Сколько формул производных нужно знать на ЕГЭ?

Минимум 12 базовых табличных формул плюс 4 правила дифференцирования (сумма, произведение, частное, сложная функция). Этого достаточно для всех задач задания 8 и 11. Остальные формулы либо выводятся из базовых, либо не встречаются в школьном курсе.

Как запомнить таблицу производных?

Вывести её один раз самому через определение и правила. Производная $x^n$ выводится из определения через бином Ньютона. Производная $\sin x$ — из формулы сложения. После вывода формулы запоминаются как родные, а не как набор случайных символов.

Чему равна производная $x^n$?

$(x^n)' = n x^{n-1}$ для любого действительного $n$ (целого, дробного, отрицательного). Формула работает одинаково: $(x^3)' = 3x^2$, $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$, $(1/x)' = (x^{-1})' = -x^{-2}$.

Производная корня?

$(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ при $x > 0$. Это частный случай формулы $(x^n)'$ при $n = 1/2$. Общая формула: $(\sqrt[n]{x})' = \frac{1}{n \cdot \sqrt[n]{x^{n-1}}}$.

Производная $e^x$ и $a^x$ одинаковы?

Нет. $(e^x)' = e^x$ — показательная функция с основанием $e$ дифференцируется сама в себя. $(a^x)' = a^x \ln a$ для произвольного основания $a > 0$, $a \ne 1$. Если $a = e$, то $\ln e = 1$, и формула превращается в $e^x$.

Чему равна производная натурального логарифма?

$(\ln x)' = \frac{1}{x}$ при $x > 0$. Это одна из самых важных формул для задания 11. Для логарифма с произвольным основанием $(\log_a x)' = \frac{1}{x \ln a}$.

Какой ОДЗ у производной $\ln x$?

$x > 0$. Сам логарифм определён только при положительных $x$, и его производная сохраняет то же ограничение. При исследовании функций на экстремумы это важно — в точках $x \le 0$ производная не определена, их пропускают.

Почему производная косинуса с минусом?

Это следует из определения через предел и формулы сложения косинуса. Геометрически: в нуле косинус имеет горизонтальную касательную ($\cos 0 = 1$ — максимум), значит производная нуль. Далее функция убывает, производная отрицательна — как раз $-\sin x$ начинает расти от нуля в отрицательную сторону.

Можно ли пользоваться таблицей на ЕГЭ?

Нет. На экзамене никакой шпаргалки с производными не выдают. Все 12 формул нужно знать наизусть. В качестве проверки на подготовке — попробуй написать все формулы из памяти на чистом листе. Если хоть одна не пишется за 5 секунд — дорешивай задачи на эту формулу.

Производная тангенса когда не определена?

В точках $x = \pi/2 + \pi k$, где $k$ — любое целое число. В этих точках сам $\tan x$ не определён ($\cos x = 0$), поэтому и производная не существует. При исследовании тригонометрических функций эти точки проверяются отдельно.

Таблица производных — все формулы дифференцирования для ЕГЭ

Таблица производных — это то, что нужно держать в голове на автомате. 12 базовых формул плюс правила для суммы, произведения и сложной функции — и ты решаешь любое задание 8 и 11 без подглядываний. Ниже: полная таблица производных, сводка ключевых первообразных для тех, кто уже добрался до интегралов, и все правила в одном месте.

Геометрический смысл производной. График функции y = x² (honey) и её касательная y = 2x − 1 (secondary honey) в точке касания (1, 1). Угол α между касательной и осью Ox такой, что tan α = f'(1) = 2. — Производная в точке = тангенс угла наклона касательной к графику: f'(x₀) = tan α.

Базовые формулы производных

Константа.

$(c)^{'} = 0$

Константа не меняется — её скорость изменения нулевая.

Степенная функция.

$(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$

Формула работает для любого действительного $n$ : целого, дробного, отрицательного. Особенно полезно помнить частные случаи:

$(x)^{'} = 1$ (при $n = 1$ );
$(x^{2})^{'} = 2 x$ ;
$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ (при $n = 1/2$ );
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ (при $n = - 1$ ).

Тригонометрические производные

$(sin x)^{'} = cos x$ $(cos x)^{'} = - sin x$ $(tan x)^{'} = \frac{1}{cos ^{2} x}$ $(cot x)^{'} = - \frac{1}{sin ^{2} x}$

Производная синуса — косинус (без минуса). Производная косинуса — синус с минусом. Не путай знаки — это самая частая ошибка в заданиях на производную тригонометрических функций.

