Задание 7 ЕГЭ профиль — производная по графику

Задание 7 — про связь функции и её производной через графики. Часто дают одно и спрашивают про другое: график функции с касательной, нужна производная; или график производной, нужны экстремумы функции. Освоив 4 базовых типа, ты будешь решать задание уверенно.

Что проверяется в задании 7

• По графику функции с касательной — найти $f'(x_0)$.
• По графику $f'(x)$ — определить промежутки монотонности $f$.
• По графику $f'(x)$ — найти точки экстремума $f$.
• По графику $f(x)$ — найти точки, где $f'(x) > 0$ или $f'(x) < 0$.

Ответ — число (или количество точек).

Главное правило

Производная функции в точке = угловой коэффициент касательной к графику в этой точке.

$f'(x_0) = \tg \alpha$

где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$ (отсчёт против часовой стрелки).

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки $(x_1;\,y_1)$ и $(x_2;\,y_2)$:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Тип 1: значение производной по касательной

Что дано. График функции $y = f(x)$ и касательная в точке с абсциссой $x_0$.

Алгоритм.

1. Найти на касательной две удобные точки (где она проходит через узлы клетчатой сетки).
2. Вычислить $k = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$.
3. Это и есть $f'(x_0) = k$.

Пример. Касательная проходит через $(0;\,1)$ и $(4;\,9)$. Тогда $f'(x_0) = (9 - 1)/(4 - 0) = 2$.

Внимание на знак. Если касательная идёт «вниз», $k < 0$. Не теряй минус.

Тип 2: монотонность функции по графику производной

Что дано. График $y = f'(x)$.

Что нужно. Промежутки возрастания/убывания $f(x)$ или количество таких точек на отрезке.

Правило.

• $f'(x) > 0$ → $f$ возрастает.
• $f'(x) < 0$ → $f$ убывает.

То есть: где график производной выше $Ox$ — функция возрастает. Ниже — убывает.

Пример типового вопроса. «На рисунке изображён график производной $y = f'(x)$ на отрезке $[-3;\,5]$. Найдите количество точек, в которых $f$ возрастает.»

Это «псевдо-вопрос» — точек бесконечно много на интервале возрастания. Реальный вопрос: «найдите количество целых точек, в которых функция возрастает» или «длину интервала возрастания».

Тип 3: экстремумы функции по графику производной

Что дано. График $y = f'(x)$.

Что нужно. Точки максимума или минимума функции $f(x)$.

Правило.

• Точки, где $f'(x)$ переходит через ноль с «+» на «−» — точки максимума $f$.
• Точки, где $f'(x)$ переходит через ноль с «−» на «+» — точки минимума $f$.
• Точки, где $f'(x)$ касается $Ox$ без смены знака, — НЕ экстремумы.

Тип 4: Точки с f'(x) = 0 или f'(x) > 0 по графику функции

Что дано. График $y = f(x)$.

Что нужно. Найти, в скольких точках или на каком интервале $f'(x) = 0$ (или $> 0$, или $< 0$).

Правило.

• $f'(x) = 0$ — точки, где касательная горизонтальная (вершины «горбов» и «впадин»).
• $f'(x) > 0$ — где график идёт вверх (возрастает).
• $f'(x) < 0$ — где идёт вниз (убывает).

Пример. «Сколько точек на $[-2;\,5]$, где $f'(x) = 0$?»

Считаешь количество локальных экстремумов функции (точек, где график «разворачивается») на этом отрезке.

Касательная к параболе

Особый частый случай — парабола $y = ax^2 + bx + c$. Производная: $y' = 2ax + b$.

В точке $x_0$ касательная имеет угловой коэффициент $k = 2a x_0 + b$. Уравнение касательной:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

где $y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c$.

Распространённые ошибки

1. Перепутать знак $k$. Если касательная идёт «вниз» (убывает), $k < 0$. Без минуса теряешь баллы.

2. Брать удобные точки на графике функции, а не на касательной. Вычислять надо по двум точкам касательной, а не функции. Касательная — прямая.

3. Считать, что на интервале $f' = 0$ постоянно. $f'(x) = 0$ обычно в отдельных точках (где касательная горизонтальна), не на интервале. Если задают «количество точек», ищи именно дискретные.

4. Перепутать график функции и производной. Внимательно читай заголовок графика: «$y = f(x)$» или «$y = f'(x)$»? Это принципиально разные вопросы.

5. Считать касание $Ox$ за смену знака. Если график производной касается оси $Ox$ и отскакивает обратно — знак не меняется. Это критическая точка, но не экстремум.

Разобранный пример

Условие. На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0 = 5$. Касательная проходит через точки $(2;\,-1)$ и $(7;\,4)$. Найдите $f'(5)$.

Решение. Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной:

$f'(5) = \frac{4 - (-1)}{7 - 2} = \frac{5}{5} = 1$

Ответ. $1$.

Что запомнить

• $f'(x_0)$ = угловой коэффициент касательной в точке $x_0$.
• $k = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$ — по двум точкам.
• $f'(x) > 0$ — возрастание; $f'(x) < 0$ — убывание.
• Точки $f' = 0$ — там, где касательная горизонтальная.
• Смена знака $f'$ с + на − → максимум $f$. С − на + → минимум.

Связь с другими темами

• Линейная функция y=kx+b — теория углового коэффициента.
• Монотонность функции — связь с производной.
• Экстремумы функции — определение точек экстремума.