Наибольшее и наименьшее значение функции — алгоритм ЕГЭ

Задание 11 ЕГЭ — найти наибольшее или наименьшее значение функции. Алгоритм всегда один: берём производную, находим критические точки, сравниваем значения функции в них и на концах отрезка. Разберём все типы: многочлен, дробь, корень, экспонента, логарифм.

Постановка задачи

На ЕГЭ в задании 11 встречается несколько формулировок:

• найти наибольшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$;
• найти наименьшее значение функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$;
• найти точку максимума (значение аргумента $x$, в которой функция наибольшая);
• найти точку минимума.

Все четыре задачи решаются одним алгоритмом через производную. Различается только, что писать в ответ — само значение функции или точку (аргумент).

Связь с производной

Согласно теореме Ферма: если функция дифференцируема в точке $x_0$ и достигает в ней локального экстремума, то $f^{\prime }(x_0)=0$.

Это значит: точки локального экстремума лежат среди точек, где производная равна нулю или не существует. Такие точки называются критическими.

Обратное не всегда верно: $f^{\prime }(x_0)=0$ не гарантирует экстремум. Например, у $f(x)=x^3$ в нуле $f^{\prime }(0)=0$, но экстремума нет. Для проверки нужна смена знака производной.

Алгоритм на отрезке $[a;b]$

1. Найди производную $f^{\prime }(x)$.
2. Реши уравнение $f^{\prime }(x)=0$.
3. Отбери корни, лежащие внутри отрезка $(a;b)$ — это критические точки.
4. Отдельно рассмотри точки, где производная не существует (если они есть) — они тоже критические.
5. Вычисли значения функции в критических точках и на концах отрезка: $f(a)$, $f(x_1)$, $f(x_2)$, …, $f(b)$.
6. Наибольшее из полученных чисел — искомое наибольшее значение. Наименьшее — наименьшее.

Алгоритм на интервале / луче

Если отрезок незамкнутый (например, $(0;+\infty )$ или $(a;b)$ — с круглыми скобками), наибольшее или наименьшее значение может не достигаться. Всё равно:

1. Находишь критические точки внутри интервала.
2. Исследуешь поведение функции в окрестности — монотонность и знаки производной.
3. Проверяешь пределы на концах интервала (${\lim }_{x\to a^{+}}$, ${\lim }_{x\to b^{-}}$) — они могут быть конечными или бесконечными.

Если в интервале есть единственный максимум (или минимум) и функция стремится к меньшим значениям на концах — максимум достигается. Если функция неограниченно растёт — максимума нет.

Критические точки

Критическая точка — это точка, где $f^{\prime }(x)=0$ или где $f^{\prime }(x)$ не определена (но сама $f(x)$ определена).

Примеры, где $f^{\prime }$ не существует:

• Точка возврата (острие): $y=|x|$ в $x=0$.
• Вертикальная касательная: $y=\sqrt[3]{x}$ в $x=0$ (производная $\to \infty$).
• Скачок функции: для кусочно-заданных функций в точке склейки.

На ЕГЭ в задании 11 чаще всего функция всюду дифференцируема, и все критические точки находятся из $f^{\prime }(x)=0$.

Достаточные условия max/min

Условие первой производной. Если в окрестности критической точки $x_0$:

• $f^{\prime }(x)$ меняет знак с $+$ на $-$ при переходе через $x_0$ — это максимум;
• $f^{\prime }(x)$ меняет знак с $-$ на $+$ — это минимум;
• знак не меняется — экстремума нет.

Условие второй производной. Если $f^{\prime }(x_0)=0$ и $f^{\prime \prime }(x_0)$ существует:

• $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ — это максимум;
• $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ — это минимум.

На ЕГЭ удобнее первое условие — оно работает во всех случаях, тогда как вторая производная может быть нулём.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Найди наибольшее значение функции $f(x)=x^3-3x+1$ на отрезке $[0;2]$.

