Параллелепипед: прямоугольный, наклонный, диагональ

Параллелепипед — один из главных объёмных тел в задании 3 ЕГЭ. Прямоугольный параллелепипед встречается в 70% задач на объёмы — его формулы нужно знать наизусть.

Определение и виды

Параллелепипед — призма, основание которой параллелограмм. У него 6 граней-параллелограммов, 12 рёбер (по 4 в каждой из 3 групп параллельных рёбер), 8 вершин.

Виды параллелепипеда:

В ЕГЭ «параллелепипед» по умолчанию означает прямоугольный (если не сказано иное).

Прямоугольный параллелепипед: формулы

Пусть рёбра $a, b, c$ (длина, ширина, высота).

Объём: $V = abc$

Площадь полной поверхности: $S = 2(ab + bc + ac)$

Площадь боковой поверхности (при основании $a \times b$): $S_{\text{бок}} = 2c(a+b)$

Диагональ: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

Диагонали граней:

• Грань $a \times b$: $d_1 = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Грань $b \times c$: $d_2 = \sqrt{b^2 + c^2}$
• Грань $a \times c$: $d_3 = \sqrt{a^2 + c^2}$

Свойства параллелепипеда

1. Противоположные грани параллельны и конгруэнтны (равны).
2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.
3. Все 4 пространственные диагонали равны (только для прямоугольного).
4. Центр — точка пересечения диагоналей.

Примеры задач

Пример 1 (задание 3). Прямоугольный параллелепипед с рёбрами 3, 4, 5. Найти объём и диагональ.

$V = 3 \cdot 4 \cdot 5 = 60$.

$d = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.

Ответ: $V = 60$, $d = 5\sqrt{2}$.

Пример 2 (нахождение ребра). Объём прямоугольного параллелепипеда 120, два ребра: $a = 4$, $b = 6$. Найти третье ребро $c$.

$V = abc \Rightarrow 120 = 4 \cdot 6 \cdot c \Rightarrow c = 5$.

Ответ: $c = 5$.

Пример 3 (диагональ через грани). Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда: $d_1 = \sqrt{20}$, $d_2 = \sqrt{29}$, $d_3 = \sqrt{41}$. Найти объём.

$d_1^2 = a^2 + b^2 = 20$, $d_2^2 = b^2 + c^2 = 29$, $d_3^2 = a^2 + c^2 = 41$.

Сложим три уравнения: $2(a^2+b^2+c^2) = 90 \Rightarrow a^2+b^2+c^2 = 45$.

$c^2 = 45 - 20 = 25 \Rightarrow c = 5$.

$a^2 = 45 - 29 = 16 \Rightarrow a = 4$.

$b^2 = 45 - 41 = 4 \Rightarrow b = 2$.

$V = 4 \cdot 2 \cdot 5 = 40$.

Ответ: $V = 40$.

Пример 4 (площадь поверхности). Прямоугольный параллелепипед: $a = 3$, $b = 4$, $c = 6$. Найти полную площадь поверхности.

$S = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 6 + 3 \cdot 6) = 2(12 + 24 + 18) = 2 \cdot 54 = 108$.

Ответ: $S = 108$.

Пример 5 (задание 14, угол). В прямоугольном параллелепипеде $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$. Найти угол между диагональю и плоскостью основания.

Основание — грань $a \times b$. Проекция диагонали $d$ на основание = диагональ основания $d_{ab} = \sqrt{a^2+b^2} = 5$.

$\cos\varphi = \dfrac{d_{ab}}{d} = \dfrac{5}{\sqrt{9+16+25}} = \dfrac{5}{\sqrt{50}} = \dfrac{5}{5\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

$\varphi = 45°$.

Ответ: $45°$.

Куб как частный случай

При $a = b = c$:

$V = a^3$, $S = 6a^2$, $d = a\sqrt{3}$, диагональ грани $= a\sqrt{2}$.

Связь с другими темами

• Призма — параллелепипед = призма с параллелограммом в основании.
• Угол между плоскостями — угол диагонали с основанием.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 3 — объём и площадь поверхности.
• Задание 14 — углы и расстояния в пространстве.