность и найти количество точек экстремума.

Во всех трёх случаях инструмент один — производная. Умеешь работать с ней по алгоритму — задание решается за 5–7 минут.

Тема задания 11 напрямую связана с заданиями 7 (производная по графику) и 15 (неравенства), поэтому проработка здесь даёт дополнительный эффект по всему блоку.

Алгоритм исследования на отрезке

Когда в задании стоит «найти наибольшее (наименьшее) значение функции на отрезке $[a; b]$», действуй в 5 шагов без отклонений.

Шаг 1. Найди производную $f'(x)$.

Шаг 2. Реши уравнение $f'(x) = 0$. Все решения — кандидаты в точки экстремума.

Шаг 3. Отсей лишнее: оставь только те корни, которые попадают в открытый интервал $(a; b)$.

Шаг 4. Вычисли значения функции в трёх типах точек: в концах отрезка $f(a)$ и $f(b)$, а также во всех внутренних критических точках.

Шаг 5. Сравни все полученные значения. Наибольшее — это и есть ответ на «найти наибольшее», наименьшее — на «найти наименьшее».

Алгоритм на промежутке без концов

Если задание требует найти экстремум на всей области определения или на открытом промежутке, концы в таблицу сравнения не добавляются. Алгоритм меняется.

Шаг 1. Найди производную $f'(x)$.

Шаг 2. Реши $f'(x) = 0$, найди все критические точки.

Шаг 3. Исследуй знак производной в окрестности каждой критической точки. Составь таблицу знаков $f'(x)$ или словесно опиши: что слева от точки, что справа.

Шаг 4. Примени правило:

• производная меняет знак с $+$ на $-$: это точка максимума,
• производная меняет знак с $-$ на $+$: это точка минимума,
• знак не меняется: экстремума нет, это точка перегиба.

Шаг 5. Если нужно значение функции в точке экстремума — подставь координату $x$ в $f(x)$.

Разница с отрезком ровно одна: ты не подставляешь концы, потому что их нет. Всё решение держится на анализе знаков производной.

Три примера с решением

Пример 1. Наибольшее значение на отрезке

Условие. Найди наибольшее значение функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ на отрезке $[-2; 6]$.

Решение.

Шаг 1. Производная: $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$.

Шаг 2. Решаем $3x^2 - 6x - 9 = 0$, то есть $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x = 3$ и $x = -1$.

Шаг 3. Оба корня попадают в $(-2; 6)$. Берём оба.

Шаг 4. Вычисляем значения функции:

$f(-2) = (-8) - 12 + 18 + 5 = 3$

$f(-1) = (-1) - 3 + 9 + 5 = 10$

$f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$

$f(6) = 216 - 108 - 54 + 5 = 59$

Шаг 5. Наибольшее значение: $59$ в точке $x = 6$.

Ответ: $59$.

Пример 2. Наименьшее значение на отрезке

Условие. Найди наименьшее значение функции $f(x) = x^4 - 8x^2 + 3$ на отрезке $[-3; 1]$.

Решение.

Шаг 1. Производная: $f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4)$.

Шаг 2. Корни производной: $x = 0$, $x = 2$, $x = -2$.

Шаг 3. В интервал $(-3; 1)$ попадают $x = 0$ и $x = -2$.

Шаг 4. Вычисляем:

$f(-3) = 81 - 72 + 3 = 12$

$f(-2) = 16 - 32 + 3 = -13$

$f(0) = 0 - 0 + 3 = 3$

$f(1) = 1 - 8 + 3 = -4$

Шаг 5. Наименьшее значение: $-13$ в точке $x = -2$.

Ответ: $-13$.

Пример 3. Точка максимума на всей оси

Условие. Найди точку максимума функции $f(x) = -x^3 + 3x - 2$.

Решение.

Шаг 1. Производная: $f'(x) = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1)$.

Шаг 2. Уравнение $-3(x^2 - 1) = 0$ даёт $x = 1$ и $x = -1$.

Шаг 3. Анализ знаков:

• при $x < -1$: возьмём $x = -2$, $f'(-2) = -3(4-1) = -9 < 0$, функция убывает,
• при $-1 < x < 1$: возьмём $x = 0$, $f'(0) = -3(0-1) = 3 > 0$, функция возрастает,
• при $x > 1$: возьмём $x = 2$, $f'(2) = -3(4-1) = -9 < 0$, функция убывает.

Шаг 4. В точке $x = -1$: производная меняет знак с $-$ на $+$ — это минимум. В точке $x = 1$: производная меняет знак с $+$ на $-$ — это максимум.

Ответ: точка максимума $x = 1$.

Частые ошибки

Забыл подставить концы отрезка. Самая распространённая ошибка в задании 11 ЕГЭ. Наибольшее или наименьшее значение может оказаться именно на границе, а не во внутренней критической точке. Подставляй $f(a)$ и $f(b)$ всегда.

Не отсеял корни вне отрезка. Производная может обращаться в ноль за пределами заданного промежутка. Такие точки в сравнение не берутся — они не принадлежат области, на которой ищется экстремум.

Перепутал максимум и минимум. Производная меняет знак с $+$ на $-$ — это максимум. С $-$ на $+$ — минимум. Правило кажется очевидным, но в спешке его разворачивают наоборот.

Подставил в производную вместо функции. Значение в точке нужно считать от $f(x)$, а не от $f'(x)$. После нахождения критических точек — всегда возвращайся к исходной функции.

Не проверил смену знака. Если производная равна нулю в точке, но не меняет знак (например, $f'(x) = (x-1)^2 \geq 0$), экстремума там нет. Убеждайся в смене знака, а не просто в обнулении.

Задание 11 ЕГЭ строится на одной идее: производная показывает, где функция растёт, где убывает и где меняет направление. Освоишь алгоритм из 5 шагов на отрезке и научишься читать знаки производной на открытом промежутке — и это задание перестанет отнимать лишнее время.

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

• ← Задание 10: вероятность сложных событий
• → Задание 12: уравнения с отбором

Пригодится для подготовки к части 1:

• Все формулы профильной математики
• Типичные ошибки на ЕГЭ по математике

Частые вопросы