Усечённый конус: объём, образующая и развёртка

Усечённый конус встречается в задании 3 как самостоятельная фигура или как часть составного тела. Формула объёма и площади поверхности — обязательный материал.

Определение и элементы

Усечённый конус — тело вращения, получаемое отсечением от конуса малого конуса плоскостью, параллельной основанию.

Элементы:

• $R$ — радиус нижнего (большего) основания.
• $r$ — радиус верхнего (меньшего) основания.
• $h$ — высота (расстояние между центрами оснований).
• $l$ — образующая (длина боковой линии).

Образующая

По теореме Пифагора (в осевом сечении):

$l=\sqrt{h^2+(R-r{)}^2}$

Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями $2R$ и $2r$, высотой $h$, и боковой стороной $l$.

Объём

$V=\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)$

Вывод: $V=V_{\text{большого}}-V_{\text{малого}}=\frac{\pi H}{3}{R}^2-\frac{\pi H_0}{3}{r}^2$, где $H$ и $H_0$ — высоты полных конусов. После замены через $h$ и упрощения — формула выше.

Частные случаи:

• $r=0$: $V=\frac{\pi h}{3}{R}^2$ — полный конус.
• $r=R$: $V=\pi R^{2}h$ — цилиндр.

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}}=\pi (R+r)l$

Площадь оснований: $S_{\text{осн}}=\pi R^2+\pi r^2$

Полная площадь поверхности: $S=\pi (R+r)l+\pi (R^2+r^2)=\pi [(R+r)l+R^2+r^2]$

Развёртка

Боковая поверхность разворачивается в кольцеобразный сектор (разность двух секторов). Параметры:

• Внешний радиус: $l_1$ (образующая большого конуса).
• Внутренний радиус: $l_2=l_1-l$ (образующая малого конуса).
• Угол сектора: $\phi =\frac{R}{l_1}\cdot 2\pi =\frac{2\pi R}{l_1}$ (в радианах).

На практике для ЕГЭ достаточно формулы $S_{\text{бок}}=\pi (R+r)l$ без построения развёртки.

Примеры задач

Пример 1 (задание 3). Усечённый конус: $R=6$, $r=3$, $h=4$. Найти объём и боковую поверхность.

Образующая: $l=\sqrt{16+(6-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=5$.

$V=\frac{\pi \cdot 4}{3}(36+9+18)=\frac{4\pi }{3}\cdot 63=84\pi$.

$S_{\text{бок}}=\pi (6+3)\cdot 5=45\pi$.

Ответ: $V=84\pi$, $S_{\text{бок}}=45\pi$.

Пример 2 (нахождение высоты). Объём усечённого конуса равен $28\pi$. Радиусы оснований: $R=4$, $r=2$. Найти высоту.

$28\pi =\frac{\pi h}{3}(R^2+r^2+Rr)=\frac{\pi h}{3}(16+4+8)=\frac{28\pi h}{3}$.

$h=\frac{28\pi \cdot 3}{28\pi }=3$.

Ответ: $h=3$.

Пример 3 (полная поверхность). Усечённый конус: $R=5$, $r=3$, $l=5$. Найти полную площадь.

$S=\pi (5+3)\cdot 5+\pi (25+9)=40\pi +34\pi =74\pi$.

Ответ: $S=74\pi$.

Пример 4 (нахождение образующей). Усечённый конус: $h=8$, $R=9$, $r=3$. Найти образующую.

$l=\sqrt{64+(9-3{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$.

Ответ: $l=10$.

Пример 5 (осевое сечение). Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 10 и высотой 4. Найти объём.

Из трапеции: $2r=4\Rightarrow r=2$; $2R=10\Rightarrow R=5$; $h=4$.

$V=\frac{\pi \cdot 4}{3}(25+4+10)=\frac{4\pi }{3}\cdot 39=52\pi$.

Ответ: $V=52\pi$.

Связь с другими темами

• Конус — полный конус, предельный случай при $r=0$.
• Цилиндр — предельный случай при $r=R$.
• Усечённая пирамида — аналог с многоугольными основаниями.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 — объём и площадь поверхности усечённых тел вращения.