Производная — определение, смысл и правила дифференцирования

Производная — не абстрактный математический объект, а инструмент для двух задач на ЕГЭ: найти тангенс угла касательной (задание 8) и исследовать функцию на экстремумы (задание 12). Разберём определение, смысл и все правила, которые нужны в части 1 и части 2.

Определение производной

Производной функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$f^{\prime }(x_0)={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

Расшифровка:

• $\Delta x$ — приращение аргумента (малое число, которое потом стремится к нулю);
• $f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ — приращение функции на этом же промежутке;
• отношение — средняя скорость изменения функции на промежутке;
• предел этой средней скорости при $\Delta x\to 0$ — мгновенная скорость в точке $x_0$.

Если производная существует в точке, функция называется дифференцируемой в этой точке. Если она существует во всех точках некоторого промежутка — функция дифференцируема на промежутке.

На ЕГЭ задачи «найти производную по определению» почти не встречаются — применяют таблицу производных и правила. Но понимание определения важно, потому что и геометрический, и физический смыслы вытекают именно из него.

Геометрический смысл

Производная функции $f$ в точке $x_0$ равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке $(x_0;f(x_0))$:

$f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha$

где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $OX$.

Это главная формула для задания 8. В задании часто дают график функции и просят найти производную в конкретной точке — ты находишь наклон касательной прямо по графику.

Физический смысл

Если функция $s(t)$ задаёт зависимость пути от времени, то её производная $s^{\prime }(t)=v(t)$ — это мгновенная скорость в момент времени $t$. Производная скорости, в свою очередь, — это ускорение: $v^{\prime }(t)=a(t)$.

Этот смысл полезен для понимания: производная показывает, как быстро одна величина меняется, когда меняется другая.

На ЕГЭ физический смысл напрямую встречается редко, но в задании 12 при поиске экстремумов он помогает интерпретировать ответ: если $f^{\prime }(x_0)=0$ и функция после этой точки убывает — значит «скорость остановилась и пошла в минус», то есть мы в точке максимума.

Правила дифференцирования

Вместо подсчёта предела для каждой функции применяют правила и таблицу. Вот пять ключевых правил.

Правило 1. Производная константы. $(c{)}^{\prime }=0$.

Правило 2. Производная суммы и разности. $(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$. Производная суммы равна сумме производных.

Правило 3. Производная произведения (правило Лейбница). $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$. Здесь $u^{\prime }{v}^{\prime }$ уже не работает — запоминай.

Правило 4. Производная частного. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ при $v\ne 0$.

Правило 5. Производная сложной функции (цепное правило). Если $y=f(g(x))$, то $y^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$. Производная внешней функции умножается на производную внутренней.

Константу можно выносить: $(cu{)}^{\prime }=c{u}^{\prime }$. Это следствие правила Лейбница, так как $(c{)}^{\prime }=0$.

Таблица производных основных функций

Вот восемь базовых формул. Их нужно знать наизусть.

Полная таблица со всеми функциями есть в отдельной теме — таблица производных.

Алгоритм нахождения производной

1. Посмотри на функцию: это сумма, произведение, частное или сложная функция?
2. Для суммы — дифференцируешь каждое слагаемое отдельно.
3. Для произведения — применяешь правило Лейбница.
4. Для частного — правило частного.
5. Для сложной функции — внешняя производная, умноженная на внутреннюю.
6. Замени каждую элементарную функцию её табличной производной.
7. Упрости результат.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Найди производную функции $f(x)=3x^2-5x+7$.

Решение. Это сумма трёх слагаемых. Дифференцируем каждое:

• $(3x^2{)}^{\prime }=3\cdot 2x=6x$ — вынесли константу, применили формулу $(x^n{)}^{\prime }$;
• $(-5x{)}^{\prime }=-5$ — производная $x$ равна 1, константу вынесли;
• $(7{)}^{\prime }=0$ — производная константы равна нулю.

Складываем:

$f^{\prime }(x)=6x-5$

Ответ: $f^{\prime }(x)=6x-5$.

Типичная ошибка. Забыть, что производная константы равна нулю — оставить $+7$ в ответе.

Пример 2 (уровень Б). Найди производную функции $f(x)=(2x+1)\cos x$.

Решение. Это произведение двух функций. Обозначим $u=2x+1$, $v=\cos x$. Тогда $u^{\prime }=2$, $v^{\prime }=-\sin x$. Применяем правило Лейбница:

$f^{\prime }(x)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }=2\cos x+(2x+1)(-\sin x)=2\cos x-(2x+1)\sin x$

Ответ: $f^{\prime }(x)=2\cos x-(2x+1)\sin x$.

Типичная ошибка. Написать $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }{v}^{\prime }$, то есть $2\cdot (-\sin x)=-2\sin x$. Это неверно — правило Лейбница включает оба слагаемых.

Пример 3 (уровень В). Найди производную функции $f(x)=\sin (x^2+1)$.

Решение. Это сложная функция: внешняя — $\sin (\cdot )$, внутренняя — $x^2+1$. По правилу сложной функции:

$f^{\prime }(x)=\cos (x^2+1)\cdot (x^2+1{)}^{\prime }=\cos (x^2+1)\cdot 2x$

Ответ: $f^{\prime }(x)=2x\cos (x^2+1)$.

Типичная ошибка. Забыть умножить на производную внутренней функции — написать только $\cos (x^2+1)$. Это потеря балла и в задании 8, и в задании 12.

Типичные ошибки

1. Забывать производную внутренней функции в сложной функции. $(\sin (3x){)}^{\prime }=3\cos (3x)$, а не $\cos (3x)$. Если внутренняя функция $3x$ — её производная $3$, и она обязательна в ответе.
2. Путать правило произведения с произведением производных. Запомни: $(uv{)}^{\prime }\ne u^{\prime }{v}^{\prime }$. Правильно — $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$.
3. Ошибаться в знаках синуса и косинуса. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$ (без минуса), $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$ (с минусом). Путаница этих знаков — самая частая ошибка в задании 12.
4. Забывать ОДЗ при дифференцировании. Производная $\ln x$ определена только при $x>0$. Производная $\sqrt{x}$ не определена при $x=0$. При исследовании функции эти точки проверяй отдельно.
5. Не упрощать ответ. Производная может выглядеть громоздко сразу после правил. Если есть одинаковые множители — сокращай, иначе в дальнейшем решении будет больше шансов ошибиться.

Связь с другими темами

• Таблица производных — полный набор формул для всех элементарных функций. Эту таблицу нужно знать наизусть.
• Наибольшее и наименьшее значение функции — типичная задача задания 11, где производная — главный инструмент.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Производная по графику (задание 8) — по графику функции найти производную в точке или наоборот. Геометрический смысл производной применяется напрямую.
• Исследование функции (задание 12) — найти наибольшее или наименьшее значение функции, точку максимума или минимума. Алгоритм: производная → критические точки → анализ знака.