В чём разница правила Лейбница и обычного умножения?

Правило Лейбница для производной произведения — $(uv)' = u'v + uv'$, два слагаемых. Обычное умножение — $uv$ как функция. Эти разные операции, путать нельзя.

Можно ли пропустить производную внутренней функции в цепном правиле?

Нет. $(\sin(3x))' = 3\cos(3x)$, не $\cos(3x)$. Без множителя $g'(x)$ ответ неверен и теряется балл.

Зачем условие $v \ne 0$ в правиле частного?

Производная определена только там, где функция определена. Если $v(x_0) = 0$, в точке $x_0$ функция $u/v$ не определена, и производная в этой точке не существует.

Что делать, если функция — частное и числитель тоже произведение?

Сначала правило частного — оно даёт структуру. Производные числителя и знаменателя считаешь отдельно, при необходимости снова применяя правила.

Какое правило самое важное на ЕГЭ?

Цепное (правило сложной функции). Без него не считаются производные синусов от выражений, экспонент от выражений — а они в задании 11 встречаются почти всегда.

Нужно ли учить вывод этих правил?

На ЕГЭ — нет. На олимпиадах — да. Для ЕГЭ достаточно уметь применять, понимая откуда взялись слагаемые.

Правила дифференцирования — суммы, произведения, частного, сложной функции

Производная считается через 5 универсальных правил и таблицу. Правила отвечают за структуру функции: как она сложена из частей. Таблица — за конкретные значения для каждого элементарного «кирпичика». Эта страница про правила. Для таблицы есть отдельная тема.

Ответ

По формуле

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

: берём

n = 3

, получаем

3 x^{3 - 1} = 3 x^{2}

. Верно.

Зачем нужны правила дифференцирования

Функции в реальных задачах почти никогда не бывают «чистыми» $x^{n}$ или $sin x$ . Чаще встречается что-то вроде $\frac{s i n ( 2 x )}{x ^{2} + 3}$ или $(x^{2} + 1) ln x$ . Таблицей производных напрямую здесь не воспользуешься.

Правила дифференцирования решают эту проблему. Они разбивают сложную функцию на составные части и дают алгоритм: как вычислить производную каждой части, а потом собрать результат.

На ЕГЭ правила нужны в двух заданиях. В задании 7 — найти производную в точке или написать уравнение касательной. В задании 11 — исследовать функцию на экстремумы, где производная стоит в основе всего метода. Без уверенного владения правилами задание 11 профиля практически невозможно закрыть.

Какое правило нужно применить для $f (x) = x^{2} \cdot sin x$ ?

Ответ

Произведение двух функций — применяй правило Лейбница:

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

. Здесь

u = x^{2}

v = sin x

Правило 1 — производная константы и линейности

Начнём с самого простого. Производная числовой константы равна нулю:

(c)^{'} = 0

Постоянная не меняется, поэтому её скорость изменения равна нулю. График $y = c$ — горизонтальная прямая, касательная к ней всегда горизонтальна, тангенс угла наклона ноль.

Из этого вытекает правило линейности: константу можно выносить за знак производной:

(c \cdot u)^{'} = c \cdot u^{'}

Работает, потому что $(c \cdot u)^{'} = c^{'} \cdot u + c \cdot u^{'} = 0 \cdot u + c \cdot u^{'} = c \cdot u^{'}$ — это уже следствие правила произведения, которое разберём чуть ниже.

Пример: $(5 x^{3})^{'} = 5 \cdot (x^{3})^{'} = 5 \cdot 3 x^{2} = 15 x^{2}$ .

Чему равно $(7 x)^{'}$ ?

Ответ

Выносим константу:

7 \cdot (x)^{'} = 7 \cdot \frac{1}{2 x} = \frac{7}{2 x}

Правило 2 — производная суммы и разности

Производная суммы (или разности) равна сумме (или разности) производных каждого слагаемого:

(u \pm v)^{'} = u^{'} \pm v^{'}

Здесь $u$ и $v$ — любые дифференцируемые функции от $x$ .

Правило распространяется на любое число слагаемых. Если функция записана как сумма трёх, четырёх, пяти частей — каждую дифференцируешь отдельно и складываешь результаты.

