Исследование функции на экстремум

В задании 11 ЕГЭ профиль почти всегда нужно найти точку максимума или минимума функции. Стандартный алгоритм — через первую производную. Если знаешь его на автомате, задача решается за 2-3 минуты. Разберём шаги и потренируемся на типичных примерах.

Что такое экстремум

Локальный максимум функции $f$ в точке $x_0$ — это значение $f(x_0)$, которое больше или равно $f(x)$ во всех точках $x$ из некоторой окрестности $x_0$.

Локальный минимум — аналогично, но «меньше или равно».

Точка экстремума — точка $x_0$ (значение аргумента), в которой функция достигает локального максимума или минимума.

Значение экстремума — само значение функции $f(x_0)$ в этой точке.

В задании 11 ЕГЭ обычно спрашивают точку (то есть $x_0$). В задании 12 — иногда значение функции в этой точке.

Алгоритм нахождения экстремумов

1. Найти производную $f'(x)$.
2. Найти критические точки: приравнять $f'(x) = 0$ и решить уравнение. Также включить точки, в которых производная не существует (если $f$ непрерывна, но производная теряется — например, $|x|$ в нуле).
3. Исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки. Удобно построить «знаки на числовой оси».
4. Определить тип экстремума:
   • Если знак меняется $+ \to -$ — это максимум.
   • Если меняется $- \to +$ — это минимум.
   • Если знак не меняется — критическая точка, но не экстремум (например, в $f(x) = x^3$).

Пример 1: квадратичная функция

Условие. Найди точку минимума функции $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Решение. $f'(x) = 2x - 6$.

Критические точки: $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Знак производной: при $x < 3$, $f'(x) < 0$; при $x > 3$, $f'(x) > 0$. Знак меняется $-$ на $+$ — это минимум.

Ответ: $x = 3$.

Можно также проверить через вторую производную: $f''(x) = 2 > 0$, значит минимум.

Пример 2: кубическая функция

Условие. Найди точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 12x + 7$.

Решение. $f'(x) = 3x^2 - 12$.

$3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Знак производной — это $3(x-2)(x+2)$, парабола вверх с корнями $\pm 2$.

• При $x < -2$: $f'(x) > 0$.
• При $-2 < x < 2$: $f'(x) < 0$.
• При $x > 2$: $f'(x) > 0$.

В точке $x = -2$ знак меняется $+$ на $-$ — максимум.

В точке $x = 2$ знак меняется $-$ на $+$ — минимум.

Ответ: точка максимума $x = -2$, точка минимума $x = 2$.

Пример 3: производная не существует

Условие. Найди точку минимума функции $f(x) = |x - 3|$.

Решение. Производная: $f'(x) = 1$ при $x > 3$, $f'(x) = -1$ при $x < 3$. В точке $x = 3$ производная не существует (излом).

Критические точки: $f'(x) = 0$ нет, но есть точка, где производная не существует — $x = 3$.

В $x = 3$ функция $|x - 3|$ принимает минимальное значение 0. Слева от 3 функция убывает, справа — возрастает.

Ответ: $x = 3$.

Пример 4: функция с дробью

Условие. Найди точку максимума функции $f(x) = (x^2 - 4)/x$ при $x > 0$.

Решение. $f(x) = x - 4/x$.

$f'(x) = 1 + 4/x^2$.

Здесь $f'(x) > 0$ всегда (сумма положительных). Значит функция строго возрастает на $x > 0$, и точек экстремума нет.

Ответ: точек экстремума нет.

В таких задачах ЕГЭ редко даёт «нет экстремумов» — обычно функция выбрана так, чтобы экстремум был. Если получилось «нет», перепроверь производную.

Пример 5: тригонометрия

Условие. Найди точку минимума функции $f(x) = 2x - \sin x$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Решение. $f'(x) = 2 - \cos x$.

$\cos x$ изменяется от $-1$ до $1$, значит $f'(x) = 2 - \cos x$ изменяется от $1$ до $3$. Везде $f'(x) > 0$ — функция строго возрастает.

