Исследование функции на экстремум

В задании 12 ЕГЭ профиль почти всегда нужно исследовать функцию через производную — найти точку максимума или минимума, либо наибольшее и наименьшее значение на отрезке. Стандартный алгоритм — через первую производную. Если знаешь его на автомате, задача решается за 2-3 минуты. Разберём шаги и потренируемся на типичных примерах: многочленах, дробях, тригонометрических и показательных функциях.

Что такое экстремум

Локальный максимум функции $f$ в точке $x_0$ — это значение $f(x_0)$, которое больше или равно $f(x)$ во всех точках $x$ из некоторой окрестности $x_0$.

Локальный минимум — аналогично, но «меньше или равно».

Точка экстремума — точка $x_0$ (значение аргумента), в которой функция достигает локального максимума или минимума.

Значение экстремума — само значение функции $f(x_0)$ в этой точке.

Важно с самого начала чётко разделять эти два понятия, потому что на них основана одна из самых частых ошибок. Точка экстремума живёт на горизонтальной оси — это «адрес» по оси $x$, где функция достигает вершины или впадины. А значение экстремума живёт на вертикальной оси — это «высота» функции в этой точке. Когда в задании спрашивают «точку максимума», нужен именно $x$; когда спрашивают «значение функции в точке максимума» или «наибольшее значение», нужен $y$. Внимательное чтение формулировки экономит баллы.

В задании 12 ЕГЭ обычно спрашивают точку (то есть $x_0$), а иногда — значение функции в этой точке или наибольшее/наименьшее значение на отрезке. Внимательно читай формулировку: «точка максимума» и «значение функции в точке максимума» — это разные вопросы.

Алгоритм нахождения экстремумов

1. Найти производную $f'(x)$.
2. Найти критические точки: приравнять $f'(x) = 0$ и решить уравнение. Также включить точки, в которых производная не существует (если $f$ непрерывна, но производная теряется — например, $|x|$ в нуле).
3. Исследовать знак производной в окрестности каждой критической точки. Удобно построить «знаки на числовой оси».
4. Определить тип экстремума:
   • Если знак меняется $+ \to -$ — это максимум.
   • Если меняется $- \to +$ — это минимум.
   • Если знак не меняется — критическая точка, но не экстремум (например, в $f(x) = x^3$).

Почему алгоритм именно такой? Производная показывает, растёт функция или убывает: где $f' > 0$, функция идёт вверх, где $f' < 0$ — вниз. Экстремум — это точка «разворота»: функция перестаёт расти и начинает убывать (максимум) или наоборот (минимум). В самой точке разворота касательная горизонтальна, поэтому производная там равна нулю или не существует. А чтобы понять, какой именно это разворот, и смотрят на смену знака производной. Если функция шла вверх, а потом пошла вниз — это вершина, максимум. Если шла вниз, а потом вверх — это дно, минимум. Логика проста и наглядна, если держать в голове картинку «холма» и «впадины».

Пример 1: квадратичная функция (полностью разобран)

Условие. Найди точку минимума функции $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Решение. $f'(x) = 2x - 6$.

Критические точки: $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$.

Знак производной: при $x < 3$, $f'(x) < 0$; при $x > 3$, $f'(x) > 0$. Знак меняется $-$ на $+$ — это минимум.

Ответ: $x = 3$.

Можно также проверить через вторую производную: $f''(x) = 2 > 0$, значит минимум.

Пример 2: кубическая функция

У кубической функции, в отличие от квадратичной, может быть сразу два экстремума — максимум и минимум. Это типичная ситуация для многочленов третьей степени, и важно правильно определить тип каждой из двух критических точек по смене знака производной.

Условие. Найди точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 12x + 7$.

Решение. $f'(x) = 3x^2 - 12$.

$3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$.

Знак производной — это $3(x-2)(x+2)$, парабола вверх с корнями $\pm 2$.

• При $x < -2$: $f'(x) > 0$.
• При $-2 < x < 2$: $f'(x) < 0$.
• При $x > 2$: $f'(x) > 0$.

