Таблица первообразных для ЕГЭ профиль

На ЕГЭ профиль таблицу первообразных не дают — её нужно знать наизусть. Хорошая новость в том, что реально нужных формул около десяти, и все они логично связаны с уже знакомой тебе таблицей производных. Ниже разберём каждую группу формул с понятным объяснением и удобным мнемоническим приёмом для запоминания.

Полная таблица первообразных

Степенные функции

Приём запоминания степенной формулы: «прибавь 1 к показателю, раздели на новый показатель». Проверка: берёшь производную от результата — должна вернуться исходная функция.

Пример: $\int x^4\, dx = \frac{x^5}{5} + C$

Проверка: $\left(\dfrac{x^5}{5}\right)' = \dfrac{5x^4}{5} = x^4$ — верно.

Показательные функции

Приём запоминания: функция $e^x$ — единственная, первообразная которой совпадает с самой собой. Для $a^x$ добавляется делитель $\ln a$.

Пример: $\int 2^x\, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$

Тригонометрические функции

Приём запоминания тригонометрии: расположи в цикле: $\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin \ldots$ — это производные по кругу. Для первообразных идёшь в обратную сторону по тому же кругу.

Обратные тригонометрические функции

Эти формулы встречаются реже — в задании 12 части Б. Запоминать их через производные: $(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, $(\arctg x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$.

Разбор групп формул по смыслу

Пройдёмся по группам и поясним, почему формулы выглядят именно так. Степенная функция — самая частая. Правило для неё простое: показатель увеличивается на единицу, и на этот новый показатель делят. Логика прозрачна: при дифференцировании степень спускается вперёд множителем и уменьшается на единицу, значит при интегрировании всё происходит наоборот — степень растёт, а деление компенсирует тот множитель, который появился бы при обратной проверке. Под это правило подпадают не только целые степени, но и корни, потому что корень — это степень с дробным показателем, и дроби с иксом в знаменателе, потому что они тоже степени, только с отрицательным показателем.

Показательная функция стоит особняком. Экспонента с натуральным основанием — единственная функция, первообразная которой совпадает с самой собой, поэтому интегрировать её проще всего: ответ это та же экспонента. Для показательной функции с другим основанием появляется деление на натуральный логарифм основания — тот же множитель, что и в производной, только теперь он стоит в знаменателе, потому что интегрирование обратно дифференцированию.

Тригонометрическая группа требует особого внимания к знакам, о чём уже говорилось. Здесь полезно держать в голове круг производных: синус переходит в косинус, косинус в минус синус, и так по кругу. Для первообразных идёшь по этому кругу в обратную сторону. Две дроби с квадратами в знаменателе — это первообразные тангенса и котангенса соответственно, и у котангенса, как обычно, появляется минус. Обратные тригонометрические функции замыкают таблицу и нужны редко, поэтому их достаточно узнавать в лицо. Их легко спутать между собой, но различие простое: первообразная с корнем в знаменателе ведёт к арксинусу, а первообразная без корня, с просто суммой единицы и квадрата икса, ведёт к арктангенсу. Если запомнить эту пару через их производные, путаницы не возникнет даже в напряжённой обстановке экзамена.

Как использовать таблицу в задачах ЕГЭ

Три шага:

1. Разбей подынтегральную функцию на отдельные слагаемые
2. К каждому слагаемому примени нужную строку таблицы
3. Сложи результаты, напиши одну константу C в конце

Пример 1

$\int \left(5x^3 + \frac{2}{x} - 3\cos x\right)dx$

Применяем к каждому слагаемому:

• $5x^3$: берём $\dfrac{x^4}{4}$, умножаем на 5 → $\dfrac{5x^4}{4}$
• $\dfrac{2}{x}$: это $2 \cdot \dfrac{1}{x}$, первообразная $2\ln|x|$
• $-3\cos x$: первообразная $-3\sin x$

Ответ: $\dfrac{5x^4}{4} + 2\ln|x| - 3\sin x + C$

Пример 2

$\int \left(e^x + 3^x\right)dx = e^x + \frac{3^x}{\ln 3} + C$

Пример 3 (проверка важнее)

$\int \frac{4}{\cos^2 x}\, dx = 4\tg x + C$

Проверка: $(4\tg x)' = \dfrac{4}{\cos^2 x}$ — верно.