Для тангенса и котангенса формулы выводятся через правило частного: $tan x = \frac{s i n x}{c o s x}$ , применяешь формулу $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ и упрощаешь.

Показательные и логарифмические

$(e^{x})^{'} = e^{x}$ $(a^{x})^{'} = a^{x} ln a$ $(ln x)^{'} = \frac{1}{x}$ $(lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x ln a}$

Показательная функция с основанием $e$ — единственная функция, равная своей производной. Это определяющее свойство числа $e$ .

Для показательной функции с произвольным основанием $a$ появляется множитель $ln a$ . При $a = e$ получаем $ln e = 1$ , и формула совпадает с $(e^{x})^{'}$ .

Логарифм с произвольным основанием сводится к натуральному через формулу $lo g_{a} x = \frac{l n x}{l n a}$ . Отсюда и производная: $\frac{1}{x l n a}$ .

Полная таблица производных

Вот все 12 формул в одном месте. Учи их наизусть.

$f (x)$	$f^{'} (x)$	ОДЗ производной
$c$	$0$	—
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$	зависит от $n$
$x$	$\frac{1}{2 x}$	$x > 0$
$\frac{1}{x}$	$- \frac{1}{x ^{2}}$	$x \neq = 0$
$sin x$	$cos x$	—
$cos x$	$- sin x$	—
$tan x$	$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$x \neq = \frac{π}{2} + π k$
$cot x$	$- \frac{1}{sin ^{2} x}$	$x \neq = π k$
$e^{x}$	$e^{x}$	—
$a^{x}$	$a^{x} ln a$	—
$ln x$	$\frac{1}{x}$	$x > 0$
$lo g_{a} x$	$\frac{1}{x ln a}$	$x > 0$

Правила дифференцирования

Таблица — это только половина дела. Вторая половина — правила, которые применяют к выражениям из нескольких функций.

Подробный разбор каждого правила с примерами — в отдельной статье Правила дифференцирования: там разобраны сумма, произведение и частное с пошаговыми примерами задания 11.

Сумма и разность. $(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}$ — дифференцируешь каждое слагаемое отдельно.

Константа как множитель. $(c u)^{'} = c u^{'}$ — константа выносится за знак производной.

Произведение. $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ — правило Лейбница. Не забывай оба слагаемых.

Частное. $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ при $v \neq = 0$ .

Сложная функция. $(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ — производная внешней функции от внутренней, умноженная на производную внутренней. Полный разбор с цепным правилом — в статье Производная сложной функции.

Производная от корня и дроби — разбор

Производная квадратного корня и обратной функции — самые частые случаи степенной формулы в задании 11. Разберём оба.

Производная квадратного корня. $x = x^{1/2}$ . Применяем $(x^{n})^{'}$ при $n = 1/2$ :

$(x)^{'} = \frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}$

Производная обратной функции. $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ . Применяем $(x^{n})^{'}$ при $n = - 1$ :

$(\frac{1}{x})^{'} = - x^{- 2} = - \frac{1}{x ^{2}}$

Обе формулы выводятся из одной общей и их не нужно запоминать отдельно.

Сводная таблица первообразных (ключевые формулы)

Производная и первообразная — операции обратные. Если умеешь читать таблицу производных справа налево, таблицу первообразных получишь бесплатно. Ниже — 10 самых нужных формул: этого хватает для заданий 8, 11 и задач на площадь криволинейной трапеции.

$f (x)$	$\int f (x) d x$	Применяется в
$x^{n}$ , $n \neq = - 1$	$\frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$	№11, площадь
$\frac{1}{x}$	$\ln	x
$x$	$\frac{2}{3} x^{3/2} + C$	№11
$e^{x}$	$e^{x} + C$	№11
$a^{x}$	$\frac{a ^{x}}{ln a} + C$	№11
$sin x$	$- cos x + C$	№11, площадь
$cos x$	$sin x + C$	№11, площадь
$\frac{1}{cos ^{2} x}$	$tan x + C$	№11
$\frac{1}{sin ^{2} x}$	$- cot x + C$	№11
$\frac{1}{1 - x ^{2}}$	$arcsin x + C$	редко

Главный приём самопроверки. Нашёл первообразную — продифференцируй результат. Должна вернуться исходная функция. Например: $\int cos x d x = sin x + C$ . Проверка: $(sin x)^{'} = cos x$ — верно.