Минимум на отрезке достигается в левом конце: $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

Пример 6: задание 11 ЕГЭ типичный

Условие. Найди точку максимума функции $y = (3x + 4) e^{-x}$.

Решение. Используем правило произведения и цепочки:

$y' = 3 e^{-x} + (3x + 4)(-e^{-x}) = e^{-x}(3 - 3x - 4) = e^{-x}(-3x - 1)$

$e^{-x} > 0$ всегда, значит знак $y'$ совпадает со знаком $-3x - 1$.

$-3x - 1 = 0 \Rightarrow x = -1/3$.

При $x < -1/3$: $-3x - 1 > 0 \Rightarrow y' > 0$. При $x > -1/3$: $-3x - 1 < 0 \Rightarrow y' < 0$.

Знак меняется $+ \to -$ — максимум.

Ответ: $x = -1/3$.

Через вторую производную

Если первая производная сложна для анализа знаков, можно использовать вторую:

• $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) > 0$ → минимум.
• $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) < 0$ → максимум.
• $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) = 0$ → нужно смотреть глубже (третью производную, изменение знаков).

В Примере 1: $f''(x) = 2 > 0$ — подтверждает минимум.

В Примере 2 для $x = -2$: $f''(x) = 6x$. $f''(-2) = -12 < 0$ — максимум. Для $x = 2$: $f''(2) = 12 > 0$ — минимум. ✓

Пример «не каждая критическая — экстремум»

Условие. $f(x) = x^3$. Найди точки экстремума.

Решение. $f'(x) = 3x^2$. Критическая точка: $x = 0$.

Знак производной: при $x < 0$, $f'(x) > 0$; при $x > 0$, $f'(x) > 0$. Знак не меняется, остаётся положительным с обеих сторон.

Значит $x = 0$ — критическая точка, но не экстремум. Это горизонтальная касательная (точка перегиба).

Ответ: экстремумов нет.

Это важный пример: критическая точка — необходимое, но не достаточное условие экстремума.

Алгоритм решения (компактный)

1. $f'(x) = ?$
2. $f'(x) = 0$ или не существует → критические точки.
3. Расставить знаки $f'$ на числовой оси.
4. Меняется $+ \to -$: max. Меняется $- \to +$: min. Не меняется: не экстремум.
5. (Опционально) Проверить через $f''$.

Частые ошибки

Ошибка 1: думают, что любая критическая точка — экстремум. $f(x) = x^3$ — классический контрпример.

Ошибка 2: путают точку и значение экстремума. Точка — $x$. Значение — $f(x)$. В ЕГЭ читай задание внимательно: «точка максимума» — это $x_0$, не $f(x_0)$.

Ошибка 3: ошибки в производной сложной функции. Особенно в правиле произведения и цепочки. Перепроверь.

Ошибка 4: забывают учесть точки разрыва производной. $|x|$, $\sqrt{x}$ в нуле — критические, хотя $f'(x) = 0$ не выполнено.

Когда в ЕГЭ

В заданиях ЕГЭ профиль:

• Задание 11: «Найдите точку максимума / минимума функции $f(x)$» — стандартная задача через производную.
• Задание 12: «Найдите наибольшее / наименьшее значение функции на отрезке» — близкая тема, требует ещё проверки концов отрезка.

Знание алгоритма исследования экстремумов закрывает большинство задач 11 и часть 12.

Что запомнить

• Алгоритм: $f' \to f'(x) = 0 \to$ знаки на оси $\to$ смена знака.
• $+ \to -$: максимум. $- \to +$: минимум. Без смены: не экстремум.
• Не каждая критическая точка — экстремум ($f(x) = x^3$).
• Через вторую производную: $f''(x_0) > 0$ — минимум, $< 0$ — максимум.
• Точка экстремума — это $x$, а не $f(x)$. В ЕГЭ обычно спрашивают $x$.
• Учитывай точки, где производная не существует (модуль, корень в нуле).