Угол между плоскостями в стереометрии

Угол между плоскостями — одна из самых частых тем задания 14. Разберём, как строить линейный угол двугранного угла и три рабочих метода.

Что такое двугранный угол

Двугранный угол — это фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей граничной прямой (ребром). Именно этот угол измеряет «наклон» одной плоскости к другой.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется как наименьший из двух двугранных углов, которые эти плоскости образуют. Он лежит в диапазоне от $0°$ до $90°$.

Чтобы измерить двугранный угол, нужно построить его линейный угол: взять точку на ребре и провести из неё два луча — по одному в каждую полуплоскость — перпендикулярно ребру. Угол между этими лучами и есть линейный угол двугранного угла.

Теорема трёх перпендикуляров

Эта теорема — главный инструмент для доказательства того, что построенный угол действительно является линейным.

Теорема трёх перпендикуляров. Если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и перпендикулярна проекции прямой $b$ на плоскость $\alpha$, то прямая $a$ перпендикулярна и прямой $b$.

Разберём, что это означает на практике. Пусть есть плоскость $\alpha$ и прямая $b$, которая к ней не перпендикулярна. Проекция $b'$ прямой $b$ на плоскость $\alpha$ — это «тень» $b$ на $\alpha$. Теорема говорит: если прямая $a$ в плоскости перпендикулярна этой «тени» $b'$, то она перпендикулярна и самой прямой $b$ в пространстве.

Почему это важно для двугранных углов? Чтобы построить линейный угол, нам нужно найти прямую, перпендикулярную ребру двугранного угла. Теорема трёх перпендикуляров позволяет доказывать такие перпендикулярности, не измеряя углы напрямую.

Алгоритм нахождения угла между плоскостями

Два основных метода: классический (через линейный угол) и координатный (через нормальные векторы).

Метод 1: линейный угол

1. Назови плоскости и найди их ребро (линию пересечения).
2. Выбери удобную точку на ребре или на одной из плоскостей.
3. Из этой точки опусти перпендикуляр к ребру в каждой из плоскостей.
4. Угол между этими перпендикулярами — искомый линейный угол.
5. Вычисли через тригонометрию прямоугольного треугольника.

Ключевой шаг — правильно установить, что построенные прямые действительно перпендикулярны ребру. Для этого обычно применяют теорему трёх перпендикуляров.

Метод 2: координатный

1. Введи систему координат (обычно в вершинах основания).
2. Запиши уравнения двух плоскостей.
3. Найди нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ к каждой плоскости.
4. Угол $\varphi$ между плоскостями вычисляется по формуле:

$\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$

где $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ — скалярное произведение нормальных векторов.

Модуль в числителе нужен потому, что нормальный вектор может быть направлен в обе стороны от плоскости: нас интересует наименьший угол между плоскостями (не тупой).

Разбор примеров

Применяю faded worked examples: первый пример разобран полностью, в следующих постепенно убирается часть шагов.

Пример 1 (уровень А, fully worked). Правильная четырёхугольная пирамида $SABCD$. Сторона основания $AB = 6$, высота $SO = 4$. Найти угол между гранью $SAB$ и основанием $ABCD$.

Решение.

Шаг 1. Определяем ребро двугранного угла. Плоскость грани $SAB$ и плоскость основания $ABCD$ пересекаются по прямой $AB$. Это ребро двугранного угла.

Шаг 2. Находим проекцию на основание. Пусть $M$ — середина $AB$. В плоскости $ABCD$ опускаем из центра $O$ перпендикуляр к $AB$: поскольку $O$ — центр квадрата, отрезок $OM$ является апофемой квадрата и перпендикулярен $AB$. Длина $OM = AB/2 = 3$.

Шаг 3. Доказываем, что $SM \perp AB$. Высота пирамиды $SO \perp$ плоскости $ABCD$ по определению. Поэтому $OM$ является проекцией отрезка $SM$ на плоскость $ABCD$ (основание высоты). Так как $OM \perp AB$ (доказано на шаге 2) и $OM$ — проекция $SM$, по теореме трёх перпендикуляров получаем $SM \perp AB$.

Шаг 4. Строим линейный угол. Угол $\angle SMO$ — линейный угол двугранного угла «грань $SAB$ / основание $ABCD$»: луч $MS$ лежит в плоскости $SAB$ и $MS \perp AB$, луч $MO$ лежит в плоскости $ABCD$ и $MO \perp AB$.

Шаг 5. Вычисляем угол. В прямоугольном треугольнике $SMO$:

• $SO = 4$ (высота пирамиды);
• $OM = 3$ (апофема основания).

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{4}{3}$

$\angle SMO = \arctan\!\left(\frac{4}{3}\right) \approx 53{,}1°$

Ответ: $\arctan\dfrac{4}{3} \approx 53°$.