Пример: найдём $(3 x^{2} + 5 x - 7)^{'}$ .

Дифференцируем каждое слагаемое:

$(3 x^{2})^{'} = 6 x$
$(5 x)^{'} = 5$
$(- 7)^{'} = 0$

Результат:

(3 x^{2} + 5 x - 7)^{'} = 6 x + 5

Обрати внимание: $(- 7)^{'} = 0$ . Константа исчезла из ответа — это не ошибка.

Найди $(x^{4} - 2 x^{2} + 1)^{'}$ .

Ответ

(x^{4})^{'} - (2 x^{2})^{'} + (1)^{'} = 4 x^{3} - 4 x + 0 = 4 x^{3} - 4 x

Правило 3 — производная произведения (правило Лейбница)

Вот где начинается настоящая математика. Производная произведения двух функций — это не произведение их производных. Работает другое правило:

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

Читается так: «производная первого, умноженная на второй, плюс первый, умноженный на производную второго».

$(uv)^{'} \neq = u^{'} v^{'}$ . Это самый распространённый сбой в задании 11. Проверить легко: пусть $u = x$ , $v = x$ , тогда $(x \cdot x)^{'} = (x^{2})^{'} = 2 x$ , а $u^{'} v^{'} = 1 \cdot 1 = 1$ . Очевидно, $2 x \neq = 1$ .

Разберём на примере: $(x \cdot sin x)^{'}$ .

Обозначим $u = x$ , $v = sin x$ . Тогда $u^{'} = 1$ , $v^{'} = cos x$ .

По правилу Лейбница:

(x \cdot sin x)^{'} = 1 \cdot sin x + x \cdot cos x = sin x + x cos x

Правило работает и для трёх множителей: $(uv w)^{'} = u^{'} v w + u v^{'} w + uv w^{'}$ . В ЕГЭ тройное произведение встречается редко, но знать стоит.

Примени правило Лейбница к $(ln x \cdot x^{2})^{'}$ .

Ответ

u = ln x

v = x^{2}

;

u^{'} = 1/ x

v^{'} = 2 x

. Результат:

\frac{1}{x} \cdot x^{2} + ln x \cdot 2 x = x + 2 x ln x

Правило 4 — производная частного

Если функция записана как дробь $\frac{u}{v}$ , производная считается по формуле:

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}, v \neq = 0

Условие $v \neq = 0$ не декоративное. В точках, где знаменатель обращается в ноль, функция $\frac{u}{v}$ не определена, и там производной попросту нет.

Мнемоника для запоминания порядка знаков: «штрих числителя минус штрих знаменателя» — в числителе формулы всегда минус. Знаменатель — всегда в квадрате, без штриха.

В числителе формулы частного: сначала $u^{'} v$ , потом минус $u v^{'}$ . Порядок не переставлять — иначе знак ответа перевернётся.

Пример: $(\frac{x ^{2}}{x + 1})^{'}$ при $x \neq = - 1$ .

$u = x^{2}$ , $v = x + 1$ ; $u^{'} = 2 x$ , $v^{'} = 1$ .

(\frac{x ^{2}}{x + 1})^{'} = \frac{2 x ( x + 1 ) - x ^{2} \cdot 1}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{2 x ^{2} + 2 x - x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}

Запиши формулу производной частного по памяти, не подглядывая.

Ответ

(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

, при

v \neq = 0

. Числитель: штрих-числитель умножен на знаменатель МИНУС числитель умножен на штрих-знаменатель. Знаменатель: знаменатель в квадрате.

Правило 5 — производная сложной функции (цепное правило)

Это самое важное правило для ЕГЭ. Сложная функция — это когда одна функция стоит «внутри» другой: $f (g (x))$ . Например: $sin (x^{2})$ , $e^{3 x}$ , $ln (x^{2} + 1)$ .

Производная вычисляется по цепному правилу:

(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Алгоритм из двух шагов:

Внешняя функция. Считаешь производную внешней функции $f$ , оставляя внутреннюю $g (x)$ нетронутой.
Внутренняя функция. Умножаешь на производную внутренней функции $g^{'} (x)$ .

