Усечённая пирамида: объём и площадь поверхности

Усечённая пирамида появляется в задании 3 и иногда в задании 14. Ключевая формула объёма — через площади оснований и высоту — её нужно выучить наизусть.

Определение и элементы

Усечённая пирамида получается отсечением от пирамиды верхней части плоскостью, параллельной основанию.

Элементы:

• $S_1$ — площадь нижнего основания (большего).
• $S_2$ — площадь верхнего основания (меньшего).
• $h$ — высота (перпендикулярное расстояние между основаниями).
• $l$ — апофема боковой грани (для правильной усечённой пирамиды).

Правильная усечённая пирамида — основания правильные многоугольники с общим центром, боковые грани — равнобедренные трапеции.

Формула объёма

$V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$

Это формула Симпсона (формула Эйлера для усечённой пирамиды).

Вывод идеи: $V=V_{\text{полной}}-V_{\text{отсечённой}}$. После алгебраических преобразований получается выражение выше.

Частные случаи:

• $S_2=0$ (вершина не отрезана): $V=\frac{h}{3}{S}_1$ — полная пирамида.
• $S_1=S_2$ (основания равны): $V=h\cdot S_1$ — призма.

Площадь боковой поверхности (правильная усечённая пирамида)

$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}(P_1+P_2)\cdot l$

где $P_1,P_2$ — периметры оснований, $l$ — апофема боковой грани.

Каждая боковая грань — равнобедренная трапеция с апофемой $l$.

Площадь полной поверхности: $S=S_1+S_2+S_{\text{бок}}$

Нахождение апофемы боковой грани

Для правильной усечённой пирамиды с $n$-угольными основаниями:

Пусть $a_1$ — сторона нижнего, $a_2$ — сторона верхнего основания.

Апофемы оснований (расстояния от центра до стороны правильного $n$-угольника): ${\rho }_1=\frac{a_1}{2\mathrm{tg}(180°/n)},{\rho }_2=\frac{a_2}{2\mathrm{tg}(180°/n)}$

Апофема боковой грани: $l=\sqrt{h^2+({\rho }_1-{\rho }_2{)}^2}$

Примеры задач

Пример 1 (задание 3). Усечённая пирамида с квадратными основаниями. Сторона нижнего 6, сторона верхнего 3, высота 4. Найти объём.

$S_1=6^2=36$, $S_2=3^2=9$, $h=4$.

$V=\frac{4}{3}(36+9+\sqrt{36\cdot 9})=\frac{4}{3}(36+9+18)=\frac{4}{3}\cdot 63=84$.

Ответ: $V=84$.

Пример 2 (боковая поверхность). Правильная усечённая четырёхугольная пирамида: стороны оснований 6 и 2, апофема боковой грани 5. Найти площадь боковой поверхности.

$P_1=4\cdot 6=24$, $P_2=4\cdot 2=8$.

$S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}(24+8)\cdot 5=\frac{1}{2}\cdot 32\cdot 5=80$.

Ответ: $S_{\text{бок}}=80$.

Пример 3 (нахождение высоты). Объём усечённой треугольной пирамиды 35. Площади оснований: $S_1=25$, $S_2=4$. Найти высоту.

$35=\frac{h}{3}(25+4+\sqrt{25\cdot 4})=\frac{h}{3}(25+4+10)=\frac{h\cdot 39}{3}=13h$.

$h=\frac{35}{13}=\frac{35}{13}\approx 2,69$.

Ответ: $h=\frac{35}{13}$.

Пример 4 (апофема). Правильная усечённая четырёхугольная пирамида: стороны оснований $a_1=8$, $a_2=4$, высота $h=6$. Найти апофему боковой грани.

Апофемы оснований: ${\rho }_1=\frac{8}{2}=4$, ${\rho }_2=\frac{4}{2}=2$ (для квадрата $\mathrm{tg}45°=1$).

$l=\sqrt{36+(4-2{)}^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$.

Ответ: $l=2\sqrt{10}$.

Связь с другими темами

• Пирамида — полная пирамида, от которой отсекается усечённая.
• Усечённый конус — аналог усечённой пирамиды с круглыми основаниями.
• Призма — предельный случай при $S_1=S_2$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 — объём и площадь поверхности.
• Задание 14 — нахождение элементов в стереометрических задачах.