В точке $x = -2$ знак меняется $+$ на $-$ — максимум.

В точке $x = 2$ знак меняется $-$ на $+$ — минимум.

Ответ: точка максимума $x = -2$, точка минимума $x = 2$.

Пример 3: производная не существует

Этот пример важен, потому что показывает: критические точки — это не только нули производной, но и точки, где производная вообще не существует. Такое бывает у функций с модулем или корнем, где график имеет «излом». В точке излома касательную провести нельзя, производной нет, но экстремум там вполне может быть. Поэтому при поиске критических точек нельзя ограничиваться только уравнением $f'(x) = 0$ — нужно ещё проверять точки, где производная теряется.

Условие. Найди точку минимума функции $f(x) = |x - 3|$.

Решение. Производная: $f'(x) = 1$ при $x > 3$, $f'(x) = -1$ при $x < 3$. В точке $x = 3$ производная не существует (излом).

Критические точки: $f'(x) = 0$ нет, но есть точка, где производная не существует — $x = 3$.

В $x = 3$ функция $|x - 3|$ принимает минимальное значение 0. Слева от 3 функция убывает, справа — возрастает.

Ответ: $x = 3$.

Пример 4: функция с дробью

Этот пример учит важной вещи: не всегда у функции вообще есть экстремумы. Иногда производная не обращается в ноль ни в одной точке области, и тогда функция монотонна — только растёт или только убывает, без вершин и впадин. На ЕГЭ такая ситуация встречается редко, потому что задачи обычно подбирают так, чтобы экстремум был. Поэтому, если у тебя получилось «экстремумов нет», стоит ещё раз перепроверить производную — возможно, где-то закралась ошибка.

Условие. Найди точку максимума функции $f(x) = (x^2 - 4)/x$ при $x > 0$.

Решение. $f(x) = x - 4/x$.

$f'(x) = 1 + 4/x^2$.

Здесь $f'(x) > 0$ всегда (сумма положительных). Значит функция строго возрастает на $x > 0$, и точек экстремума нет.

Ответ: точек экстремума нет.

В таких задачах ЕГЭ редко даёт «нет экстремумов» — обычно функция выбрана так, чтобы экстремум был. Если получилось «нет», перепроверь производную.

Пример 5: тригонометрия

В тригонометрических задачах часто помогает оценка производной. Если удаётся показать, что производная всюду положительна или всюду отрицательна, то функция монотонна, и экстремум на отрезке достигается на одном из концов. Это избавляет от долгого анализа знаков.

Условие. Найди точку минимума функции $f(x) = 2x - \sin x$ на отрезке $[0; 2\pi]$.

Решение. $f'(x) = 2 - \cos x$.

$\cos x$ изменяется от $-1$ до $1$, значит $f'(x) = 2 - \cos x$ изменяется от $1$ до $3$. Везде $f'(x) > 0$ — функция строго возрастает.

Минимум на отрезке достигается в левом конце: $x = 0$.

Ответ: $x = 0$.

Пример 6: задание 12 ЕГЭ типичный (faded — часть шагов свёрнута)

Условие. Найди точку максимума функции $y = (3x + 4) e^{-x}$.

Шаг 1: продифференцируй произведение по правилу $(uv)' = u'v + uv'$ и упрости, вынеся общий множитель $e^{-x}$.

Шаг 2: учти, что $e^{-x} > 0$ всегда, найди критическую точку из условия $-3x - 1 = 0$ и определи знак производной слева и справа.

Ответ: $x = -\dfrac{1}{3}$.

Приём. Когда функция — произведение на экспоненту, экспонента всегда положительна, поэтому знак производной определяется только многочленным множителем. Это сильно упрощает анализ знаков.

Через вторую производную

Есть альтернативный способ определить тип экстремума — через вторую производную. Он бывает удобнее, когда расставлять знаки первой производной долго или неудобно. Идея в том, что вторая производная отвечает за выгиб графика: если в критической точке график выгнут «улыбкой» (вторая производная положительна), то это дно — минимум; если «шляпой» (вторая производная отрицательна), то это вершина — максимум. Этот признак работает как быстрая проверка: вместо анализа знаков на всей оси достаточно посчитать одно число — значение второй производной в критической точке.

