Правила дифференцирования — все 5 правил с разборами

Производная считается через 5 универсальных правил и таблицу. Правила отвечают за структуру функции: как она сложена из частей. Таблица — за конкретные значения для каждого элементарного «кирпичика». Эта страница про правила. Для таблицы есть отдельная тема.

Зачем нужны правила дифференцирования

Функции в реальных задачах почти никогда не бывают «чистыми» $x^n$ или $\sin x$. Чаще встречается что-то вроде $\frac{\sin(2x)}{x^2+3}$ или $(x^2+1)\ln x$. Таблицей производных напрямую здесь не воспользуешься.

Правила дифференцирования решают эту проблему. Они разбивают сложную функцию на составные части и дают алгоритм: как вычислить производную каждой части, а потом собрать результат.

На ЕГЭ правила нужны в двух заданиях. В задании 7 — найти производную в точке или написать уравнение касательной. В задании 11 — исследовать функцию на экстремумы, где производная стоит в основе всего метода. Без уверенного владения правилами задание 11 профиля практически невозможно закрыть.

Какое правило нужно применить для $f(x) = x^2 \cdot \sin x$?

Правило 1 — производная константы и линейности

Начнём с самого простого. Производная числовой константы равна нулю:

Постоянная не меняется, поэтому её скорость изменения равна нулю. График $y = c$ — горизонтальная прямая, касательная к ней всегда горизонтальна, тангенс угла наклона ноль.

Из этого вытекает правило линейности: константу можно выносить за знак производной:

Работает, потому что $(c \cdot u)' = c' \cdot u + c \cdot u' = 0 \cdot u + c \cdot u' = c \cdot u'$ — это уже следствие правила произведения, которое разберём чуть ниже.

Пример: $(5x^3)' = 5 \cdot (x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2$.

Чему равно $(7\sqrt{x})'$?

Правило 2 — производная суммы и разности

Производная суммы (или разности) равна сумме (или разности) производных каждого слагаемого:

Здесь $u$ и $v$ — любые дифференцируемые функции от $x$.

Правило распространяется на любое число слагаемых. Если функция записана как сумма трёх, четырёх, пяти частей — каждую дифференцируешь отдельно и складываешь результаты.

Пример: найдём $(3x^2 + 5x - 7)'$.

Дифференцируем каждое слагаемое:

• $(3x^2)' = 6x$
• $(5x)' = 5$
• $(-7)' = 0$

Результат:

Обрати внимание: $(-7)' = 0$. Константа исчезла из ответа — это не ошибка.

Найди $(x^4 - 2x^2 + 1)'$.

Правило 3 — производная произведения (правило Лейбница)

Вот где начинается настоящая математика. Производная произведения двух функций — это не произведение их производных. Работает другое правило:

Читается так: «производная первого, умноженная на второй, плюс первый, умноженный на производную второго».

$(uv)' \ne u'v'$. Это самый распространённый сбой в задании 11. Проверить легко: пусть $u = x$, $v = x$, тогда $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$, а $u'v' = 1 \cdot 1 = 1$. Очевидно, $2x \ne 1$.

Разберём на примере: $(x \cdot \sin x)'$.

Обозначим $u = x$, $v = \sin x$. Тогда $u' = 1$, $v' = \cos x$.

По правилу Лейбница:

Правило работает и для трёх множителей: $(uvw)' = u'vw + uv'w + uvw'$. В ЕГЭ тройное произведение встречается редко, но знать стоит.

Примени правило Лейбница к $(\ln x \cdot x^2)'$.

Правило 4 — производная частного

Если функция записана как дробь $\frac{u}{v}$, производная считается по формуле:

Условие $v \ne 0$ не декоративное. В точках, где знаменатель обращается в ноль, функция $\frac{u}{v}$ не определена, и там производной попросту нет.

Мнемоника для запоминания порядка знаков: «штрих числителя минус штрих знаменателя» — в числителе формулы всегда минус. Знаменатель — всегда в квадрате, без штриха.

В числителе формулы частного: сначала $u'v$, потом минус $uv'$. Порядок не переставлять — иначе знак ответа перевернётся.

Пример: $\left(\frac{x^2}{x+1}\right)'$ при $x \ne -1$.

$u = x^2$, $v = x+1$; $u' = 2x$, $v' = 1$.

Запиши формулу производной частного по памяти, не подглядывая.

Правило 5 — производная сложной функции (цепное правило)

Это самое важное правило для ЕГЭ. Сложная функция — это когда одна функция стоит «внутри» другой: $f(g(x))$. Например: $\sin(x^2)$, $e^{3x}$, $\ln(x^2+1)$.

Производная вычисляется по цепному правилу:

Алгоритм из двух шагов:

1. Внешняя функция. Считаешь производную внешней функции $f$, оставляя внутреннюю $g(x)$ нетронутой.
2. Внутренняя функция. Умножаешь на производную внутренней функции $g'(x)$.

Разберём: $(\sin(x^2))' = ?$

Внешняя функция: $\sin(\cdot)$, её производная $\cos(\cdot)$ — подставляем внутреннюю обратно: $\cos(x^2)$. Внутренняя функция: $x^2$, её производная $2x$.

По цепному правилу:

Ещё один пример: $(e^{3x+1})' = e^{3x+1} \cdot (3x+1)' = e^{3x+1} \cdot 3 = 3e^{3x+1}$.

Правило работает и при большей «глубине вложенности»: для $f(g(h(x)))$ цепочка множителей удлиняется ещё на одно звено $h'(x)$. На ЕГЭ такие случаи редки, но формально правило расширяется именно так.

Найди $(\cos(5x))'$.

