Расстояние от точки до плоскости: 3 метода

В задании 14 ЕГЭ нередко просят найти расстояние от вершины или произвольной точки до некоторой плоскости (грани, сечения, построенного сечения). Проблема: прямого перпендикуляра на бумаге не видно. Спасают три метода, и у каждого — свои сильные стороны. Разберём все три и поймём, когда какой выбирать.

Метод 1: координатный

Суть: записываешь уравнение плоскости и применяешь формулу расстояния.

Если плоскость задана уравнением $ax + by + cz + d = 0$, то расстояние от точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$ до этой плоскости:

Здесь:

• $a$, $b$, $c$ — коэффициенты при переменных в уравнении плоскости (они же — компоненты нормального вектора),
• $d$ — свободный член,
• $x_0, y_0, z_0$ — координаты точки, от которой измеряем расстояние.

Как составить уравнение плоскости по трём точкам $A(x_1, y_1, z_1)$, $B(x_2, y_2, z_2)$, $C(x_3, y_3, z_3)$:

Находим два вектора в плоскости:

$\vec{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1,\ z_2 - z_1)$ $\vec{AC} = (x_3 - x_1,\ y_3 - y_1,\ z_3 - z_1)$

Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ (векторное произведение):

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ AB_x & AB_y & AB_z \\ AC_x & AC_y & AC_z \end{vmatrix}$

Уравнение плоскости: $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$, где $(a, b, c) = \vec{n}$.

Метод 2: объёмный

Суть: объём пирамиды можно посчитать двумя способами — через разные основания и высоты. Приравнивая два выражения, находим нужную высоту (расстояние).

Для пирамиды $ABCD$ (тетраэдра):

$V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot h_{D}$

где $h_D$ — расстояние от вершины $D$ до плоскости $ABC$.

Если объём $V$ можно найти другим способом (например, зная рёбра тетраэдра — через матрицу Кэли-Менгера, или зная пирамиду внутри куба), то:

$h_D = \frac{3V}{S_{\triangle ABC}}$

Метод особенно хорош, когда нужно найти расстояние от вершины куба или параллелепипеда до диагональной грани, которая трудно поддаётся уравнению.

Метод 3: перпендикуляр через геометрию

Когда геометрия тела позволяет «увидеть» прямой угол, строим перпендикуляр явно через свойства фигуры, а затем применяем теорему Пифагора.

Типичный приём: в прямой призме высота — перпендикуляр к основанию. Расстояние от любой точки боковой грани до плоскости основания находится через её $z$-координату. В правильной пирамиде апофема — перпендикуляр к боковому ребру основания.

Метод работает, когда можно найти «ногу» перпендикуляра, опустив его на прямую в плоскости (признак перпендикулярности плоскостей: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, она перпендикулярна всей плоскости).

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, fully worked). В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a = 4$ найди расстояние от вершины $A_1$ до плоскости $BCD_1$.

Решение (координатный метод).

Введём систему координат: $A = (0, 0, 0)$, $B = (4, 0, 0)$, $C = (4, 4, 0)$, $D = (0, 4, 0)$, $A_1 = (0, 0, 4)$, $D_1 = (0, 4, 4)$.

Точки плоскости $BCD_1$: $B = (4, 0, 0)$, $C = (4, 4, 0)$, $D_1 = (0, 4, 4)$.

Находим векторы в плоскости:

$\vec{BC} = C - B = (0, 4, 0)$ $\vec{BD_1} = D_1 - B = (-4, 4, 4)$

Нормальный вектор:

$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 4 & 0 \\ -4 & 4 & 4 \end{vmatrix}$

$= \vec{i}(4 \cdot 4 - 0 \cdot 4) - \vec{j}(0 \cdot 4 - 0 \cdot (-4)) + \vec{k}(0 \cdot 4 - 4 \cdot (-4))$

$= \vec{i} \cdot 16 - \vec{j} \cdot 0 + \vec{k} \cdot 16 = (16, 0, 16)$

Можно взять $\vec{n} = (1, 0, 1)$ (разделили на 16).