Решение. Производная:

$f^{\prime }(x)=3x^2-3$

Уравнение $f^{\prime }(x)=0$:

$3x^2-3=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

Внутри отрезка $[0;2]$ лежит только $x=1$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах:

• $f(0)=0-0+1=1$;
• $f(1)=1-3+1=-1$;
• $f(2)=8-6+1=3$.

Наибольшее из $\{1;-1;3\}$ — это $3$.

Ответ: наибольшее значение равно $3$ (достигается в $x=2$).

Типичная ошибка. Забыть посчитать $f$ на концах отрезка. Без концов ответ был бы $-1$ (минимум в критической точке), что неверно.

Пример 2 (уровень Б). Найди наименьшее значение функции $f(x)=\frac{x^2+1}{x}$ на интервале $(0;+\infty )$.

Решение. Представим функцию как $f(x)=x+\frac{1}{x}$. Производная:

$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}$

Приравняем к нулю:

$1-\frac{1}{x^2}=0\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm 1$

В интервале $(0;+\infty )$ лежит только $x=1$.

Исследуем знак $f^{\prime }$:

• При $x\in (0;1)$: $f^{\prime }(x)<0$ (убывает);
• При $x\in (1;+\infty )$: $f^{\prime }(x)>0$ (возрастает).

Значит в $x=1$ — минимум.

Значение: $f(1)=1+1=2$.

Проверяем, действительно ли это глобальный минимум: на $(0;1)$ убывает, значит $f>f(1)=2$; на $(1;+\infty )$ возрастает, значит $f>f(1)=2$. Глобальный минимум — 2.

Ответ: наименьшее значение равно $2$.

Типичная ошибка. Забыть проверить знак производной и предположить, что раз точка критическая — это автоматически минимум. Смена знака $f^{\prime }$ — обязательный шаг.

Пример 3 (уровень В). Найди наибольшее значение функции $f(x)=e^x(x-1)$ на отрезке $[-1;2]$.

Решение. Производная (по правилу Лейбница):

$f^{\prime }(x)=e^x(x-1)+e^x\cdot 1=e^x(x-1+1)=e^x\cdot x$

Приравняем к нулю: $e^x\cdot x=0$. Так как $e^x>0$ всегда, условие сводится к $x=0$.

$x=0$ лежит в $[-1;2]$ — это критическая точка.

Значения:

• $f(-1)=e^{-1}(-1-1)=-2e^{-1}\approx -0,736$;
• $f(0)=e^0\cdot (0-1)=1\cdot (-1)=-1$;
• $f(2)=e^2\cdot (2-1)=e^2\approx 7,389$.

Наибольшее — $e^2$ в точке $x=2$.

Ответ: наибольшее значение равно $e^2$.

Типичная ошибка. Не заметить, что $e^x$ никогда не обращается в ноль, и искать решения уравнения $e^x=0$. Такое уравнение не имеет действительных корней, $e^x>0$ всегда.

Типичные ошибки

1. Забывать проверять концы отрезка. Наибольшее или наименьшее значение может достигаться на конце. Пропустишь — получишь неверный ответ.
2. Путать точку экстремума со значением экстремума. В условии внимательно читай: просят «точку максимума» (аргумент $x$) или «максимум функции» (значение $y$).
3. Ошибаться в производной. Классическая ошибка — в сложной функции, где нужно умножить на производную внутренней. В примере $e^x(x-1)$ — правило произведения, не забывай оба слагаемых.
4. Не исследовать знак производной. Просто приравнять $f^{\prime }(x)=0$ — недостаточно. Нужно проверить, что в этой точке действительно экстремум.
5. Упускать точки недифференцируемости. Если функция имеет вид $|x|$, $\sqrt{x}$, кусочно-заданная — могут быть критические точки, где производная не существует, и их тоже надо проверять.

Связь с другими темами

• Производная — фундамент этой темы. Без уверенного владения производной задачу не решить.
• Таблица производных — формулы нужны на каждом шаге.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 11 (исследование функции) — основной номер. Формулировки «найди наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке» встречаются почти в каждом варианте. 2 балла за полное решение.