Усечённый конус: объём, образующая и развёртка

Усечённый конус встречается в задании 3 как самостоятельная фигура или как часть составного тела. Формула объёма и площади поверхности — обязательный материал.

Определение и элементы

Усечённый конус — тело вращения, получаемое отсечением от конуса малого конуса плоскостью, параллельной основанию.

Элементы:

• $R$ — радиус нижнего (большего) основания.
• $r$ — радиус верхнего (меньшего) основания.
• $h$ — высота (расстояние между центрами оснований).
• $l$ — образующая (длина боковой линии).

Образующая

По теореме Пифагора (в осевом сечении):

$l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$

Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями $2R$ и $2r$, высотой $h$, и боковой стороной $l$.

Объём

$V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr)$

Вывод: $V = V_{\text{большого}} - V_{\text{малого}} = \dfrac{\pi H}{3} R^2 - \dfrac{\pi H_0}{3} r^2$, где $H$ и $H_0$ — высоты полных конусов. После замены через $h$ и упрощения — формула выше.

Частные случаи:

• $r = 0$: $V = \dfrac{\pi h}{3} R^2$ — полный конус.
• $r = R$: $V = \pi R^2 h$ — цилиндр.

Площадь поверхности

Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = \pi(R + r) l$

Площадь оснований: $S_{\text{осн}} = \pi R^2 + \pi r^2$

Полная площадь поверхности: $S = \pi(R+r)l + \pi(R^2 + r^2) = \pi\bigl[(R+r)l + R^2 + r^2\bigr]$

Развёртка

Боковая поверхность разворачивается в кольцеобразный сектор (разность двух секторов). Параметры:

• Внешний радиус: $l_1$ (образующая большого конуса).
• Внутренний радиус: $l_2 = l_1 - l$ (образующая малого конуса).
• Угол сектора: $\varphi = \dfrac{R}{l_1} \cdot 2\pi = \dfrac{2\pi R}{l_1}$ (в радианах).

На практике для ЕГЭ достаточно формулы $S_{\text{бок}} = \pi(R+r)l$ без построения развёртки.

Примеры задач

Пример 1 (задание 3). Усечённый конус: $R = 6$, $r = 3$, $h = 4$. Найти объём и боковую поверхность.

Образующая: $l = \sqrt{16 + (6-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.

$V = \dfrac{\pi \cdot 4}{3}(36 + 9 + 18) = \dfrac{4\pi}{3} \cdot 63 = 84\pi$.

$S_{\text{бок}} = \pi(6+3) \cdot 5 = 45\pi$.

Ответ: $V = 84\pi$, $S_{\text{бок}} = 45\pi$.

Пример 2 (нахождение высоты). Объём усечённого конуса равен $28\pi$. Радиусы оснований: $R = 4$, $r = 2$. Найти высоту.

$28\pi = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + r^2 + Rr) = \dfrac{\pi h}{3}(16 + 4 + 8) = \dfrac{28\pi h}{3}$.

$h = \dfrac{28\pi \cdot 3}{28\pi} = 3$.

Ответ: $h = 3$.

Пример 3 (полная поверхность). Усечённый конус: $R = 5$, $r = 3$, $l = 5$. Найти полную площадь.

$S = \pi(5+3) \cdot 5 + \pi(25+9) = 40\pi + 34\pi = 74\pi$.

Ответ: $S = 74\pi$.

Пример 4 (нахождение образующей). Усечённый конус: $h = 8$, $R = 9$, $r = 3$. Найти образующую.

$l = \sqrt{64 + (9-3)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.

Ответ: $l = 10$.

Пример 5 (осевое сечение). Осевое сечение усечённого конуса — равнобедренная трапеция с основаниями 4 и 10 и высотой 4. Найти объём.

Из трапеции: $2r = 4 \Rightarrow r = 2$; $2R = 10 \Rightarrow R = 5$; $h = 4$.

$V = \dfrac{\pi \cdot 4}{3}(25 + 4 + 10) = \dfrac{4\pi}{3} \cdot 39 = 52\pi$.

Ответ: $V = 52\pi$.

Связь с другими темами

• Конус — полный конус, предельный случай при $r=0$.
• Цилиндр — предельный случай при $r=R$.
• Усечённая пирамида — аналог с многоугольными основаниями.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 — объём и площадь поверхности усечённых тел вращения.