Знак в тригонометрии. Первообразная $sin x$ — это $- cos x + C$ (с минусом). Первообразная $cos x$ — это $sin x + C$ (без минуса). Минус «прыгает» к синусу, а не к косинусу — это зеркальная ситуация относительно таблицы производных.

Формула Ньютона-Лейбница связывает первообразную с конкретным числом:

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

Как применять формулу для вычисления площади — в статье Формула Ньютона-Лейбница.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Найди $(x^{5})^{'}$ .

Решение. По формуле $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ при $n = 5$ :

$(x^{5})^{'} = 5 x^{4}$

Ответ: $5 x^{4}$ .

Типичная ошибка. Написать $5 x^{5}$ — забыть уменьшить показатель на единицу.

Пример 2 (уровень Б). Найди производную функции $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

Решение. По правилу суммы дифференцируем каждое слагаемое:

$(x)^{'} = \frac{1}{2 x}$ ;
$(\frac{1}{x})^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ .

Складываем:

$f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{x ^{2}}$

Ответ: $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{1}{x ^{2}}$ .

Типичная ошибка. Не распознать корень и дробь как степенные функции с дробным и отрицательным показателем.

Пример 3 (уровень В). Найди производную функции $f (x) = ln (3 x + 1)$ .

Решение. Это сложная функция: внешняя — $ln u$ , внутренняя — $u = 3 x + 1$ . По правилу сложной функции:

$f^{'} (x) = \frac{1}{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)^{'} = \frac{1}{3 x + 1} \cdot 3 = \frac{3}{3 x + 1}$

Ответ: $f^{'} (x) = \frac{3}{3 x + 1}$ .

Типичная ошибка. Написать $\frac{1}{3 x + 1}$ — забыть умножить на производную внутренней функции. Это одна из самых частых ошибок в задании 11.

Типичные ошибки

Забывать знак минус у $cos x$ . $(cos x)^{'} = - sin x$ — минус обязателен. Если написать $+ sin x$ , дальнейший анализ знака производной пойдёт по неверному пути.
Ошибаться в производной частного. В формуле $(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ в числителе стоит разность (с минусом), а не сумма. Путаница знака меняет смысл всей задачи.
Не применять правило сложной функции. Если внутри синуса, логарифма, корня не просто $x$ , а выражение — обязательно умножай на производную этого выражения.
Не учитывать ОДЗ. $ln x$ и $x$ определены только при $x > 0$ . Производные наследуют ОДЗ.
Забывать раскрыть степень перед дифференцированием. Если функция $3 x^{2}$ — перепиши её как $x^{2/3}$ и применяй $(x^{n})^{'}$ . Прямое дифференцирование вложенных корней — лишний шанс ошибиться.

Связь с разделом «Начала анализа»

Таблица производных — это не отдельная тема, а центральный инструмент всего раздела. Вот как она встраивается в остальные статьи:

Производная — что такое производная, физический и геометрический смысл, зачем вообще нужна таблица.
Правила дифференцирования — как применять таблицу к суммам, произведениям и частным. Без этих правил сама таблица работает только для простейших функций.
Производная сложной функции — цепное правило поверх таблицы. Нужно для любой составной функции типа $sin (3 x)$ или $e^{x^{2}}$ .
Таблица первообразных — обратная сторона таблицы производных. Те же функции, только читаешь справа налево: это основа всего интегрального исчисления.
Неопределённый интеграл — что такое первообразная и неопределённый интеграл, как связаны с таблицей производных.
Формула Ньютона-Лейбница — где первообразные дают конкретный числовой результат. Именно через эту формулу таблица производных «переходит» в задачи на площадь и объём.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Производные — сквозной инструмент всего раздела анализа в ЕГЭ профиль.

Задание 8 — производная и график — задачи на чтение графика функции и касательной. Нужно уметь читать таблицу, чтобы узнать производную по виду графика.
Задание 11 — исследование функции — экстремумы, монотонность, наибольшее и наименьшее значение. Производная из таблицы нужна на каждом шаге: найти $f^{'} (x)$ , приравнять к нулю, проверить знак.

На экзамене площадь криволинейной трапеции тоже требует таблицы — но уже таблицы первообразных. Если подошёл к этой части программы, переходи на Формулу Ньютона-Лейбница.

Закрепи таблицу производных на практике

Сотик покажет, где ты до сих пор путаешь формулы, и даст точечные задания

Попробовать бесплатно