Объём конуса: формула и разборы для ЕГЭ

Конус — это «пирамида с круглым основанием». Формула объёма та же: одна треть произведения площади основания на высоту. У конуса площадь основания — это площадь круга $\pi R^2$.

В задании 3 ЕГЭ объём конуса встречается чуть реже пирамиды, в задании 14 — как составная часть сложной задачи (вписанный конус, развёртка, сечение).

Базовая формула

$V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$

где $R$ — радиус основания, $h$ — высота конуса.

Высота конуса $h$ — расстояние от вершины до плоскости основания (для прямого конуса попадает в центр круга).

Образующая конуса $l$ — отрезок от вершины до точки на окружности основания. У прямого конуса все образующие равны.

Связь между $R$, $h$, $l$ в прямом конусе (теорема Пифагора):

$l^2 = h^2 + R^2$

Пример 1: дано $R$ и $h$

Задача. Радиус основания конуса 6, высота 8. Найти объём.

Решение. $V = \frac{1}{3} \pi \cdot 36 \cdot 8 = 96 \pi$.

Ответ: $96 \pi$.

В ЕГЭ объём конуса часто оставляют выраженным через $\pi$. Если в условии «найти объём, делённый на $\pi$» — то ответ $96$.

Пример 2: дана образующая и радиус

Задача. Радиус основания конуса 5, образующая 13. Найти объём.

Решение.

$h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = 100 \pi$.

Ответ: $100 \pi$.

Пример 3: дано $h$ и угол при вершине

Задача. Высота конуса 10, угол между образующей и осью конуса 30°. Найти объём.

Решение. Угол между образующей и высотой = 30°. В прямоугольном треугольнике (вершина, центр, точка на окружности):

$\tan 30° = \frac{R}{h}$ $R = h \tan 30° = 10 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$

$R^2 = \frac{100}{3}$

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{100}{3} \cdot 10 = \frac{1000 \pi}{9}$

Ответ: $\frac{1000 \pi}{9}$.

Пример 4: конус и развёртка

Боковая поверхность конуса в развёртке — это сектор круга с радиусом $l$ (образующая) и длиной дуги, равной длине окружности основания $2\pi R$.

Угол развёртки в радианах: $\varphi = \frac{2\pi R}{l}$.

Задача. Боковая поверхность конуса в развёртке — полукруг радиуса 4. Найти объём конуса.

Решение. Полукруг — это сектор с углом $\pi$ радиан, радиус 4. Значит $l = 4$, $\varphi = \pi$.

Длина дуги: $l \cdot \varphi = 4 \pi$. Это $2\pi R$, значит $R = 2$.

$h = \sqrt{l^2 - R^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = \frac{8\sqrt{3} \pi}{3}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3} \pi}{3}$.

Пример 5: усечённый конус

Усечённый конус — это конус, у которого верх отрезан плоскостью, параллельной основанию.

Формула объёма усечённого конуса (с радиусами оснований $R$ и $r$, высотой $h$):

$V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + R r + r^2)$

Задача. Усечённый конус с радиусами 6 и 3, высотой 4. Найти объём.

$V = \frac{4 \pi}{3} (36 + 18 + 9) = \frac{4 \pi \cdot 63}{3} = 84 \pi$.

Ответ: $84 \pi$.

Площадь поверхности конуса (справка)

Боковая поверхность прямого конуса:

$S_{\text{бок}} = \pi R l$

Полная поверхность (боковая + основание):

$S_{\text{полн}} = \pi R l + \pi R^2 = \pi R (l + R)$

Эти формулы — для другого типа задач (не объём, а площадь). В задании 3 ЕГЭ встречаются обе категории.

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 3 (стереометрия базовая, 1 балл)

Прямое применение формулы. Часто дают $R$ и $h$ напрямую.

Пример из ЕГЭ. «Найдите объём конуса с радиусом основания 3 и высотой 7. В ответе укажите $V/\pi$.»

$V = \frac{1}{3} \pi \cdot 9 \cdot 7 = 21 \pi$. Ответ: 21.

Задание 14 (стереометрия повышенная)

Конус как часть сложной конструкции. Например, конус вписан в цилиндр, или цилиндр вписан в конус, или конус касается шара. Тогда сначала разбираешь геометрию, потом считаешь объём.

Распространённые ошибки

1. Забыть 1/3. Самая частая. Если ответ вышел «слишком большим», проверь формулу.

2. Перепутать $l$ и $h$. Образующая $l$ — это отрезок от вершины к окружности, она наклонная. Высота $h$ — вертикальный перпендикуляр на основание. $l > h$ всегда (кроме вырожденного случая $R = 0$).

3. Использовать $l$ как высоту в формуле. Если в условии дана только образующая и радиус, найди высоту через $h = \sqrt{l^2 - R^2}$, потом подставляй.

4. Перепутать сектор и круг в развёртке. Боковая поверхность конуса в развёртке — это СЕКТОР, не круг. Радиус сектора = образующая, дуга = длина окружности основания.

5. Считать наклонный конус как прямой. В большинстве задач ЕГЭ конус прямой (это указано или подразумевается). Если в задаче «наклонный» — высота уже не радиус-нагрузка, нужно считать аккуратнее.

Связь с другими темами

• Конус — общая страница про конус (объём, поверхность, сечения).
• Объём пирамиды — родственная формула $V = \frac{1}{3} S h$ для конечного многоугольника.
• Объём шара — для задач с конусом и шаром.
• Цилиндр — цилиндр имеет объём в 3 раза больший, чем конус с теми же $R$ и $h$.

Что запомнить

Формулы:

• Объём прямого конуса: $V = \frac{1}{3} \pi R^2 h$.
• Связь $R$, $h$, $l$: $l^2 = h^2 + R^2$.
• Боковая поверхность: $S_{\text{бок}} = \pi R l$.
• Полная поверхность: $S_{\text{полн}} = \pi R (l + R)$.
• Объём усечённого: $V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + R r + r^2)$.

Главное в задании 3 на конус: формула $V = (1/3) \pi R^2 h$ + теорема Пифагора $l^2 = h^2 + R^2$ покрывают 90% задач.