Что такое точка экстремума?

Точка локального максимума или локального минимума функции. Локальный максимум — значение функции в точке больше, чем в её окрестности. Локальный минимум — наоборот.

Как найти точки экстремума?

Алгоритм: 1) найти производную $f'(x)$; 2) приравнять к нулю и найти критические точки; 3) исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки; 4) если знак меняется + → −, это максимум, − → +, это минимум.

Что такое необходимое условие экстремума?

В точке экстремума производная равна нулю или не существует (теорема Ферма). То есть кандидаты в экстремум — только критические точки. Но не каждая критическая точка — экстремум (например, $f(x) = x^3$ в точке $x = 0$).

Что такое достаточное условие?

Если производная меняет знак в критической точке — это экстремум. Если знак не меняется — критическая точка, но не экстремум (точка перегиба или горизонтальная касательная).

Можно ли использовать вторую производную?

Да. Достаточное условие через вторую производную: если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) > 0$ — минимум, если $f''(x_0) < 0$ — максимум. Если $f''(x_0) = 0$ — нужны другие методы.

Чем точка экстремума отличается от значения экстремума?

Точка экстремума — это значение **аргумента** (по оси $x$). Значение экстремума — значение **функции** в этой точке (по оси $y$). В задании 12 ЕГЭ обычно спрашивают точку (то есть $x$).

Исследование функции на экстремум: алгоритм с примерами

Q: Чем точка экстремума отличается от значения экстремума?

Точка экстремума — это значение **аргумента** (по оси $x$). Значение экстремума — значение **функции** в этой точке (по оси $y$). В задании 12 ЕГЭ обычно спрашивают точку (то есть $x$).

В задании 12 ЕГЭ профиль почти всегда нужно исследовать функцию через производную — найти точку максимума или минимума, либо наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Стандартный алгоритм — через первую производную. Если знаешь его на автомате, задача решается за 2-3 минуты. Разберём шаги и потренируемся на типичных примерах: многочленах, дробях, тригонометрических и показательных функциях.

Что такое экстремум

Локальный максимум функции $f$ в точке $x_{0}$ — это значение $f (x_{0})$ , которое больше или равно $f (x)$ во всех точках $x$ из некоторой окрестности $x_{0}$ .

Локальный минимум — аналогично, но «меньше или равно».

Точка экстремума — точка $x_{0}$ (значение аргумента), в которой функция достигает локального максимума или минимума.

Значение экстремума — само значение функции $f (x_{0})$ в этой точке.

Важно с самого начала чётко разделять эти два понятия, потому что на них основана одна из самых частых ошибок. Точка экстремума живёт на горизонтальной оси — это «адрес» по оси $x$ , где функция достигает вершины или впадины. А значение экстремума живёт на вертикальной оси — это «высота» функции в этой точке. Когда в задании спрашивают «точку максимума», нужен именно $x$ ; когда спрашивают «значение функции в точке максимума» или «наибольшее значение», нужен $y$ . Внимательное чтение формулировки экономит баллы.

В задании 12 ЕГЭ обычно спрашивают точку (то есть $x_{0}$ ), а иногда — значение функции в этой точке или наибольшее/наименьшее значение на отрезке. Внимательно читай формулировку: «точка максимума» и «значение функции в точке максимума» — это разные вопросы.

Алгоритм нахождения экстремумов

Найти производную $f^{'} (x)$ .
Найти критические точки: приравнять $f^{'} (x) = 0$ и решить уравнение. Также включить точки, в которых производная не существует (если $f$ непрерывна, но производная теряется — например, $∣ x ∣$ в нуле).
Исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки. Удобно построить «знаки на числовой оси».
Определить тип экстремума:
- Если знак меняется $+ \to -$ — это максимум.
- Если меняется $- \to +$ — это минимум.
- Если знак не меняется — критическая точка, но не экстремум (например, в $f (x) = x^{3}$ ).

Почему алгоритм именно такой? Производная показывает, растёт функция или убывает: где $f^{'} > 0$ , функция идёт вверх, где $f^{'} < 0$ — вниз. Экстремум — это точка «разворота»: функция перестаёт расти и начинает убывать (максимум) или наоборот (минимум). В самой точке разворота касательная горизонтальна, поэтому производная там равна нулю или не существует. А чтобы понять, какой именно это разворот, и смотрят на смену знака производной. Если функция шла вверх, а потом пошла вниз — это вершина, максимум. Если шла вниз, а потом вверх — это дно, минимум. Логика проста и наглядна, если держать в голове картинку «холма» и «впадины».

Пример 1: квадратичная функция (полностью разобран)

Условие. Найди точку минимума функции $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ .

Решение. $f^{'} (x) = 2 x - 6$ .

Критические точки: $2 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ .

Знак производной: при $x < 3$ , $f^{'} (x) < 0$ ; при $x > 3$ , $f^{'} (x) > 0$ . Знак меняется $-$ на $+$ — это минимум.

Ответ: $x = 3$ .

