Перпендикулярность прямой и плоскости: признак и примеры

Перпендикулярность прямой и плоскости — ключевая концепция стереометрии. Без неё нельзя найти высоту пирамиды или призмы, расстояние от точки до плоскости, угол между прямой и плоскостью. В задании 14 ЕГЭ этот признак применяется в большинстве задач.

Определение

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой в этой плоскости, проходящей через точку пересечения.

Обозначение: $a \perp \alpha$ (прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$).

Из всех прямых, проведённых из точки $A$ к плоскости $\alpha$, перпендикуляр — единственный и самый короткий.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема (признак). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Формально: если $a \perp b$, $a \perp c$, $b \cap c \neq \emptyset$, $b \subset \alpha$, $c \subset \alpha$, то $a \perp \alpha$.

Следствия и применения

Высота правильной пирамиды

В правильной пирамиде все боковые рёбра равны. Высота $SH$ (из вершины $S$ в центр правильного многоугольника $H$) перпендикулярна основанию.

Доказательство перпендикулярности: $SH \perp$ диагонали основания (по симметрии: $SA = SB$ → $SH \perp AB$). Аналогично $SH \perp$ другой диагонали. Две пересекающиеся диагонали лежат в плоскости основания → по признаку $SH \perp$ плоскости основания.

Перпендикуляр к ребру из середины

Если $M$ — середина ребра $AB$ равностороннего треугольника $SAB$ (или правильного тетраэдра), то $SM \perp AB$ (медиана = высота). При наличии двух таких медиан, перпендикулярных $AB$, их пересечение лежит на высоте.

Разбор примеров

Пример 1 (задание 14, уровень А). В правильной четырёхугольной пирамиде со стороной основания 6 и высотой 4 найди длину апофемы.

Решение.

Апофема — высота боковой грани. В правильной четырёхугольной пирамиде центр основания $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Апофема $h_a$ соединяет вершину $S$ с серединой $M$ стороны основания.

$OM = a/2 = 3$ (расстояние от центра квадрата до середины стороны).

$SM$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $SOM$:

$SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: апофема равна $5$.

Пример 2 (задание 14, уровень Б). В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с основанием $3 \times 4$ и высотой 12 найди длину главной диагонали $AC_1$.

Решение.

В прямоугольном параллелепипеде $AA_1 \perp$ плоскости основания.

Диагональ основания $AC = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Диагональ параллелепипеда: $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: $AC_1 = 13$.

Пример 3 (задание 14, уровень В). Точка $M$ — середина ребра $AC$ тетраэдра $SABC$, где $SA = SB = SC = AB = BC = AC = 6$. Докажи, что $SM \perp AC$.

Решение.

Тетраэдр правильный (все грани — правильные треугольники). В равностороннем треугольнике $SAC$ медиана $SM$ является и высотой → $SM \perp AC$.

Аналогично в треугольнике $ABC$ медиана $BM$ — высота → $BM \perp AC$.

$SM$ и $BM$ — две пересекающиеся прямые, обе перпендикулярные $AC$ → это подтверждает, что они лежат в плоскости, перпендикулярной $AC$.

Практический алгоритм для задания 14

1. Выдели высоту тела (перпендикуляр к плоскости основания).
2. Назови её точку основания — центр правильного многоугольника, точка пересечения диагоналей.
3. Докажи перпендикулярность через признак (две пересекающиеся прямые в плоскости).
4. Применяй теорему Пифагора в прямоугольных треугольниках, образованных высотой.

Частые ошибки

1. Брать две параллельные прямые вместо пересекающихся. Признак требует пересекающихся прямых.
2. Путать высоту тела и апофему. Высота — из вершины до плоскости основания. Апофема — высота боковой грани.
3. Не доказывать перпендикулярность, а просто утверждать. В задании 14 нужно обосновать каждый шаг.
4. Неверно находить центр правильного многоугольника. У квадрата центр — точка пересечения диагоналей. У правильного треугольника — точка пересечения медиан (1/3 от основания).

Связь с другими темами

• Пирамида — высота пирамиды перпендикулярна основанию.
• Призма — в прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию.
• Угол между скрещивающимися прямыми — для нахождения угла часто используют перпендикуляр к плоскости.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 14 — стереометрия часть 2. Признак перпендикулярности — почти обязательный шаг при нахождении высот, расстояний и углов.