Уравнение плоскости: $1 \cdot (x - 4) + 0 \cdot (y - 0) + 1 \cdot (z - 0) = 0$, то есть $x + z - 4 = 0$.

Расстояние от $A_1 = (0, 0, 4)$:

$\rho = \frac{|0 + 4 - 4|}{\sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \frac{0}{\sqrt{2}} = 0$

Ноль означает, что $A_1$ лежит в плоскости $BCD_1$. Проверим: подставим $(0, 0, 4)$ в $x + z - 4 = 0$: $0 + 4 - 4 = 0$. Верно, $A_1 \in BCD_1$.

Тогда возьмём другую задачу: расстояние от $A = (0, 0, 0)$ до плоскости $BCD_1$.

$\rho = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$.

Типичная ошибка. Делить числитель на $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, забыв брать модуль числителя. Без модуля расстояние может быть отрицательным — что бессмысленно.

Пример 2 (уровень Б, faded — 1 шаг свёрнут). В правильной треугольной пирамиде $SABC$ все рёбра равны $6$. Найди расстояние от вершины $S$ до плоскости основания $ABC$ объёмным методом.

Решение.

$S_{\triangle ABC}$ для правильного треугольника со стороной $6$:

$S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 = 9\sqrt{3}$

Объём правильной треугольной пирамиды с ребром $a$:

$V = \frac{a^3}{6\sqrt{2}}$

При $a = 6$: $V = \frac{216}{6\sqrt{2}} = \frac{36}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$.

Теперь найди высоту $h$ из формулы $V = \frac{1}{3} S h$ самостоятельно. Ответ ниже.

Типичная ошибка. Перепутать объём пирамиды ($\frac{1}{3} S h$) и объём призмы ($S h$). Факторный $\frac{1}{3}$ никуда не девается.

Пример 3 (уровень В, faded — 2 шага свёрнуты). Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $2$. Найди расстояние от вершины $B_1$ до плоскости $ACD_1$ объёмным методом.

Шаг 1: Найди объём пирамиды $B_1ACD_1$, зная, что куб с ребром $2$ можно разбить на несколько таких пирамид. Как разбивается куб?

Шаг 2: Найди площадь треугольника $ACD_1$ и вычисли расстояние от $B_1$ до плоскости $ACD_1$.

Типичная ошибка. При разбиении куба на пирамиды брать объём $V_{\text{куба}} / 3$ вместо $V_{\text{куба}} / 6$. Куб делится именно на 6 равных тетраэдров.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Забыть модуль в числителе формулы $\rho = |ax_0 + by_0 + cz_0 + d| / \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Расстояние — неотрицательно.

Ошибка 2. Составить уравнение плоскости по двум точкам вместо трёх. Для однозначного определения плоскости нужны три точки, не лежащие на одной прямой.

Ошибка 3. В объёмном методе перепутать $h$ в формуле $V = \frac{1}{3}Sh$ с ребром фигуры. Высота $h$ — это именно перпендикуляр от вершины до плоскости основания.

Ошибка 4. При координатном методе брать произвольный вектор как нормальный, не вычисляя векторное произведение. Нормальный вектор должен быть перпендикулярен плоскости.

Ошибка 5. Применять формулу расстояния не к плоскости $ax + by + cz + d = 0$, а к плоскости в другом виде. Сначала приводи уравнение к стандартному виду.

Связь с другими темами

Расстояние от точки до плоскости связано с теоремой Пифагора: в 3D прямоугольный треугольник строится через проекцию точки на плоскость, и гипотенуза — это расстояние от точки до этой проекции.

Векторный аппарат (нормаль, скалярное произведение) необходим для составления уравнения плоскости. Этот аппарат подробнее разобран в теме про векторы в пространстве.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 14 — основное место применения: многочастная стереометрическая задача, где часто в пункте (б) или (в) требуется найти расстояние от точки до плоскости. Нужно уметь выбирать метод под условие.

Часто задаваемые вопросы