Объём конуса: формула и разборы для ЕГЭ

Конус — это «пирамида с круглым основанием». Формула объёма та же: одна треть произведения площади основания на высоту. У конуса площадь основания — это площадь круга $\pi R^2$.

Объём конуса нужен в простых задачах первой части (задание 3) и как составная часть сложной задачи второй части (вписанный конус, развёртка, сечение).

Базовая формула

$V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

где $R$ — радиус основания, $h$ — высота конуса.

Высота конуса $h$ — расстояние от вершины до плоскости основания (для прямого конуса попадает в центр круга).

Образующая конуса $l$ — отрезок от вершины до точки на окружности основания. У прямого конуса все образующие равны.

Связь между $R$, $h$, $l$ в прямом конусе (теорема Пифагора):

$l^2=h^2+R^2$

Пример 1: дано $R$ и $h$

Задача. Радиус основания конуса 6, высота 8. Найти объём.

Решение. $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 36\cdot 8=96\pi$.

Ответ: $96\pi$.

Ответ в первой части ЕГЭ записывается числом. Поэтому, если в условии просят найти $V/\pi$, ответ здесь $96$.

Пример 2: дана образующая и радиус

Задача. Радиус основания конуса 5, образующая 13. Найти объём.

Решение.

$h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$.

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 25\cdot 12=100\pi$.

Ответ: $100\pi$.

Пример 3: дана высота и угол образующей с осью

Задача. Высота конуса 10, угол между образующей и осью конуса 30°. Найти объём.

Решение. Угол между образующей и высотой = 30°. В прямоугольном треугольнике (вершина, центр, точка на окружности):

$\tan 30°=\frac{R}{h}$ $R=h\tan 30°=10\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{10}{\sqrt{3}}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$

$R^2=\frac{100}{3}$

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{100}{3}\cdot 10=\frac{1000\pi }{9}$

Ответ: $\frac{1000\pi }{9}$.

Пример 4: конус и развёртка

Боковая поверхность конуса в развёртке — это сектор круга с радиусом $l$ (образующая) и длиной дуги, равной длине окружности основания $2\pi R$.

Угол развёртки в радианах: $\phi =\frac{2\pi R}{l}$.

Задача. Боковая поверхность конуса в развёртке — полукруг радиуса 4. Найти объём конуса.

Решение. Полукруг — это сектор с углом $\pi$ радиан, радиус 4. Значит $l=4$, $\phi =\pi$.

Длина дуги: $l\cdot \phi =4\pi$. Это $2\pi R$, значит $R=2$.

$h=\sqrt{l^2-R^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot 2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}\pi }{3}$.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}\pi }{3}$.

Пример 5: усечённый конус

Усечённый конус — это конус, у которого верх отрезан плоскостью, параллельной основанию.

Формула объёма усечённого конуса (с радиусами оснований $R$ и $r$, высотой $h$):

$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$

Задача. Усечённый конус с радиусами 6 и 3, высотой 4. Найти объём.

$V=\frac{4\pi }{3}(36+18+9)=\frac{4\pi \cdot 63}{3}=84\pi$.

Ответ: $84\pi$.

Площадь поверхности конуса (справка)

Боковая поверхность прямого конуса:

$S_{\text{бок}}=\pi Rl$

Полная поверхность (боковая + основание):

$S_{\text{полн}}=\pi Rl+\pi R^2=\pi R(l+R)$

Эти формулы — для другого типа задач (не объём, а площадь поверхности). В первой части ЕГЭ встречаются задачи обоих видов.

Где это пригождается в ЕГЭ

Нумерация дана по канону проекта ЕГЭ-2027 (документы 2027 года пока проектные); в 2026 году стереометрия второй части шла под номером 14, а не 15.

Задание 3: стереометрия, первая часть (1 балл)

Прямое применение формулы. Обычно известны $R$ и $h$, либо $l$ и $R$ (тогда высоту находят по теореме Пифагора).

Пример типовой формулировки. «Найдите объём конуса с радиусом основания 3 и высотой 7. В ответе укажите $V/\pi$.»

$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 9\cdot 7=21\pi$. Ответ: 21.

Задание 15: стереометрия, вторая часть (3 балла)

Конус как часть сложной конструкции. Например, конус вписан в цилиндр, или цилиндр вписан в конус, или конус касается шара. Тогда сначала разбираешь геометрию, потом считаешь объём.

Распространённые ошибки

1. Забыть 1/3. Если ответ вышел «слишком большим», проверь формулу.

2. Перепутать $l$ и $h$. Образующая $l$ — это отрезок от вершины к окружности, она наклонная. Высота $h$ — вертикальный перпендикуляр на основание. $l>h$ всегда (кроме вырожденного случая $R=0$).

3. Использовать $l$ как высоту в формуле. Если в условии дана только образующая и радиус, найди высоту через $h=\sqrt{l^2-R^2}$, потом подставляй.

4. Перепутать сектор и круг в развёртке. Боковая поверхность конуса в развёртке — это СЕКТОР, не круг. Радиус сектора = образующая, дуга = длина окружности основания.

5. Считать любой конус прямым. Формулы $l^2=h^2+R^2$ и $S_{\text{бок}}=\pi Rl$ на этой странице — для прямого конуса. Если конус наклонный, высота — это расстояние от вершины до плоскости основания, а не длина оси. Формула $V=\frac{1}{3}Sh$ при этом остаётся верной, но высоту нужно искать отдельно.

Связь с другими темами

• Конус — общая страница про конус (объём, поверхность, сечения).
• Объём пирамиды — родственная формула $V=\frac{1}{3}Sh$ для конечного многоугольника.
• Объём шара — для задач с конусом и шаром.
• Цилиндр — цилиндр имеет объём в 3 раза больший, чем конус с теми же $R$ и $h$.

Что запомнить

Формулы:

• Объём прямого конуса: $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$.
• Связь $R$, $h$, $l$: $l^2=h^2+R^2$.
• Боковая поверхность: $S_{\text{бок}}=\pi Rl$.
• Полная поверхность: $S_{\text{полн}}=\pi R(l+R)$.
• Объём усечённого: $V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)$.

Для задач на объём конуса в первой части нужны две вещи: формула $V=(1/3)\pi R^{2}h$ и теорема Пифагора $l^2=h^2+R^2$.

Проверено: 2026-10-08.