Зачем в неопределённом интеграле пишут +C?

Потому что у одной функции бесконечно много первообразных — они отличаются друг от друга на константу. Например, и x², и x²+5, и x²−7 — всё это первообразные для 2x. Константа C обозначает весь этот набор сразу.

Чем отличается определённый интеграл от неопределённого?

Неопределённый интеграл — это семейство функций (результат — функция с +C). Определённый интеграл берётся на отрезке [a, b] и даёт конкретное число — площадь под графиком или другую геометрическую/физическую величину.

Как проверить, правильно ли найдена первообразная?

Возьми производную от результата. Если получишь исходную функцию — всё верно. Например, первообразная 3x² — это x³+C. Проверка: (x³+C)' = 3x² — совпадает.

Что делать, если функция — сумма нескольких слагаемых?

Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Бери первообразную каждого слагаемого отдельно и складывай результаты. Одну константу C пишешь в конце — не у каждого слагаемого.

Неопределённый интеграл: первообразная и +C

Неопределённый интеграл появляется в заданиях 11 и 12 ЕГЭ профиль. Задание 11 — найти первообразную или восстановить функцию по производной. Задание 12 — вычислить площадь фигуры через определённый интеграл, а для этого нужно уметь находить неопределённый. Разберём всё по порядку.

Что такое первообразная

Говорят, что $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$ на промежутке, если в каждой точке этого промежутка выполняется:

$F'(x) = f(x)$

Другими словами, производная первообразной равна исходной функции.

Пример. Найди первообразную для $f(x) = 2x$ .

Подбираем функцию, производная которой равна $2x$ . Вспоминаем: $(x^2)' = 2x$ . Значит, $F(x) = x^2$ — первообразная.

Но подожди: $(x^2 + 3)' = 2x$ тоже. И $(x^2 - 100)' = 2x$ . Получается, первообразных бесконечно много — все они отличаются на константу.

Знак ∫ и константа +C

Неопределённый интеграл — это запись всего семейства первообразных сразу:

$\int f(x)\, dx = F(x) + C$

Здесь:

$\int$ — знак интеграла (читается «интеграл от»)
$f(x)$ — подынтегральная функция
$dx$ — показывает, по какой переменной интегрируем
$F(x)$ — любая конкретная первообразная
$C$ — произвольная константа ( $C \in \mathbb{R}$ )

Основное свойство: если взять производную от результата интегрирования, получишь исходную функцию:

$\left(\int f(x)\, dx\right)' = f(x)$

Это проверочный инструмент: всегда можно продифференцировать ответ и убедиться, что получилась исходная функция.

Таблица основных первообразных

Эти формулы нужно знать наизусть — они используются в каждой задаче с интегралами.

Функция $f(x)$	Первообразная $F(x) + C$
$x^n$ ( $n \ne -1$ )	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln
$e^x$	$e^x + C$
$a^x$ ( $a > 0$ , $a \ne 1$ )	$\dfrac{a^x}{\ln a} + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$	$\tg x + C$
$\dfrac{1}{\sin^2 x}$	$-\ctg x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctg x + C$

Свойства неопределённого интеграла

Линейность — главное рабочее свойство:

$\int (f(x) + g(x))\, dx = \int f(x)\, dx + \int g(x)\, dx$

$\int k \cdot f(x)\, dx = k \cdot \int f(x)\, dx$

То есть: интеграл от суммы — сумма интегралов, константу можно выносить за знак интеграла.

Разбор задачи 1 (задание 11 ЕГЭ)

Условие. Найди первообразную функции $f(x) = 3x^2 - \dfrac{1}{x} + e^x$ , график которой проходит через точку $(1;\, 3)$ .

Решение.

Шаг 1. Находим общую первообразную — берём интеграл от каждого слагаемого:

$F(x) = \int \left(3x^2 - \frac{1}{x} + e^x\right)dx = x^3 - \ln|x| + e^x + C$

Шаг 2. Используем условие: $F(1) = 3$ .

$1^3 - \ln 1 + e^1 + C = 3$ $1 - 0 + e + C = 3$ $C = 2 - e$

Шаг 3. Записываем ответ:

$F(x) = x^3 - \ln|x| + e^x + (2 - e)$

Проверка: $F'(x) = 3x^2 - \dfrac{1}{x} + e^x = f(x)$ — верно.

Разбор задачи 2 (задание 12 ЕГЭ)

Условие. Найди $\displaystyle\int \left(2\sin x + \frac{3}{x^2}\right)dx$ .

Решение.

Применяем линейность и таблицу:

$\int 2\sin x\, dx + \int 3x^{-2}\, dx$

$= 2 \cdot (-\cos x) + 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C$

$= -2\cos x - \frac{3}{x} + C$

Проверка: $\left(-2\cos x - \dfrac{3}{x}\right)' = 2\sin x + \dfrac{3}{x^2}$ — совпадает с исходной функцией.

Тренируй математику с Сотами

15 минут диагностики покажут пробелы в начала анализа. Дальше — точечная тренировка по нужным темам.

Начать