Можно также проверить через вторую производную: $f^{''} (x) = 2 > 0$ , значит минимум.

Пример 2: кубическая функция

У кубической функции, в отличие от квадратичной, может быть сразу два экстремума — максимум и минимум. Это типичная ситуация для многочленов третьей степени, и важно правильно определить тип каждой из двух критических точек по смене знака производной.

Условие. Найди точки экстремума функции $f (x) = x^{3} - 12 x + 7$ .

Решение. $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12$ .

$3 x^{2} - 12 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2$ .

Знак производной — это $3 (x - 2) (x + 2)$ , парабола вверх с корнями $\pm 2$ .

При $x < - 2$ : $f^{'} (x) > 0$ .
При $- 2 < x < 2$ : $f^{'} (x) < 0$ .
При $x > 2$ : $f^{'} (x) > 0$ .

В точке $x = - 2$ знак меняется $+$ на $-$ — максимум.

В точке $x = 2$ знак меняется $-$ на $+$ — минимум.

Ответ: точка максимума $x = - 2$ , точка минимума $x = 2$ .

Пример 3: производная не существует

Этот пример важен, потому что показывает: критические точки — это не только нули производной, но и точки, где производная вообще не существует. Такое бывает у функций с модулем или корнем, где график имеет «излом». В точке излома касательную провести нельзя, производной нет, но экстремум там вполне может быть. Поэтому при поиске критических точек нельзя ограничиваться только уравнением $f^{'} (x) = 0$ — нужно ещё проверять точки, где производная теряется.

Условие. Найди точку минимума функции $f (x) = ∣ x - 3∣$ .

Решение. Производная: $f^{'} (x) = 1$ при $x > 3$ , $f^{'} (x) = - 1$ при $x < 3$ . В точке $x = 3$ производная не существует (излом).

Критические точки: $f^{'} (x) = 0$ нет, но есть точка, где производная не существует — $x = 3$ .

В $x = 3$ функция $∣ x - 3∣$ принимает минимальное значение 0. Слева от 3 функция убывает, справа — возрастает.

Ответ: $x = 3$ .

Пример 4: функция с дробью

Этот пример учит важной вещи: не всегда у функции вообще есть экстремумы. Иногда производная не обращается в ноль ни в одной точке области, и тогда функция монотонна — только растёт или только убывает, без вершин и впадин. На ЕГЭ такая ситуация встречается редко, потому что задачи обычно подбирают так, чтобы экстремум был. Поэтому, если у тебя получилось «экстремумов нет», стоит ещё раз перепроверить производную — возможно, где-то закралась ошибка.

Условие. Найди точку максимума функции $f (x) = (x^{2} - 4) / x$ при $x > 0$ .

Решение. $f (x) = x - 4/ x$ .

$f^{'} (x) = 1 + 4/ x^{2}$ .

Здесь $f^{'} (x) > 0$ всегда (сумма положительных). Значит функция строго возрастает на $x > 0$ , и точек экстремума нет.

Ответ: точек экстремума нет.

В таких задачах ЕГЭ редко даёт «нет экстремумов» — обычно функция выбрана так, чтобы экстремум был. Если получилось «нет», перепроверь производную.

Пример 5: тригонометрия

В тригонометрических задачах часто помогает оценка производной. Если удаётся показать, что производная всюду положительна или всюду отрицательна, то функция монотонна, и экстремум на отрезке достигается на одном из концов. Это избавляет от долгого анализа знаков.

Условие. Найди точку минимума функции $f (x) = 2 x - sin x$ на отрезке $[0; 2 π]$ .

Решение. $f^{'} (x) = 2 - cos x$ .

$cos x$ изменяется от $- 1$ до $1$ , значит $f^{'} (x) = 2 - cos x$ изменяется от $1$ до $3$ . Везде $f^{'} (x) > 0$ — функция строго возрастает.

Минимум на отрезке достигается в левом конце: $x = 0$ .

Ответ: $x = 0$ .

Пример 6: задание 12 ЕГЭ типичный (faded — часть шагов свёрнута)

Условие. Найди точку максимума функции $y = (3 x + 4) e^{- x}$ .

Шаг 1: продифференцируй произведение по правилу $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ и упрости, вынеся общий множитель $e^{- x}$ .

Шаг 1: ответ

y^{'} = 3 e^{- x} + (3 x + 4) (- e^{- x}) = e^{- x} (3 - 3 x - 4) = e^{- x} (- 3 x - 1)

Шаг 2: учти, что $e^{- x} > 0$ всегда, найди критическую точку из условия $- 3 x - 1 = 0$ и определи знак производной слева и справа.

Шаг 2: ответ

Знак

y^{'}

совпадает со знаком

- 3 x - 1

. Критическая точка:

- 3 x - 1 = 0

, то есть

x = - \frac{1}{3}

. При

x < - \frac{1}{3}

y^{'} > 0

; при

x > - \frac{1}{3}

y^{'} < 0

. Знак меняется

+ \to -

— это максимум.

Ответ: $x = - \frac{1}{3}$ .

