Параллелепипед: прямоугольный, наклонный, диагональ

Параллелепипед — один из главных объёмных тел в задании 3 ЕГЭ. Прямоугольный параллелепипед встречается в 70% задач на объёмы — его формулы нужно знать наизусть.

Определение и виды

Параллелепипед — призма, основание которой параллелограмм. У него 6 граней-параллелограммов, 12 рёбер (по 4 в каждой из 3 групп параллельных рёбер), 8 вершин.

Виды параллелепипеда:

В ЕГЭ «параллелепипед» по умолчанию означает прямоугольный (если не сказано иное).

Прямоугольный параллелепипед: формулы

Пусть рёбра $a,b,c$ (длина, ширина, высота).

Объём: $V=abc$

Площадь полной поверхности: $S=2(ab+bc+ac)$

Площадь боковой поверхности (при основании $a\times b$): $S_{\text{бок}}=2c(a+b)$

Диагональ: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

Диагонали граней:

• Грань $a\times b$: $d_1=\sqrt{a^2+b^2}$
• Грань $b\times c$: $d_2=\sqrt{b^2+c^2}$
• Грань $a\times c$: $d_3=\sqrt{a^2+c^2}$

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллельны и конгруэнтны (равны).
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
3. Все 4 пространственные диагонали равны (только для прямоугольного).
4. Центр — точка пересечения диагоналей.

Примеры задач

Пример 1 (задание 3). Прямоугольный параллелепипед с рёбрами 3, 4, 5. Найти объём и диагональ.

$V=3\cdot 4\cdot 5=60$.

$d=\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

Ответ: $V=60$, $d=5\sqrt{2}$.

Пример 2 (нахождение ребра). Объём прямоугольного параллелепипеда 120, два ребра: $a=4$, $b=6$. Найти третье ребро $c$.

$V=abc\Rightarrow 120=4\cdot 6\cdot c\Rightarrow c=5$.

Ответ: $c=5$.

Пример 3 (диагональ через грани). Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда: $d_1=\sqrt{20}$, $d_2=\sqrt{29}$, $d_3=\sqrt{41}$. Найти объём.

$d_1^2=a^2+b^2=20$, $d_2^2=b^2+c^2=29$, $d_3^2=a^2+c^2=41$.

Сложим три уравнения: $2(a^2+b^2+c^2)=90\Rightarrow a^2+b^2+c^2=45$.

$c^2=45-20=25\Rightarrow c=5$.

$a^2=45-29=16\Rightarrow a=4$.

$b^2=45-41=4\Rightarrow b=2$.

$V=4\cdot 2\cdot 5=40$.

Ответ: $V=40$.

Пример 4 (площадь поверхности). Прямоугольный параллелепипед: $a=3$, $b=4$, $c=6$. Найти полную площадь поверхности.

$S=2(3\cdot 4+4\cdot 6+3\cdot 6)=2(12+24+18)=2\cdot 54=108$.

Ответ: $S=108$.

Пример 5 (задание 14, угол). В прямоугольном параллелепипеде $a=3$, $b=4$, $c=5$. Найти угол между диагональю и плоскостью основания.

Основание — грань $a\times b$. Проекция диагонали $d$ на основание = диагональ основания $d_{ab}=\sqrt{a^2+b^2}=5$.

$\cos \phi =\frac{d_{ab}}{d}=\frac{5}{\sqrt{9+16+25}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

$\phi =45°$.

Ответ: $45°$.

Куб как частный случай

При $a=b=c$:

$V=a^3$, $S=6a^2$, $d=a\sqrt{3}$, диагональ грани $=a\sqrt{2}$.

Связь с другими темами

• Призма — параллелепипед = призма с параллелограммом в основании.
• Угол между плоскостями — угол диагонали с основанием.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 — объём и площадь поверхности.
• Задание 14 — углы и расстояния в пространстве.