Уравнение плоскости — строительный блок координатного метода в стереометрии. Без него нельзя найти расстояние от точки до плоскости или угол между плоскостями в задании 14 ЕГЭ.

Плоскость α с нормальным вектором n=(A,B,C), точки M₀ и M на плоскости, вектор M₀M перпендикулярен нормали, уравнение Ax+By+Cz+D=0

Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0

  • n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C) — нормальный вектор плоскости (перпендикулярен ей)
  • DD — свободный член (зависит от положения плоскости)
  • Любая точка (x,y,z)(x, y, z), лежащая на плоскости, удовлетворяет этому уравнению

Уравнение через точку и нормаль

Если известна точка M0(x0,y0,z0)M_0(x_0, y_0, z_0) и нормаль n⃗=(A,B,C)\vec{n} = (A, B, C):

A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

Раскрывая, получаем общее уравнение с D=−Ax0−By0−Cz0D = -Ax_0 - By_0 - Cz_0.

Пример. Плоскость проходит через точку M(1,2,3)M(1, 2, 3) с нормалью n⃗=(2,−1,4)\vec{n} = (2, -1, 4).

2(x−1)−1(y−2)+4(z−3)=02(x - 1) - 1(y - 2) + 4(z - 3) = 0 2x−2−y+2+4z−12=02x - 2 - y + 2 + 4z - 12 = 0 2x−y+4z−12=02x - y + 4z - 12 = 0

Уравнение через три точки

  1. По трём точкам P1,P2,P3P_1, P_2, P_3 найти два вектора в плоскости: v1⃗=P1P2→,v2⃗=P1P3→\vec{v_1} = \overrightarrow{P_1P_2}, \quad \vec{v_2} = \overrightarrow{P_1P_3}
  2. Найти нормаль n⃗=v1⃗×v2⃗\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} (векторное произведение)
  3. Составить уравнение через точку P1P_1 и нормаль n⃗\vec{n}

Пример. Плоскость через A(0,0,0)A(0,0,0), B(1,0,0)B(1,0,0), C(0,1,0)C(0,1,0).

AB⃗=(1,0,0)\vec{AB} = (1,0,0), AC⃗=(0,1,0)\vec{AC} = (0,1,0).

n⃗=AB⃗×AC⃗=(0⋅0−0⋅1, 0⋅0−1⋅0, 1⋅1−0⋅0)=(0,0,1)\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (0\cdot0 - 0\cdot1,\ 0\cdot0 - 1\cdot0,\ 1\cdot1 - 0\cdot0) = (0, 0, 1).

Уравнение (через A(0,0,0)A(0,0,0)): 0⋅x+0⋅y+1⋅z=00\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0, то есть z=0z = 0.

Это плоскость OXYOXY — как и ожидалось.

Частные случаи уравнений

УравнениеПлоскость
z=0z = 0Плоскость OXYOXY
x=0x = 0Плоскость OYZOYZ
y=0y = 0Плоскость OXZOXZ
z=hz = hПараллельная OXYOXY на высоте hh
Ax+D=0Ax + D = 0Перпендикулярна оси OXOX, параллельна OYZOYZ

Расстояние от точки до плоскости

Если плоскость задана уравнением Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0, расстояние от точки M(x0,y0,z0)M(x_0, y_0, z_0):

d=∣Ax0+By0+Cz0+D∣A2+B2+C2d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}

Пример. Расстояние от M(3,1,2)M(3, 1, 2) до плоскости 2x−y+2z−5=02x - y + 2z - 5 = 0:

d=∣2⋅3−1⋅1+2⋅2−5∣4+1+4=∣6−1+4−5∣9=∣4∣3=43d = \frac{|2\cdot3 - 1\cdot1 + 2\cdot2 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \frac{|6 - 1 + 4 - 5|}{\sqrt{9}} = \frac{|4|}{3} = \frac{4}{3}

Угол между двумя плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями (берём острый угол):

cos⁡α=∣n1⃗⋅n2⃗∣∣n1⃗∣∣n2⃗∣\cos \alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}||\vec{n_2}|}

Пример. Плоскости x+y+z=1x + y + z = 1 (нормаль (1,1,1)(1,1,1)) и x−y+z=0x - y + z = 0 (нормаль (1,−1,1)(1,-1,1)).

cos⁡α=∣1⋅1+1⋅(−1)+1⋅1∣3⋅3=∣1∣3=13\cos \alpha = \frac{|1\cdot1 + 1\cdot(-1) + 1\cdot1|}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}

α=arccos⁡13\alpha = \arccos\frac{1}{3}

Типичные ошибки

Ошибка 1. Знак нормали: уравнение Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0 и −Ax−By−Cz−D=0-Ax - By - Cz - D = 0 — одна и та же плоскость. Нормаль может смотреть в любую сторону — это не важно для формул.

Ошибка 2. В формуле расстояния — забыть взять модуль в числителе.

Ошибка 3. При нахождении нормали через три точки — ошибиться в знаках при раскрытии определителя.

Ошибка 4. Составить уравнение плоскости через неправильную точку (взять не ту из трёх).

Чек-лист

  • Знаю общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0Ax + By + Cz + D = 0
  • Нормальный вектор плоскости: (A,B,C)(A, B, C)
  • Умею составить уравнение по точке + нормали
  • Нахожу уравнение по трём точкам (векторное произведение → нормаль)
  • Применяю формулу расстояния от точки до плоскости

Связанные темы