Как эффективно выучить таблицу

Таблицу первообразных не стоит учить как набор не связанных между собой строк — так она быстро забывается. Гораздо надёжнее опираться на связь с производными, которую ты уже знаешь. Возьми таблицу производных, которую освоил раньше, и просто читай её в обратную сторону. Каждая строка таблицы производных автоматически даёт строку таблицы первообразных. Такой подход экономит силы: вместо двух таблиц ты держишь в голове одну, а вторую получаешь обращением.

Полезно также группировать формулы по типам, как сделано выше: степенные, показательные, тригонометрические и обратные тригонометрические. Внутри каждой группы формулы похожи и запоминаются вместе. Например, все степенные функции подчиняются одному правилу: прибавь единицу к показателю и раздели на новый показатель. Единственное исключение — функция «единица на икс», для которой это правило не работает, потому что прибавление единицы к минус первой степени дало бы деление на ноль. Для неё первообразная это натуральный логарифм модуля.

Наконец, не пытайся выучить всю таблицу сразу до последней строки. Сосредоточься на тех формулах, которые реально встречаются в заданиях профильного экзамена: степень, единица на икс, экспонента, синус, косинус и две дроби с квадратами в знаменателе. Обратные тригонометрические функции попадаются гораздо реже, в самых трудных задачах, поэтому их можно оставить на потом. Лучше довести до автоматизма десяток ходовых формул, чем поверхностно знать все четырнадцать.

Хороший способ закрепить таблицу — это регулярная практика с обязательной проверкой через дифференцирование. Берёшь функцию, находишь первообразную по памяти, а затем дифференцируешь результат и сверяешь с исходной функцией. Если совпало — формула усвоена, если нет — сразу видишь, где ошибся, и запоминаешь правильный вариант через исправление. Такая практика с самопроверкой не только тренирует память, но и развивает важнейший на экзамене навык контроля собственного решения. Со временем ты начинаешь чувствовать первообразные так же уверенно, как производные, и работа с интегралами перестаёт вызывать затруднения.

Первообразная — это таблица производных наоборот

Главная мысль, которая делает всю таблицу первообразных понятной, такая: первообразная — это операция, обратная дифференцированию. Найти первообразную функции значит ответить на вопрос, какую функцию нужно продифференцировать, чтобы получить данную. Поэтому таблицу первообразных не обязательно учить отдельно от таблицы производных — достаточно прочитать таблицу производных справа налево. Если производная синуса это косинус, значит первообразная косинуса это синус. Если производная экспоненты это сама экспонента, значит и первообразная экспоненты это экспонента.

Из этого следует очень удобный приём самопроверки. Какую бы первообразную ты ни нашёл, её всегда можно проверить дифференцированием: продифференцируй результат и сравни с исходной подынтегральной функцией. Если они совпали, первообразная найдена верно. Этот приём избавляет от необходимости заучивать таблицу намертво: даже если ты забыл какую-то строку, ты можешь восстановить её, вспомнив соответствующую производную, и тут же проверить себя обратным дифференцированием. Поэтому на экзамене таблица первообразных перестаёт быть тем, что нужно панически вспоминать, и становится тем, что выводится за секунды.

Особое внимание удели знакам в тригонометрии, потому что именно здесь обратное чтение таблицы сбивает с толку. У производных минус появляется при дифференцировании косинуса. У первообразных, наоборот, минус появляется при интегрировании синуса: первообразная синуса это минус косинус. Это зеркальное поведение легко перепутать, поэтому проговори правило отдельно: при интегрировании минус достаётся синусу, а не косинусу. И, как всегда, любую сомнительную строку можно мгновенно проверить дифференцированием.

