Усечённая пирамида: объём и площадь поверхности

Усечённая пирамида появляется в задании 3 и иногда в задании 14. Ключевая формула объёма — через площади оснований и высоту — её нужно выучить наизусть.

Определение и элементы

Усечённая пирамида получается отсечением от пирамиды верхней части плоскостью, параллельной основанию.

Элементы:

• $S_1$ — площадь нижнего основания (большего).
• $S_2$ — площадь верхнего основания (меньшего).
• $h$ — высота (перпендикулярное расстояние между основаниями).
• $l$ — апофема боковой грани (для правильной усечённой пирамиды).

Правильная усечённая пирамида — основания правильные многоугольники с общим центром, боковые грани — равнобедренные трапеции.

Формула объёма

$V = \frac{h}{3}(S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$

Это формула Симпсона (формула Эйлера для усечённой пирамиды).

Вывод идеи: $V = V_{\text{полной}} - V_{\text{отсечённой}}$. После алгебраических преобразований получается выражение выше.

Частные случаи:

• $S_2 = 0$ (вершина не отрезана): $V = \dfrac{h}{3} S_1$ — полная пирамида.
• $S_1 = S_2$ (основания равны): $V = h \cdot S_1$ — призма.

Площадь боковой поверхности (правильная усечённая пирамида)

$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$

где $P_1, P_2$ — периметры оснований, $l$ — апофема боковой грани.

Каждая боковая грань — равнобедренная трапеция с апофемой $l$.

Площадь полной поверхности: $S = S_1 + S_2 + S_{\text{бок}}$

Нахождение апофемы боковой грани

Для правильной усечённой пирамиды с $n$-угольными основаниями:

Пусть $a_1$ — сторона нижнего, $a_2$ — сторона верхнего основания.

Апофемы оснований (расстояния от центра до стороны правильного $n$-угольника): $\rho_1 = \frac{a_1}{2\tg(180°/n)}, \quad \rho_2 = \frac{a_2}{2\tg(180°/n)}$

Апофема боковой грани: $l = \sqrt{h^2 + (\rho_1 - \rho_2)^2}$

Примеры задач

Пример 1 (задание 3). Усечённая пирамида с квадратными основаниями. Сторона нижнего 6, сторона верхнего 3, высота 4. Найти объём.

$S_1 = 6^2 = 36$, $S_2 = 3^2 = 9$, $h = 4$.

$V = \dfrac{4}{3}(36 + 9 + \sqrt{36 \cdot 9}) = \dfrac{4}{3}(36 + 9 + 18) = \dfrac{4}{3} \cdot 63 = 84$.

Ответ: $V = 84$.

Пример 2 (боковая поверхность). Правильная усечённая четырёхугольная пирамида: стороны оснований 6 и 2, апофема боковой грани 5. Найти площадь боковой поверхности.

$P_1 = 4 \cdot 6 = 24$, $P_2 = 4 \cdot 2 = 8$.

$S_{\text{бок}} = \dfrac{1}{2}(24 + 8) \cdot 5 = \dfrac{1}{2} \cdot 32 \cdot 5 = 80$.

Ответ: $S_{\text{бок}} = 80$.

Пример 3 (нахождение высоты). Объём усечённой треугольной пирамиды 35. Площади оснований: $S_1 = 25$, $S_2 = 4$. Найти высоту.

$35 = \dfrac{h}{3}(25 + 4 + \sqrt{25 \cdot 4}) = \dfrac{h}{3}(25 + 4 + 10) = \dfrac{h \cdot 39}{3} = 13h$.

$h = \dfrac{35}{13} = \dfrac{35}{13} \approx 2{,}69$.

Ответ: $h = \dfrac{35}{13}$.

Пример 4 (апофема). Правильная усечённая четырёхугольная пирамида: стороны оснований $a_1 = 8$, $a_2 = 4$, высота $h = 6$. Найти апофему боковой грани.

Апофемы оснований: $\rho_1 = \frac{8}{2} = 4$, $\rho_2 = \frac{4}{2} = 2$ (для квадрата $\tg 45° = 1$).

$l = \sqrt{36 + (4-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.

Ответ: $l = 2\sqrt{10}$.

Связь с другими темами

• Пирамида — полная пирамида, от которой отсекается усечённая.
• Усечённый конус — аналог усечённой пирамиды с круглыми основаниями.
• Призма — предельный случай при $S_1 = S_2$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 — объём и площадь поверхности.
• Задание 14 — нахождение элементов в стереометрических задачах.