Задание 11 — это 4 балла за исследование функции с помощью производной. Монотонность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение на промежутке. Задача всегда решается по одному и тому же алгоритму.

Что проверяет задание 11

  • Нахождение производной (алгебраическое)
  • Нахождение критических точек (производная = 0)
  • Знак производной и монотонность
  • Определение экстремумов (максимум/минимум)
  • Нахождение наибольшего/наименьшего значения на промежутке

Баллы: максимум 4 (обычно 2 за правильный ход, 2 за правильный ответ).

Алгоритм исследования функции

  1. Найти f′(x)f'(x)
  2. Приравнять f′(x)=0f'(x) = 0, найти критические точки
  3. Определить знак f′(x)f'(x) на каждом промежутке
  4. Записать монотонность: f′(x)>0f'(x) > 0 — возрастает, f′(x)<0f'(x) < 0 — убывает
  5. Определить экстремумы:
    • Если f′f' меняет знак ++ на −- — это максимум
    • Если f′f' меняет знак −- на ++ — это минимум
  6. Найти значения функции в критических точках и на концах промежутка (если нужно)
  7. Выбрать наибольшее/наименьшее

Тип 1: Монотонность и экстремумы

Пример. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x.

Решение: f′(x)=3x2−3=3(x2−1)=3(x−1)(x+1)f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)

Критические точки: x=−1x = -1 и x=1x = 1.

Знак производной:

  • x<−1x < -1: f′(x)>0f'(x) > 0 — возрастает
  • −1<x<1-1 < x < 1: f′(x)<0f'(x) < 0 — убывает
  • x>1x > 1: f′(x)>0f'(x) > 0 — возрастает

Экстремумы:

  • x=−1x = -1: максимум, f(−1)=−1+3=2f(-1) = -1 + 3 = 2
  • x=1x = 1: минимум, f(1)=1−3=−2f(1) = 1 - 3 = -2

Тип 2: Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

На закрытом промежутке [a,b][a, b] наибольшее/наименьшее значение — это максимум из: все критические точки внутри [a,b][a, b] + значения на концах.

Пример. Найти наибольшее значение f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x на [−2,2][-2, 2].

Решение:

  • Критические точки x=−1x = -1 и x=1x = 1 — обе внутри [−2,2][-2, 2]
  • f(−2)=−8+6=−2f(-2) = -8 + 6 = -2
  • f(−1)=2f(-1) = 2 (максимум функции)
  • f(1)=−2f(1) = -2
  • f(2)=8−6=2f(2) = 8 - 6 = 2

Наибольшее значение: f(−1)=f(2)=2f(-1) = f(2) = 2.

Тип 3: Задачи «найди экстремум на промежутке с условием»

В ЕГЭ часто условие вида: «найдите наибольшее значение f(x)f(x) при x>0x > 0» или «на промежутке (0;+∞)(0; +\infty)».

Алгоритм тот же, только для открытого промежутка концы не считаем — только внутренние критические точки.

Пример. f(x)=8x+x2f(x) = \frac{8}{x} + x^2, x>0x > 0. Найти минимум.

Решение: f′(x)=−8x2+2x=−8+2x3x2f'(x) = -\frac{8}{x^2} + 2x = \frac{-8 + 2x^3}{x^2}

f′(x)=0f'(x) = 0: 2x3=82x^3 = 8, x3=4x^3 = 4, x=43x = \sqrt[3]{4}.

Знак: при 0<x<430 < x < \sqrt[3]{4} производная отрицательная (убывает), при x>43x > \sqrt[3]{4} — положительная (возрастает). Значит, x=43x = \sqrt[3]{4} — минимум.

f(43)=843+(43)2=2⋅43+163f(\sqrt[3]{4}) = \frac{8}{\sqrt[3]{4}} + (\sqrt[3]{4})^2 = 2 \cdot \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{16}

Тип 4: Функции с трансцендентными слагаемыми

Логарифм, показатель. Алгоритм тот же, но важно правильно дифференцировать.

Напоминание:

  • (ln⁡x)′=1x(\ln x)' = \frac{1}{x}
  • (ex)′=ex(e^x)' = e^x
  • (ax)′=axln⁡a(a^x)' = a^x \ln a

Пример. f(x)=x⋅e−xf(x) = x \cdot e^{-x}, x∈Rx \in \mathbb{R}. Найти максимум.

f′(x)=e−x+x⋅(−e−x)=e−x(1−x)f'(x) = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)

f′(x)=0f'(x) = 0: x=1x = 1 (так как e−x≠0e^{-x} \neq 0).

При x<1x < 1: f′(x)>0f'(x) > 0 (возрастает), при x>1x > 1: f′(x)<0f'(x) < 0 (убывает). Максимум при x=1x = 1: f(1)=1⋅e−1=1ef(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}

Типичные ошибки в задании 11

Ошибка 1. Забыть проверить значения на концах промежутка при поиске наибольшего/наименьшего — там может быть экстремум.

Ошибка 2. Перепутать знак монотонности: f′(x)>0f'(x) > 0 = возрастает (а не убывает).

Ошибка 3. Критическая точка = стационарная точка, но не всегда экстремум. Проверяй смену знака производной.

Ошибка 4. При дифференцировании дробей и произведений — использовать правила неправильно.

Ошибка 5. На открытом промежутке пытаться посчитать значение в «бесконечности» как ответ.

Чек-лист по заданию 11

  • Умею дифференцировать многочлены, дроби, произведения
  • Нахожу критические точки (производная = 0)
  • Определяю знак производной на каждом промежутке
  • Нахожу максимум/минимум с проверкой смены знака
  • При задаче «на отрезке» — проверяю концы

Связанные темы

В Сотах задание 11 начинается с простых многочленов, потом идут дроби и трансцендентные функции. Система сама видит, где ты теряешь знак или забываешь концы промежутка.