Разберём: $(sin (x^{2}))^{'} = ?$

Внешняя функция: $sin (\cdot)$ , её производная $cos (\cdot)$ — подставляем внутреннюю обратно: $cos (x^{2})$ . Внутренняя функция: $x^{2}$ , её производная $2 x$ .

По цепному правилу:

(sin (x^{2}))^{'} = cos (x^{2}) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2})

Ещё один пример: $(e^{3 x + 1})^{'} = e^{3 x + 1} \cdot (3 x + 1)^{'} = e^{3 x + 1} \cdot 3 = 3 e^{3 x + 1}$ .

Правило работает и при большей «глубине вложенности»: для $f (g (h (x)))$ цепочка множителей удлиняется ещё на одно звено $h^{'} (x)$ . На ЕГЭ такие случаи редки, но формально правило расширяется именно так.

Найди $(cos (5 x))^{'}$ .

Ответ

Внешняя:

cos (\cdot)

, производная

- sin (\cdot)

. Внутренняя:

5 x

, производная

5

. Итог:

- sin (5 x) \cdot 5 = - 5 sin (5 x)

Типичная ошибка. Написать $(uv)^{'} = u^{'} \cdot v^{'} = 2 x \cdot \frac{1}{x} = 2$ . Это неверно. Правило Лейбница — два слагаемых, не произведение производных.

Пример 3 (уровень В, два шага свёрнуты). Найди производную $f (x) = \frac{sin ( 2 x )}{x ^{2} + 3}$ .

Здесь нужны два правила сразу: правило частного (дробная структура) и цепное правило (синус от выражения).

Шаг 1. Запиши $u = sin (2 x)$ , $v = x^{2} + 3$ . Чему равны $u^{'}$ и $v^{'}$ ? Найди сам, применяя нужные правила к каждому.

Посмотреть

v^{'} = (x^{2} + 3)^{'} = 2 x

— правило суммы и степени. Для

u = sin (2 x)

нужно цепное правило. Внешняя функция

sin (\cdot)

, производная

cos (\cdot)

; внутренняя

2 x

, производная

2

. Итого:

u^{'} = cos (2 x) \cdot 2 = 2 cos (2 x)

Шаг 2. Подставь $u^{'}$ и $v^{'}$ в формулу производной частного и запиши ответ.

Посмотреть

f^{'} (x) = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}} = \frac{2 c o s ( 2 x ) \cdot ( x ^{2} + 3 ) - s i n ( 2 x ) \cdot 2 x}{( x ^{2} + 3 ) ^{2}}

Итоговая проверка. Убедись, что в числителе два слагаемых с правильными знаками: первое $+ 2 cos (2 x) (x^{2} + 3)$ , второе $- 2 x sin (2 x)$ . Знаменатель — $(x^{2} + 3)^{2}$ , без штриха.

Типичная ошибка. Написать $u^{'} = cos (2 x)$ , забыв умножить на производную внутренней функции $2$ . Без этого множителя ответ неверен — цепное правило обязательно.

Алгоритм — как выбрать правило

Смотришь на функцию и задаёшь себе вопросы в такой последовательности:

Это одночлен или константа? Дифференцируй по таблице напрямую.
Это сумма или разность? Применяй правило суммы — дифференцируй каждое слагаемое отдельно.
Это произведение двух функций? Правило Лейбница: $u^{'} v + u v^{'}$ .
Это дробь вида $\frac{u}{v}$ ? Правило частного: $\frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$ .
Есть ли вложенность: функция от функции, например $sin (x^{2})$ или $e^{3 x}$ ? Цепное правило: производная внешней умножается на производную внутренней.

Один совет из практики: большинство функций в задании 11 — это комбинация правил. Сначала определи «верхний уровень» структуры (сумма? произведение? дробь?), разберись с ним, а затем считай производные частей, снова применяя тот же алгоритм рекурсивно.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди производную $f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} + 2 x - 9$ .

