Пирамида — объём, площадь поверхности и задачи ЕГЭ

Пирамида на ЕГЭ встречается в двух номерах: в задании 3 — базовое вычисление объёма по готовой формуле, в задании 14 — доказательство и развёрнутое решение. Разберём все формулы, что такое апофема и как считать высоту, когда её не указали.

Что такое пирамида

Пирамида — многогранник, одна из граней которого является многоугольником (основанием), а остальные грани — треугольниками с общей вершиной (боковыми гранями).

Основные элементы пирамиды:

• Основание — многоугольник в нижней части (может быть треугольником, четырёхугольником и т.д.);
• Вершина — точка, в которой сходятся боковые грани;
• Боковые рёбра — отрезки от вершины к вершинам основания;
• Высота — перпендикуляр из вершины пирамиды к плоскости основания.

Пирамида называется $n$-угольной, если в основании лежит $n$-угольник. Треугольная пирамида также называется тетраэдром (4 грани, все треугольники).

Правильная пирамида

Правильной называется пирамида, у которой:

1. Основание — правильный многоугольник (все стороны и углы равны);
2. Вершина проектируется в центр основания (совпадающий с центрами вписанной и описанной окружности).

Следствия правильности:

• Все боковые рёбра равны между собой;
• Все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;
• Высота, проведённая из вершины пирамиды, попадает в центр основания.

Правильная треугольная пирамида не обязательно является правильным тетраэдром — в тетраэдре все четыре грани равны, а в правильной пирамиде могут быть равны только три боковые, а основание — любого размера.

Объём пирамиды

Формула объёма любой пирамиды:

$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot h$

где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды (перпендикуляр из вершины на плоскость основания).

Формула работает для любого многоугольника в основании и любого расположения вершины — не только для правильной пирамиды.

Вывод формулы объёма

Идея вывода — через разбиение куба или призмы. Треугольную призму можно разрезать на три равных по объёму треугольных пирамиды. Каждая из них имеет то же основание и ту же высоту, что и призма, а её объём — треть объёма призмы:

$V_{пир}=\frac{1}{3}{V}_{призм}=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot h$

Далее принцип Кавальери обобщает результат на произвольное основание: если сечения двух тел на одной высоте имеют равные площади, то равны и объёмы. Значит формула работает для любого основания и любой высоты.

Апофема

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины пирамиды к середине стороны основания.

Другими словами, апофема — это перпендикуляр в боковой грани, опущенный из вершины пирамиды на ребро основания. Длину апофемы обычно обозначают буквой $l$.

Связь апофемы с высотой пирамиды и радиусом вписанной окружности основания:

$l^2=h^2+r^2$

где $r$ — радиус вписанной окружности основания. Для правильного треугольника со стороной $a$: $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$. Для квадрата со стороной $a$: $r=a/2$. Для правильного шестиугольника со стороной $a$: $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Апофема отличается от бокового ребра пирамиды. Боковое ребро идёт от вершины пирамиды к вершине основания, а апофема — к середине стороны основания.

Площадь полной поверхности

Боковая поверхность правильной пирамиды:

$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}{P}_{\text{осн}}\cdot l$

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, $l$ — апофема.

Полная поверхность:

$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}$

Для произвольной пирамиды боковая поверхность — сумма площадей всех боковых граней, каждая из которых — треугольник.

Алгоритм решения задач

1. Определи тип пирамиды: правильная или произвольная.
2. Найди (или вырази) площадь основания.
3. Найди (или вырази) высоту пирамиды — напрямую или через апофему и радиус вписанной окружности.
4. Подставь в формулу $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}h$.
5. Если нужна поверхность — посчитай боковые грани и добавь основание.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 4, высота — 6. Найди объём.

Решение. Основание — квадрат со стороной $4$. Его площадь:

$S_{\text{осн}}=4^2=16$

Объём:

$V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 6=32$

Ответ: $V=32$.

Типичная ошибка. Забыть коэффициент $1/3$ и получить $96$. $1/3$ — ключ формулы, пропускать нельзя.

Пример 2 (уровень Б). В правильной треугольной пирамиде сторона основания $a=6$, апофема $l=5$. Найди площадь полной поверхности.

Решение. Основание — правильный треугольник со стороной 6. Его площадь:

$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{36\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}$

Периметр основания $P=3\cdot 6=18$.

Боковая поверхность:

$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}P\cdot l=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 5=45$

Полная поверхность:

$S_{\text{полн}}=S_{\text{осн}}+S_{\text{бок}}=9\sqrt{3}+45$

Ответ: $S_{\text{полн}}=45+9\sqrt{3}$.

Типичная ошибка. Посчитать боковую грань как прямоугольник с измерениями $6\times 5$. На самом деле это треугольник (боковая грань пирамиды), а $5$ — апофема, которая и является его высотой.

Пример 3 (уровень В). В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Боковое ребро, перпендикулярное основанию, равно 10. Найди объём.

Решение. Основание — прямоугольный треугольник со стороной 3 и 4. Его площадь:

$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$

Высота пирамиды — это перпендикулярное основанию боковое ребро, то есть $h=10$.

Объём:

$V=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 10=20$

Ответ: $V=20$.

Типичная ошибка. Посчитать площадь основания через формулу Герона или теорему косинусов, когда задача напрямую указывает, что треугольник прямоугольный и катеты известны. Используй самую простую подходящую формулу.

Типичные ошибки

1. Путать апофему с высотой пирамиды. Апофема — в боковой грани, высота — от вершины до основания. Они связаны через Пифагора, но это разные отрезки.
2. Забывать коэффициент $1/3$. Самая частая ошибка в формуле объёма. Треть объёма призмы — ключевое свойство любой пирамиды.
3. Считать боковую грань прямоугольником. Боковая грань пирамиды — треугольник, а не прямоугольник. Её площадь — полупроизведение стороны основания на апофему (в правильной пирамиде).
4. Ошибаться с площадью основания. Для правильного треугольника $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, для квадрата $S=a^2$, для правильного шестиугольника $S=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$. Путаница формул — частая ошибка.
5. Не замечать перпендикулярности бокового ребра. Если в условии сказано «боковое ребро перпендикулярно основанию» — это ребро и есть высота пирамиды. Не нужно строить отдельный перпендикуляр.

Связь с другими темами

• Цилиндр и Конус — смежные объёмные фигуры. Конус относится к пирамиде так же, как цилиндр к призме.
• Площадь треугольника — часто нужна при расчёте площади основания или боковых граней.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 (стереометрия базовая) — простые вычисления объёма или площади поверхности по данным параметрам. 1 балл.
• Задание 14 (стереометрия повышенного уровня) — сечения пирамиды, углы между прямыми, расстояния от точки до плоскости. До 3 баллов за полное решение.