Приём. Когда функция — произведение на экспоненту, экспонента всегда положительна, поэтому знак производной определяется только многочленным множителем. Это сильно упрощает анализ знаков.

Через вторую производную

Есть альтернативный способ определить тип экстремума — через вторую производную. Он бывает удобнее, когда расставлять знаки первой производной долго или неудобно. Идея в том, что вторая производная отвечает за выгиб графика: если в критической точке график выгнут «улыбкой» (вторая производная положительна), то это дно — минимум; если «шляпой» (вторая производная отрицательна), то это вершина — максимум. Этот признак работает как быстрая проверка: вместо анализа знаков на всей оси достаточно посчитать одно число — значение второй производной в критической точке.

Если первая производная сложна для анализа знаков, можно использовать вторую:

$f^{'} (x_{0}) = 0$ и $f^{''} (x_{0}) > 0$ → минимум.
$f^{'} (x_{0}) = 0$ и $f^{''} (x_{0}) < 0$ → максимум.
$f^{'} (x_{0}) = 0$ и $f^{''} (x_{0}) = 0$ → нужно смотреть глубже (третью производную, изменение знаков).

В Примере 1: $f^{''} (x) = 2 > 0$ — подтверждает минимум.

В Примере 2 для $x = - 2$ : $f^{''} (x) = 6 x$ . $f^{''} (- 2) = - 12 < 0$ — максимум. Для $x = 2$ : $f^{''} (2) = 12 > 0$ — минимум. ✓

Пример «не каждая критическая — экстремум»

Условие. $f (x) = x^{3}$ . Найди точки экстремума.

Решение. $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ . Критическая точка: $x = 0$ .

Знак производной: при $x < 0$ , $f^{'} (x) > 0$ ; при $x > 0$ , $f^{'} (x) > 0$ . Знак не меняется, остаётся положительным с обеих сторон.

Значит $x = 0$ — критическая точка, но не экстремум. Это горизонтальная касательная (точка перегиба).

Ответ: экстремумов нет.

Это важный пример: критическая точка — необходимое, но не достаточное условие экстремума.

Алгоритм решения (компактный)

$f^{'} (x) = ?$
$f^{'} (x) = 0$ или не существует → критические точки.
Расставить знаки $f^{'}$ на числовой оси.
Меняется $+ \to -$ : max. Меняется $- \to +$ : min. Не меняется: не экстремум.
(Опционально) Проверить через $f^{''}$ .

Частые ошибки

Ошибка 1: думают, что любая критическая точка — экстремум. $f (x) = x^{3}$ — классический контрпример.

Ошибка 2: путают точку и значение экстремума. Точка — $x$ . Значение — $f (x)$ . В ЕГЭ читай задание внимательно: «точка максимума» — это $x_{0}$ , не $f (x_{0})$ .

Ошибка 3: ошибки в производной сложной функции. Особенно в правиле произведения и цепочки. Перепроверь.

Ошибка 4: забывают учесть точки разрыва производной. $∣ x ∣$ , $x$ в нуле — критические, хотя $f^{'} (x) = 0$ не выполнено.

Когда в ЕГЭ

Всё это — содержание задания 12 профиля «Наибольшее и наименьшее значение функции», которое по канону ФИПИ целиком посвящено исследованию функции через производную. Формулировки бывают разными: «найдите точку максимума функции», «найдите точку минимума», «найдите наименьшее значение функции на отрезке». Все они решаются одним и тем же базовым алгоритмом — через первую производную и анализ её знаков. Разница лишь в том, что в задачах на отрезке дополнительно проверяют концы отрезка, ведь наибольшее значение может достигаться и там, а не только в критической точке. Поэтому уверенное владение алгоритмом исследования экстремумов закрывает практически всё задание 12.

Прокачай задание 12 ЕГЭ — исследование функций через производную. В Сотах разбор каждой задачи по 7 принципам решения.

Попробовать бесплатно

Связь с другими темами

Исследование на экстремум опирается на уверенное знание производной и правил дифференцирования — без них не найти $f^{'} (x)$ . Тесно связана тема и с наибольшим и наименьшим значением функции: там тот же алгоритм дополняется проверкой концов отрезка. А вторая производная даёт альтернативный способ определять тип экстремума. Вместе эти темы складываются в полный инструментарий для задания 12.

Что запомнить

Алгоритм: найти $f^{'} (x)$ , решить $f^{'} (x) = 0$ , расставить знаки на оси, проверить смену знака.
Смена $+ \to -$ означает максимум, смена $- \to +$ — минимум, без смены экстремума нет.
Не каждая критическая точка — экстремум: у $f (x) = x^{3}$ в нуле знак производной не меняется.
Через вторую производную: $f^{''} (x_{0}) > 0$ даёт минимум, $f^{''} (x_{0}) < 0$ — максимум.
Точка экстремума — это значение $x$ , а не $f (x)$ . В задании 12 обычно спрашивают именно $x$ .
Учитывай точки, где производная не существует: модуль, корень в нуле и подобные.

Исследование функции на экстремум