Решение. Функция — сумма четырёх слагаемых. Дифференцируем каждое по правилу суммы и линейности:

$(4 x^{3})^{'} = 4 \cdot 3 x^{2} = 12 x^{2}$ (вынесли 4, применили $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ )
$(- 7 x^{2})^{'} = - 7 \cdot 2 x = - 14 x$
$(2 x)^{'} = 2$ (производная $x$ равна 1, константу вынесли)
$(- 9)^{'} = 0$ (производная константы)

Складываем:

f^{'} (x) = 12 x^{2} - 14 x + 2

Типичная ошибка. Оставить $- 9$ в ответе: написать $f^{'} (x) = 12 x^{2} - 14 x + 2 - 9$ . Производная константы равна нулю, она пропадает.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Найди производную $f (x) = (x^{2} + 1) ln x$ .

Решение. Это произведение двух функций. Обозначим $u = x^{2} + 1$ , $v = ln x$ .

По правилу Лейбница $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ :

$u^{'} = 2 x$
$v^{'} = \frac{1}{x}$

Подставляем:

f^{'} (x) = 2 x \cdot ln x + (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{x}

Попробуй сам упростить второе слагаемое: раскрой дробь $(x^{2} + 1) / x$ , разбив числитель. Что получится?

Посмотреть

\frac{x ^{2} + 1}{x} = x + \frac{1}{x}

Тогда полный ответ:

f^{'} (x) = 2 x ln x + x + \frac{1}{x}

Типичные ошибки

$(uv)^{'} = u^{'} v^{'}$ — произведение производных вместо правила Лейбница. Проверяй себя на простом примере: $(x \cdot x)^{'} = (x^{2})^{'} = 2 x$ , а не $1 \cdot 1 = 1$ .
Забыть умножить на производную внутренней функции. Самая дорогая ошибка в задании 11. $(ln (x^{2} + 1))^{'} = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x$ , а не просто $\frac{1}{x ^{2} + 1}$ .
Перепутать знак в правиле частного. В числителе формулы: сначала $u^{'} v$ , потом минус $u v^{'}$ . Если написать $u v^{'} - u^{'} v$ — знак ответа перевернётся.
Не упростить ответ перед использованием. В задании 11 после нахождения производной нужно решать уравнение $f^{'} (x) = 0$ . Если производная записана громоздко, решать сложнее. Сокращай общие множители там, где они есть.
Применять правило частного там, где функцию можно упростить. Например, $\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}$ при $x \neq = 0$ — это уже не дробь. Упрости сначала, дифференцируй потом.

Связь с другими темами

Правила дифференцирования — это рабочий инструмент, который нужен везде, где считается производная. Сами по себе формулы ничего не дают без таблицы производных: правила задают структуру, таблица даёт конкретные значения для элементарных функций. Эти две темы нужно знать вместе.

После того как ты уверенно считаешь производную любой функции, следующий шаг — наибольшее и наименьшее значение функции. Там производная уже не цель, а инструмент: ты ищешь, где $f^{'} (x) = 0$ , анализируешь знак производной на промежутках и определяешь экстремумы.

И, конечно, без понимания самого определения производной — что именно означает $f^{'} (x)$ геометрически и аналитически — применение правил превращается в механическое действие без смысла. Если что-то до сих пор туманно по базе, вернись к теме Производная.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Правила вычисления производной напрямую нужны в двух заданиях профильной математики.

Задание 7 — вычислить производную функции в точке или найти угловой коэффициент касательной. Здесь функции, как правило, умеренной сложности: сумма, произведение, иногда сложная функция. Цена ошибки в правиле Лейбница или цепном правиле — потеря балла.

Задание 11 — исследование функции на промежутке: найти наибольшее или наименьшее значение, точки экстремума. Функции здесь сложнее, часто совмещают произведение и сложную функцию или дробь и сложную функцию одновременно. Умение выбрать правило и применить его без ошибок — ключевое условие полного решения задания 11 профиля.

Отработай правила дифференцирования на задачах ЕГЭ

Адаптивный тренажёр даст именно те типы, где ты пока ошибаешься

Начать бесплатно

Правила дифференцирования — все 5 правил с разборами

Зачем нужны правила дифференцирования

Правило 1 — производная константы и линейности

Правило 2 — производная суммы и разности

Правило 3 — производная произведения (правило Лейбница)

Правило 4 — производная частного

Правило 5 — производная сложной функции (цепное правило)

Алгоритм — как выбрать правило

Разбор примеров

Типичные ошибки

Связь с другими темами

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Частые вопросы

Смежные темы