Разбор задания 10 ЕГЭ: формула Бернулли, «хотя бы один», несовместные и независимые события. Полный алгоритм и примеры.

Что отличает задание 10 ЕГЭ от заданий 2 и 4

В первой части профильного ЕГЭ вероятность встречается трижды. Задания 2 и 4 работают с классическими схемами: урна с шарами, таблица частот, простая дробь. Задание 10 устроено иначе.

Здесь проводится несколько однотипных испытаний — и тебя спрашивают о результате серии. Подбрасывают монету десять раз, спрашивают, какова вероятность ровно трёх орлов. Проверяют детали на конвейере, спрашивают, какова вероятность хотя бы одного брака. Стреляют по мишени пять раз, спрашивают, что хотя бы дважды попадут в цель.

Математический аппарат здесь другой. Задание 10 ЕГЭ требует двух формул: формулы Бернулли для точного числа успехов и формулы дополнения для шаблона «хотя бы один». За правильный ответ начисляется 1 первичный балл.

Разберём обе формулы по шагам, а потом разберём полный пример от условия до ответа.

Формула Бернулли

Представь, что проводится nn независимых испытаний. В каждом из них событие AA наступает с вероятностью pp, а не наступает с вероятностью q=1−pq = 1 - p. Испытания независимы: результат предыдущего не влияет на следующее.

Вероятность того, что событие AA наступит ровно kk раз из nn, считается по формуле:

Pn(k)=Cnk⋅pk⋅qn−kP_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}

Здесь CnkC_n^k — биномиальный коэффициент, число способов выбрать kk испытаний из nn:

Cnk=n!k!⋅(n−k)!C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}

Разберём каждый множитель отдельно.

CnkC_n^k отвечает на вопрос: сколькими способами можно распределить kk «успешных» испытаний по nn позициям? Если подбрасывают монету 5 раз и нужно ровно 2 орла, таких распределений C52=10C_5^2 = 10.

pkp^k — вероятность того, что в kk выбранных испытаниях событие наступит.

qn−kq^{n-k} — вероятность того, что в оставшихся n−kn-k испытаниях событие не наступит.

Произведение трёх множителей даёт вероятность конкретного исхода с ровно kk успехами.

Шаблон «хотя бы один»

Второй сценарий задания 10 ЕГЭ — вопрос вида «какова вероятность, что хотя бы один раз событие наступит». Считать его через формулу Бернулли напрямую неудобно: нужно складывать вероятности Pn(1)+Pn(2)+…+Pn(n)P_n(1) + P_n(2) + \ldots + P_n(n).

Гораздо быстрее использовать вероятность дополнения.

Противоположное событие «хотя бы одному» — это «ни разу». Вероятность того, что событие не наступит ни разу в nn испытаниях, это qnq^n (каждое из nn испытаний неуспешно).

Тогда:

P(хотя бы один)=1−qnP(\text{хотя бы один}) = 1 - q^n

Алгоритм в три шага:

  1. Найди вероятность неуспеха в одном испытании: q=1−pq = 1 - p.
  2. Возведи в степень nn: qnq^n — это вероятность нуля успехов.
  3. Вычти из единицы: 1−qn1 - q^n.

Этот шаблон работает всегда, когда в условии стоит «хотя бы один», «не менее одного», «хотя бы раз».

Хочешь увидеть свой уровень по теории вероятностей прямо сейчас? Пройди диагностику — Соты покажут, где пробел, и выстроят твою личную траекторию.

Полный пример

Разберём два задания целиком — от прочтения условия до записи ответа.

Пример 1. Формула Бернулли (точное число успехов)

Условие. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,2. Проверяют 5 деталей. Найдите вероятность того, что ровно 2 детали окажутся бракованными.

Решение.

Определяем параметры: n=5n = 5, k=2k = 2, p=0,2p = 0{,}2, q=1−0,2=0,8q = 1 - 0{,}2 = 0{,}8.

Считаем биномиальный коэффициент:

C52=5!2!⋅3!=5⋅42⋅1=10C_5^2 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10

Подставляем в формулу Бернулли:

P5(2)=10⋅(0,2)2⋅(0,8)3=10⋅0,04⋅0,512=0,2048P_5(2) = 10 \cdot (0{,}2)^2 \cdot (0{,}8)^3 = 10 \cdot 0{,}04 \cdot 0{,}512 = 0{,}2048

Ответ: 0,2048.

Пример 2. Шаблон «хотя бы один»

Условие. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,7. Сделано 4 выстрела. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз стрелок попадёт в мишень.

Решение.

Здесь работает шаблон дополнения. p=0,7p = 0{,}7, q=0,3q = 0{,}3, n=4n = 4.

