Задание 11 ЕГЭ профиль: исследование функции

Задание 11 — это 1 балл за исследование функции с помощью производной. Монотонность, экстремумы, наибольшее и наименьшее значение на промежутке. Часть 1, ответ — число, и задача всегда решается по одному и тому же алгоритму.

Что проверяет задание 11

• Нахождение производной (алгебраическое)
• Нахождение критических точек (производная = 0)
• Знак производной и монотонность
• Определение экстремумов (максимум/минимум)
• Нахождение наибольшего/наименьшего значения на промежутке

Баллы: 1 (часть 1, ответ — число; промежуточные шаги не оцениваются — важен верный итог).

Алгоритм исследования функции

1. Найти $f^{\prime }(x)$
2. Приравнять $f^{\prime }(x)=0$, найти критические точки
3. Определить знак $f^{\prime }(x)$ на каждом промежутке
4. Записать монотонность: $f^{\prime }(x)>0$ — возрастает, $f^{\prime }(x)<0$ — убывает
5. Определить экстремумы:
   • Если $f^{\prime }$ меняет знак $+$ на $-$ — это максимум
   • Если $f^{\prime }$ меняет знак $-$ на $+$ — это минимум
6. Найти значения функции в критических точках и на концах промежутка (если нужно)
7. Выбрать наибольшее/наименьшее

Тип 1: Монотонность и экстремумы

Пример. Найти промежутки монотонности и точки экстремума функции $f(x)=x^3-3x$.

Решение: $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$

Критические точки: $x=-1$ и $x=1$.

Знак производной:

• $x<-1$: $f^{\prime }(x)>0$ — возрастает
• $-1<x<1$: $f^{\prime }(x)<0$ — убывает
• $x>1$: $f^{\prime }(x)>0$ — возрастает

Экстремумы:

• $x=-1$: максимум, $f(-1)=-1+3=2$
• $x=1$: минимум, $f(1)=1-3=-2$

Тип 2: Наибольшее и наименьшее значение на отрезке

На закрытом промежутке $[a,b]$ наибольшее/наименьшее значение — это максимум из: все критические точки внутри $[a,b]$ + значения на концах.

Пример. Найти наибольшее значение $f(x)=x^3-3x$ на $[-2,2]$.

Решение:

• Критические точки $x=-1$ и $x=1$ — обе внутри $[-2,2]$
• $f(-2)=-8+6=-2$
• $f(-1)=2$ (максимум функции)
• $f(1)=-2$
• $f(2)=8-6=2$

Наибольшее значение: $f(-1)=f(2)=2$.

Тип 3: Задачи «найди экстремум на промежутке с условием»

В ЕГЭ часто условие вида: «найдите наибольшее значение $f(x)$ при $x>0$» или «на промежутке $(0;+\infty )$».

Алгоритм тот же, только для открытого промежутка концы не считаем — только внутренние критические точки.

Пример. $f(x)=\frac{8}{x}+x^2$, $x>0$. Найти минимум.

Решение: $f^{\prime }(x)=-\frac{8}{x^2}+2x=\frac{-8+2x^3}{x^2}$

$f^{\prime }(x)=0$: $2x^3=8$, $x^3=4$, $x=\sqrt[3]{4}$.

Знак: при $0<x<\sqrt[3]{4}$ производная отрицательная (убывает), при $x>\sqrt[3]{4}$ — положительная (возрастает). Значит, $x=\sqrt[3]{4}$ — минимум.

$f(\sqrt[3]{4})=\frac{8}{\sqrt[3]{4}}+(\sqrt[3]{4}{)}^2=4\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2}=6\sqrt[3]{2}$

Тип 4: Функции с трансцендентными слагаемыми

Логарифм, показатель. Алгоритм тот же, но важно правильно дифференцировать.

Напоминание:

• $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$
• $(e^x{)}^{\prime }=e^x$
• $(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

Пример. $f(x)=x\cdot e^{-x}$, $x\in \mathbb{R}$. Найти максимум.

$f^{\prime }(x)=e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$

$f^{\prime }(x)=0$: $x=1$ (так как $e^{-x}\ne 0$).

При $x<1$: $f^{\prime }(x)>0$ (возрастает), при $x>1$: $f^{\prime }(x)<0$ (убывает). Максимум при $x=1$: $f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}$

Типичные ошибки в задании 11

Ошибка 1. Забыть проверить значения на концах промежутка при поиске наибольшего/наименьшего — там может быть экстремум.

Ошибка 2. Перепутать знак монотонности: $f^{\prime }(x)>0$ = возрастает (а не убывает).

Ошибка 3. Критическая точка = стационарная точка, но не всегда экстремум. Проверяй смену знака производной.

Ошибка 4. При дифференцировании дробей и произведений — использовать правила неправильно.

Ошибка 5. На открытом промежутке пытаться посчитать значение в «бесконечности» как ответ.

Чек-лист по заданию 11

• Умею дифференцировать многочлены, дроби, произведения
• Нахожу критические точки (производная = 0)
• Определяю знак производной на каждом промежутке
• Нахожу максимум/минимум с проверкой смены знака
• При задаче «на отрезке» — проверяю концы

Связанные темы

• Задание 12 ЕГЭ: уравнения с отбором корней
• Начала анализа: производная и её применение

В Сотах задание 11 начинается с простых многочленов, потом идут дроби и трансцендентные функции. Система сама видит, где ты теряешь знак или забываешь концы промежутка.