Типичная ошибка. Написать $(uv)' = u' \cdot v' = 2x \cdot \frac{1}{x} = 2$. Это неверно. Правило Лейбница — два слагаемых, не произведение производных.

Пример 3 (уровень В, два шага свёрнуты). Найди производную $f(x) = \dfrac{\sin(2x)}{x^2 + 3}$.

Здесь нужны два правила сразу: правило частного (дробная структура) и цепное правило (синус от выражения).

Шаг 1. Запиши $u = \sin(2x)$, $v = x^2 + 3$. Чему равны $u'$ и $v'$? Найди сам, применяя нужные правила к каждому.

Шаг 2. Подставь $u'$ и $v'$ в формулу производной частного и запиши ответ.

Итоговая проверка. Убедись, что в числителе два слагаемых с правильными знаками: первое $+2\cos(2x)(x^2+3)$, второе $-2x\sin(2x)$. Знаменатель — $(x^2+3)^2$, без штриха.

Типичная ошибка. Написать $u' = \cos(2x)$, забыв умножить на производную внутренней функции $2$. Без этого множителя ответ неверен — цепное правило обязательно.

Алгоритм — как выбрать правило

Смотришь на функцию и задаёшь себе вопросы в такой последовательности:

1. Это одночлен или константа? Дифференцируй по таблице напрямую.
2. Это сумма или разность? Применяй правило суммы — дифференцируй каждое слагаемое отдельно.
3. Это произведение двух функций? Правило Лейбница: $u'v + uv'$.
4. Это дробь вида $\frac{u}{v}$? Правило частного: $\frac{u'v - uv'}{v^2}$.
5. Есть ли вложенность: функция от функции, например $\sin(x^2)$ или $e^{3x}$? Цепное правило: производная внешней умножается на производную внутренней.

Один совет из практики: большинство функций в задании 11 — это комбинация правил. Сначала определи «верхний уровень» структуры (сумма? произведение? дробь?), разберись с ним, а затем считай производные частей, снова применяя тот же алгоритм рекурсивно.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А, полный разбор). Найди производную $f(x) = 4x^3 - 7x^2 + 2x - 9$.

Решение. Функция — сумма четырёх слагаемых. Дифференцируем каждое по правилу суммы и линейности:

• $(4x^3)' = 4 \cdot 3x^2 = 12x^2$ (вынесли 4, применили $(x^n)' = nx^{n-1}$)
• $(-7x^2)' = -7 \cdot 2x = -14x$
• $(2x)' = 2$ (производная $x$ равна 1, константу вынесли)
• $(-9)' = 0$ (производная константы)

Складываем:

Типичная ошибка. Оставить $-9$ в ответе: написать $f'(x) = 12x^2 - 14x + 2 - 9$. Производная константы равна нулю, она пропадает.

Пример 2 (уровень Б, один шаг свёрнут). Найди производную $f(x) = (x^2 + 1)\ln x$.

Решение. Это произведение двух функций. Обозначим $u = x^2 + 1$, $v = \ln x$.

По правилу Лейбница $(uv)' = u'v + uv'$:

• $u' = 2x$
• $v' = \frac{1}{x}$

Подставляем:

Попробуй сам упростить второе слагаемое: раскрой дробь $(x^2+1)/x$, разбив числитель. Что получится?

Типичные ошибки

1. $(uv)' = u'v'$ — произведение производных вместо правила Лейбница. Проверяй себя на простом примере: $(x \cdot x)' = (x^2)' = 2x$, а не $1 \cdot 1 = 1$.

2. Забыть умножить на производную внутренней функции. Самая дорогая ошибка в задании 11. $(\ln(x^2+1))' = \frac{1}{x^2+1} \cdot 2x$, а не просто $\frac{1}{x^2+1}$.

3. Перепутать знак в правиле частного. В числителе формулы: сначала $u'v$, потом минус $uv'$. Если написать $uv' - u'v$ — знак ответа перевернётся.

4. Не упростить ответ перед использованием. В задании 11 после нахождения производной нужно решать уравнение $f'(x) = 0$. Если производная записана громоздко, решать сложнее. Сокращай общие множители там, где они есть.

5. Применять правило частного там, где функцию можно упростить. Например, $\frac{x^3}{x} = x^2$ при $x \ne 0$ — это уже не дробь. Упрости сначала, дифференцируй потом.

Связь с другими темами

Правила дифференцирования — это рабочий инструмент, который нужен везде, где считается производная. Сами по себе формулы ничего не дают без таблицы производных: правила задают структуру, таблица даёт конкретные значения для элементарных функций. Эти две темы нужно знать вместе.

После того как ты уверенно считаешь производную любой функции, следующий шаг — наибольшее и наименьшее значение функции. Там производная уже не цель, а инструмент: ты ищешь, где $f'(x) = 0$, анализируешь знак производной на промежутках и определяешь экстремумы.

И, конечно, без понимания самого определения производной — что именно означает $f'(x)$ геометрически и аналитически — применение правил превращается в механическое действие без смысла. Если что-то до сих пор туманно по базе, вернись к теме Производная.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Правила вычисления производной напрямую нужны в двух заданиях профильной математики.

Задание 7 — вычислить производную функции в точке или найти угловой коэффициент касательной. Здесь функции, как правило, умеренной сложности: сумма, произведение, иногда сложная функция. Цена ошибки в правиле Лейбница или цепном правиле — потеря балла.

Задание 11 — исследование функции на промежутке: найти наибольшее или наименьшее значение, точки экстремума. Функции здесь сложнее, часто совмещают произведение и сложную функцию или дробь и сложную функцию одновременно. Умение выбрать правило и применить его без ошибок — ключевое условие полного решения задания 11 профиля.