Зачем нужна постоянная интегрирования

Постоянная интегрирования, которую обозначают буквой це, появляется во всех первообразных не случайно. Дело в том, что у одной и той же функции бесконечно много первообразных. Если к любой первообразной прибавить число, её производная не изменится, потому что производная константы равна нулю. Значит, и новая функция тоже будет первообразной для той же подынтегральной функции. Чтобы охватить все эти первообразные сразу, к найденному выражению добавляют произвольную постоянную.

Геометрически это означает, что графики всех первообразных одной функции — это семейство одинаковых по форме кривых, сдвинутых друг относительно друга по вертикали. Постоянная интегрирования как раз и задаёт этот вертикальный сдвиг. В неопределённом интеграле постоянную пишут обязательно, потому что ответ — это всё семейство первообразных. А вот в определённом интеграле, когда вычисляют площадь по формуле Ньютона-Лейбница, постоянная сокращается при вычитании значений на концах отрезка, и её можно не писать. Понимание этой разницы помогает не терять постоянную там, где она нужна, и не тащить её туда, где она лишняя.

Разбор для самопроверки

Закрепи работу с таблицей на одной задаче.

Найди $\displaystyle\int \left(3x^2 + \frac{1}{x} - 2\sin x\right)dx$.

Опорные шаги: примени линейность и возьми первообразную каждого слагаемого по таблице. Для степени прибавь единицу к показателю и раздели на новый показатель; для дроби «единица на икс» вспомни логарифм с модулем; для синуса не забудь минус. Постоянную напиши один раз в конце.

Что не покрывает таблица

Таблица работает для «чистых» функций. Если подынтегральная функция — это, например, $\sin(3x)$ или $e^{2x}$, нужно правило замены переменной (или угадывание):

$\int \sin(3x)\, dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + C$

Логика: при дифференцировании $-\dfrac{\cos(3x)}{3}$ внутренняя функция $3x$ даёт дополнительный множитель 3 — он сокращается с делителем 3. Подробнее — в теме «Свойства интеграла».

Важно чётко понимать границу этого приёма. Деление на коэффициент работает только тогда, когда внутри функции стоит линейное выражение вида «ка икс плюс бэ». Если же внутри стоит что-то нелинейное, например, икс в квадрате, простое деление на коэффициент уже не спасает: производная внутренней функции теперь сама зависит от икса и не сокращается с константой. Такие интегралы требуют более сложных методов, которые в школьной программе профиля встречаются крайне редко. Поэтому, увидев под интегралом нелинейный аргумент, не пытайся механически делить на коэффициент — это даст неверный ответ.

Что запомнить

Первообразная — это операция, обратная дифференцированию, поэтому всю таблицу первообразных можно получить, читая таблицу производных в обратную сторону. Это главный приём, который избавляет от зубрёжки. Любую найденную первообразную всегда можно проверить дифференцированием: если получилась исходная функция, ответ верен.

Для степенной функции прибавляй единицу к показателю и дели на новый показатель. Отдельно запомни, что первообразная функции «единица на икс» — это натуральный логарифм модуля икса, а не степенная формула. Для экспоненты первообразная совпадает с самой функцией, а для показательной с другим основанием добавляется деление на натуральный логарифм основания.

В тригонометрии следи за знаком: первообразная синуса это минус косинус, а первообразная косинуса это просто синус. Минус при интегрировании достаётся синусу — это зеркально по отношению к производным, где минус достаётся косинусу. И всегда пиши постоянную интегрирования в неопределённом интеграле, помня, что в определённом интеграле она сокращается.

Связь с другими темами

• Неопределённый интеграл — что такое первообразная и неопределённый интеграл.
• Свойства интеграла — линейность и правило линейного аргумента.
• Таблица производных — обратная сторона этой таблицы.
• Площадь криволинейной трапеции — где первообразные применяются для вычисления площади.