Теорема Ньютона–Лейбница

Если f(x)f(x) непрерывна на [a; b][a;\ b] и F(x)F(x) — её первообразная, то:

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)

Запись «в скобках»:

∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\, dx = \Big[F(x)\Big]_a^b = F(b) - F(a)

Где aa и bb — пределы интегрирования: aa — нижний предел (от него), bb — верхний (до него).

Алгоритм вычисления

  1. Найди первообразную F(x)F(x) функции f(x)f(x) по таблице или правилам.
  2. Подставь верхний предел: F(b)F(b).
  3. Подставь нижний предел: F(a)F(a).
  4. Вычти: F(b)−F(a)F(b) - F(a).

Константу CC не добавляем — в определённом интеграле она сокращается.

Таблица основных первообразных

f(x)f(x)F(x)F(x)
xnx^n (n≠−1n \neq -1)xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}
1x\dfrac{1}{x}$\ln
exe^xexe^x
sin⁡x\sin x−cos⁡x-\cos x
cos⁡x\cos xsin⁡x\sin x
1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2 x}tg⁡x\tg x
axa^xaxln⁡a\dfrac{a^x}{\ln a}

Полная таблица: Таблица производных и первообразных.

Пример 1: простой интеграл

Вычислить ∫13(2x+1) dx\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\, dx.

Решение.

F(x)=x2+xF(x) = x^2 + x (первообразная 2x+12x + 1).

∫13(2x+1) dx=[x2+x]13=(9+3)−(1+1)=12−2=10.\int_1^3 (2x+1)\,dx = \Big[x^2 + x\Big]_1^3 = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10.

Ответ: 10.

Трапеция под прямой y=2x+1 на отрезке [1;3]: основания 3 и 7, площадь S=10

Пример 2: с тригонометрией

Вычислить ∫0π/2cos⁡x dx\displaystyle\int_0^{\pi/2} \cos x\, dx.

F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x.

∫0π/2cos⁡x dx=[sin⁡x]0π/2=sin⁡π2−sin⁡0=1−0=1.\int_0^{\pi/2} \cos x\, dx = \Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2} = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1.

Ответ: 1.

Пример 3 — задание 6 ЕГЭ

Вычислить ∫141x dx\displaystyle\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx.

f(x)=x−1/2f(x) = x^{-1/2}, F(x)=x1/21/2=2xF(x) = \dfrac{x^{1/2}}{1/2} = 2\sqrt{x}.

∫14x−1/2 dx=[2x]14=24−21=4−2=2.\int_1^4 x^{-1/2}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_1^4 = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 4 - 2 = 2.

Ответ: 2.

Пример 4 — задание 11: площадь фигуры

Определённый интеграл = площадь фигуры под графиком (над осью OxOx).

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной y=x2−4y = x^2 - 4, осью OxOx.

Шаг 1. Найти, где y=0y = 0: x2−4=0x^2 - 4 = 0, x=±2x = \pm 2.

Шаг 2. На [−2; 2][-2;\ 2] функция отрицательна (парабола открыта вверх, вершина в (0;−4)(0; -4)). Площадь:

S=−∫−22(x2−4) dx=∫−22(4−x2) dxS = -\int_{-2}^{2}(x^2 - 4)\,dx = \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx

Шаг 3.

∫−22(4−x2) dx=[4x−x33]−22=(8−83)−(−8+83)=16−163=323.\int_{-2}^{2}(4-x^2)\,dx = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}.

Ответ: S=323S = \dfrac{32}{3}.

Парабола y=x²−4: заштрихована область между параболой и осью Ox на отрезке [-2;2], вершина (0;-4), S=32/3

Типичные ошибки

ОшибкаПравильно
Переставляют пределы: F(a)−F(b)F(a) - F(b)Всегда F(b)−F(a)F(b) - F(a) (верхний минус нижний)
Прибавляют +C+C в ответеВ определённом интеграле константа сокращается
Площадь под осью считают «со знаком −»Площадь — всегда положительна: брать модуль или перевернуть знак
Ошибка в первообразной 1x\frac{1}{x} → пишут ln⁡x\ln xНужно $\ln

Свойства определённого интеграла

∫abf(x) dx=−∫baf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = -\int_b^a f(x)\,dx

∫aaf(x) dx=0\int_a^a f(x)\,dx = 0

∫ab[f(x)+g(x)] dx=∫abf(x) dx+∫abg(x) dx\int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx

∫abc⋅f(x) dx=c⋅∫abf(x) dx\int_a^b c \cdot f(x)\,dx = c \cdot \int_a^b f(x)\,dx

Что запомнить

  1. ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) — главная формула.
  2. Порядок: найти FF, подставить bb, вычесть F(a)F(a).
  3. Константу CC не добавляем — она сокращается.
  4. Площадь под осью: брать модуль или менять знак подынтегрального выражения.

Дополнительно: Определённый интеграл — геометрический смысл.