Вероятность нуля попаданий:

qn=(0,3)4=0,0081q^n = (0{,}3)^4 = 0{,}0081

Вероятность хотя бы одного попадания:

P=1−0,0081=0,9919P = 1 - 0{,}0081 = 0{,}9919

Ответ: 0,9919.

Частые ошибки

Путают nn и kk. Задание 10 ЕГЭ всегда прямо говорит, сколько испытаний проводится и сколько успехов нужно найти. Прежде чем подставлять, выпиши оба числа отдельно.

Забывают CnkC_n^k и считают только pk⋅qn−kp^k \cdot q^{n-k}. Биномиальный коэффициент учитывает все возможные расстановки успехов по испытаниям. Без него ответ занижен в CnkC_n^k раз.

В шаблоне «хотя бы один» берут pnp^n вместо qnq^n. Дополнение к «хотя бы одному» — это ноль успехов. Ноль успехов — это nn неудач, каждая с вероятностью qq. Используй qq, а не pp.

Округляют промежуточные вычисления. В задании 10 профиль ответ часто требуется записать с точностью до четырёх знаков после запятой. Округляй только финальный ответ, промежуточные значения считай точно.

Применяют формулу Бернулли там, где испытания зависимы. Классический пример: вытаскивают шары из урны без возврата. Здесь каждый раз состав урны меняется, испытания зависимы, формула Бернулли не работает. Используй комбинаторику.

Как тренировать задание 10 ЕГЭ

Задание 10 профиль сводится к двум сценариям: точное число успехов и «хотя бы один». Тренируй их отдельно, пока каждый не работает автоматически.

Первый блок: 10 задач только на формулу Бернулли с разными nn и kk. Считай CnkC_n^k сначала через факториалы, потом — напрямую через треугольник Паскаля, чтобы понять, откуда берутся числа.

Второй блок: 10 задач только на «хотя бы один». Здесь скорость растёт быстро: шаблон всегда один и тот же, меняются только цифры.

Третий блок: смешанные задачи, где нужно сначала определить сценарий по ключевым словам условия. «Ровно kk раз» — Бернулли. «Хотя бы один» / «не менее одного» — дополнение.

На разбор задания 10 в экзамене уходит 2–3 минуты при хорошей подготовке. Если ты сейчас тратишь больше пяти, задача — довести скорость до нормы через повторяющиеся блоки тренировки, а не через чтение теории.

Смежные темы, которые помогут закрепить понимание:

Смотри такжеВсе формулы профильной математики ЕГЭ Смотри такжеТипичные ошибки ЕГЭ по математике

Все разборы заданий ЕГЭ по математике

Это разбор одного из 19 заданий профильного ЕГЭ. Посмотри полный гид по всем заданиям с темами и баллами — удобно использовать как карту подготовки.

Соседние задания по порядку в работе:

Пригодится для подготовки к части 1:

Частые вопросы

Сколько баллов даёт задание 10 ЕГЭ?

За задание 10 начисляется 1 первичный балл. Это задание первой части с кратким ответом, частичных баллов нет. Каждый первичный балл первой части прибавляет примерно 2–3 вторичных, поэтому даже одиночные задания стоит закрывать уверенно.

Что такое формула Бернулли простыми словами?

Формула Бернулли считает вероятность ровно kk успехов в nn независимых одинаковых испытаниях. Если монету подбрасывают 8 раз и интересует вероятность ровно 3 орлов — это задача Бернулли. Три множителя формулы отвечают на три вопроса: сколькими способами можно разместить kk успехов (CnkC_n^k), какова вероятность успехов (pkp^k) и какова вероятность неудач (qn−kq^{n-k}).

Когда применять шаблон «хотя бы один»?

Всегда, когда в условии стоит «хотя бы один раз», «хотя бы однажды», «не менее одного». В этих случаях используй дополнение: вычти из единицы вероятность полного нуля успехов (qnq^n). Это быстрее и надёжнее, чем складывать несколько значений формулы Бернулли.

Можно ли решить задание 10 без комбинаторики?

В случае «хотя бы один» — да, комбинаторика не нужна, используй шаблон 1−qn1 - q^n. В случае точного числа успехов без CnkC_n^k не обойтись. Но сам CnkC_n^k считается по простой формуле через факториалы и для небольших nn и kk не занимает больше минуты.

Как эффективно тренировать задание 10 ЕГЭ?

Разбей тренировку на три блока: сначала только точное число успехов по формуле Бернулли, потом только «хотя бы один» через дополнение, затем смешанные задачи с определением сценария по тексту. Так каждый шаблон закрепляется отдельно, и путаница между ними исчезает. Соты подбирают задание 10 профиль в адаптивной очерёдности — платформа сама повысит сложность, когда базовые задачи пойдут уверенно.