Типичная ошибка. Брать $SM$ (апофему боковой грани) вместо $OM$ (апофему основания). Апофема основания $OM = 3$, а апофема боковой грани $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$. В $\tan$ ставим отношение высоты к апофеме основания, а не к апофеме грани.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 1$. Найти угол между диагональной плоскостью $ABB_1A_1$ и плоскостью основания $ABCD$.

Решение.

Введём координаты: $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$.

Плоскость основания $ABCD$: нормальный вектор $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$ (вертикальный).

Плоскость $ABB_1A_1$ проходит через точки $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $A_1 = (0,0,1)$.

Попробуй сам: найди нормальный вектор к плоскости $ABB_1A_1$ через векторное произведение $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AA_1}$. Что получится?

Угол между плоскостями:

$\cos\varphi = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|} = \frac{|(0)(0) + (0)(-1) + (1)(0)|}{1 \cdot 1} = 0$

Значит $\varphi = 90°$.

Ответ: $90°$. Диагональная плоскость $ABB_1A_1$ перпендикулярна основанию (это очевидно геометрически, но координатный метод подтвердил).

Типичная ошибка. Путать диагональную плоскость куба с плоскостью через пространственную диагональ. Плоскость $ABB_1A_1$ проходит через ребро $AB$ и вертикально — она всегда $\perp$ основанию. Плоскость через $AB_1C$ (пространственная диагональ) уже не перпендикулярна.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Правильная треугольная пирамида $SABC$. Сторона основания $AB = BC = CA = 4$, боковое ребро $SA = 6$. Найти угол между боковой гранью $SAB$ и плоскостью основания $ABC$.

Решение.

Пусть $O$ — центр правильного треугольника $ABC$, $M$ — середина $AB$.

Шаг 1. Найди $OM$ — расстояние от центра правильного треугольника до середины стороны.

Шаг 2. Найди высоту $SO$ пирамиды. Используй то, что $SA = 6$ и $OA =$ радиус описанной окружности правильного треугольника.

Шаг 3. Линейный угол двугранного угла $\angle SMO$ вычисляется аналогично примеру 1:

$\tan(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} = \frac{2\sqrt{5}}{\dfrac{2\sqrt{3}}{3}} = \frac{2\sqrt{5} \cdot 3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \sqrt{15}$

$\angle SMO = \arctan\!\left(\sqrt{15}\right) \approx 75{,}5°$

Ответ: $\arctan\sqrt{15} \approx 76°$.

Типичная ошибка. Путать $R$ (радиус описанной окружности) и $r$ (радиус вписанной окружности). Для апофемы $OM$ нужен $r$, для вычисления $SO$ из бокового ребра нужен $R$.

Типичные ошибки

1. Линейный угол построен неправильно. Лучи не перпендикулярны ребру — тогда угол окажется больше истинного. Всегда проверяй: оба луча $\perp$ ребру двугранного угла.

2. Перепутаны апофема основания и апофема грани. Для угла между гранью и основанием в катетах прямоугольного треугольника — высота пирамиды $h$ и апофема основания $r$, а не апофема грани $l = \sqrt{h^2 + r^2}$.

3. Теорема трёх перпендикуляров применена без проверки условий. Она работает только когда одна из прямых является проекцией другой на плоскость. Если высота $SO$ не перпендикулярна плоскости основания — теорема не применима.

4. В координатном методе взят не нормальный вектор. Направляющий вектор прямой лежащей в плоскости — это не нормаль. Нормальный вектор $\perp$ плоскости, его находят через $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ (векторное произведение двух неколлинеарных векторов в плоскости).

5. Не взят модуль скалярного произведения. Формула $\cos\varphi = \dfrac{|\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}$ требует модуль в числителе — иначе можно получить тупой угол вместо острого.

Связь с другими темами

Угол между плоскостями опирается на перпендикулярность: без понимания признака перпендикулярности прямой и плоскости не получится обосновать, почему линейный угол построен правильно. Для координатного метода нужен нормальный вектор плоскости — его вычисление через векторное произведение связано с темой расстояние от точки до плоскости.

Сами пирамиды и призмы, в которых чаще всего ищут углы — отдельная тема (пирамида: объём и поверхность). Если задача на угол между ребром и плоскостью (а не плоскостью и плоскостью) — это смежная тема, где линейный угол строится аналогично, но с другими ориентирами.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 14 профильного ЕГЭ — основное место, где проверяется угол между плоскостями. Это задача с развёрнутым решением, за которую дают 3 первичных балла. Формулировка обычно: «Найдите угол между [гранью и основанием / двумя гранями / диагональной плоскостью и основанием]». Подробнее о структуре задания — на странице задание 14 ЕГЭ: стереометрия.

Часто задаваемые вопросы