Если первая производная сложна для анализа знаков, можно использовать вторую:

• $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) > 0$ → минимум.
• $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) < 0$ → максимум.
• $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) = 0$ → нужно смотреть глубже (третью производную, изменение знаков).

В Примере 1: $f''(x) = 2 > 0$ — подтверждает минимум.

В Примере 2 для $x = -2$: $f''(x) = 6x$. $f''(-2) = -12 < 0$ — максимум. Для $x = 2$: $f''(2) = 12 > 0$ — минимум. ✓

Пример «не каждая критическая — экстремум»

Условие. $f(x) = x^3$. Найди точки экстремума.

Решение. $f'(x) = 3x^2$. Критическая точка: $x = 0$.

Знак производной: при $x < 0$, $f'(x) > 0$; при $x > 0$, $f'(x) > 0$. Знак не меняется, остаётся положительным с обеих сторон.

Значит $x = 0$ — критическая точка, но не экстремум. Это горизонтальная касательная (точка перегиба).

Ответ: экстремумов нет.

Это важный пример: критическая точка — необходимое, но не достаточное условие экстремума.

Алгоритм решения (компактный)

1. $f'(x) = ?$
2. $f'(x) = 0$ или не существует → критические точки.
3. Расставить знаки $f'$ на числовой оси.
4. Меняется $+ \to -$: max. Меняется $- \to +$: min. Не меняется: не экстремум.
5. (Опционально) Проверить через $f''$.

Частые ошибки

Ошибка 1: думают, что любая критическая точка — экстремум. $f(x) = x^3$ — классический контрпример.

Ошибка 2: путают точку и значение экстремума. Точка — $x$. Значение — $f(x)$. В ЕГЭ читай задание внимательно: «точка максимума» — это $x_0$, не $f(x_0)$.

Ошибка 3: ошибки в производной сложной функции. Особенно в правиле произведения и цепочки. Перепроверь.

Ошибка 4: забывают учесть точки разрыва производной. $|x|$, $\sqrt{x}$ в нуле — критические, хотя $f'(x) = 0$ не выполнено.

Когда в ЕГЭ

Всё это — содержание задания 12 профиля «Наибольшее и наименьшее значение функции», которое по канону ФИПИ целиком посвящено исследованию функции через производную. Формулировки бывают разными: «найдите точку максимума функции», «найдите точку минимума», «найдите наименьшее значение функции на отрезке». Все они решаются одним и тем же базовым алгоритмом — через первую производную и анализ её знаков. Разница лишь в том, что в задачах на отрезке дополнительно проверяют концы отрезка, ведь наибольшее значение может достигаться и там, а не только в критической точке. Поэтому уверенное владение алгоритмом исследования экстремумов закрывает практически всё задание 12.

Связь с другими темами

Исследование на экстремум опирается на уверенное знание производной и правил дифференцирования — без них не найти $f'(x)$. Тесно связана тема и с наибольшим и наименьшим значением функции: там тот же алгоритм дополняется проверкой концов отрезка. А вторая производная даёт альтернативный способ определять тип экстремума. Вместе эти темы складываются в полный инструментарий для задания 12.

Что запомнить

• Алгоритм: найти $f'(x)$, решить $f'(x) = 0$, расставить знаки на оси, проверить смену знака.
• Смена $+ \to -$ означает максимум, смена $- \to +$ — минимум, без смены экстремума нет.
• Не каждая критическая точка — экстремум: у $f(x) = x^3$ в нуле знак производной не меняется.
• Через вторую производную: $f''(x_0) > 0$ даёт минимум, $f''(x_0) < 0$ — максимум.
• Точка экстремума — это значение $x$, а не $f(x)$. В задании 12 обычно спрашивают именно $x$.
• Учитывай точки, где производная не существует: модуль, корень в нуле и подобные.