На ЕГЭ профиль таблицу первообразных не дают — её нужно знать. Хорошая новость: реально нужных формул около десяти, и они все логично связаны с таблицей производных. Разберём каждую группу с объяснением и мнемоническим приёмом.

Полная таблица первообразных

Степенные функции

Функция f(x)f(x)Первообразная F(x)+CF(x) + CУсловие
xnx^nxn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + Cn≠−1n \ne -1
1x\dfrac{1}{x}$\lnx
x\sqrt{x}23x3/2+C\dfrac{2}{3}x^{3/2} + Cx≥0x \ge 0
1x\dfrac{1}{\sqrt{x}}2x+C2\sqrt{x} + Cx>0x > 0

Приём запоминания степенной формулы: «прибавь 1 к показателю, раздели на новый показатель». Проверка: берёшь производную от результата — должна вернуться исходная функция.

Пример: ∫x4 dx=x55+C\int x^4\, dx = \frac{x^5}{5} + C

Проверка: (x55)′=5x45=x4\left(\dfrac{x^5}{5}\right)' = \dfrac{5x^4}{5} = x^4 — верно.

Показательные функции

Функция f(x)f(x)Первообразная F(x)+CF(x) + CУсловие
exe^xex+Ce^x + C—
axa^xaxln⁡a+C\dfrac{a^x}{\ln a} + Ca>0a > 0, a≠1a \ne 1

Приём запоминания: функция exe^x — единственная, первообразная которой совпадает с самой собой. Для axa^x добавляется делитель ln⁡a\ln a.

Пример: ∫2x dx=2xln⁡2+C\int 2^x\, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C

Тригонометрические функции

Функция f(x)f(x)Первообразная F(x)+CF(x) + C
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x + C
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x + C
1cos⁡2x\dfrac{1}{\cos^2 x}tg⁡x+C\tg x + C
1sin⁡2x\dfrac{1}{\sin^2 x}−ctg⁡x+C-\ctg x + C

Приём запоминания тригонометрии: расположи в цикле: sin⁡→cos⁡→−sin⁡→−cos⁡→sin⁡…\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin \ldots — это производные по кругу. Для первообразных идёшь в обратную сторону по тому же кругу.

Обратные тригонометрические функции

Функция f(x)f(x)Первообразная F(x)+CF(x) + CУсловие
11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}arcsin⁡x+C\arcsin x + C$
11+x2\dfrac{1}{1+x^2}arctg⁡x+C\arctg x + C—

Эти формулы встречаются реже — в задании 12 части Б. Запоминать их через производные: (arcsin⁡x)′=11−x2(\arcsin x)' = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}, (arctg⁡x)′=11+x2(\arctg x)' = \dfrac{1}{1+x^2}.

Как использовать таблицу в задачах ЕГЭ

Три шага:

  1. Разбей подынтегральную функцию на отдельные слагаемые
  2. К каждому слагаемому примени нужную строку таблицы
  3. Сложи результаты, напиши одну константу C в конце

Пример 1

∫(5x3+2x−3cos⁡x)dx\int \left(5x^3 + \frac{2}{x} - 3\cos x\right)dx

Применяем к каждому слагаемому:

  • 5x35x^3: берём x44\dfrac{x^4}{4}, умножаем на 5 → 5x44\dfrac{5x^4}{4}
  • 2x\dfrac{2}{x}: это 2⋅1x2 \cdot \dfrac{1}{x}, первообразная 2ln⁡∣x∣2\ln|x|
  • −3cos⁡x-3\cos x: первообразная −3sin⁡x-3\sin x

Ответ: 5x44+2ln⁡∣x∣−3sin⁡x+C\dfrac{5x^4}{4} + 2\ln|x| - 3\sin x + C

Пример 2

∫(ex+3x)dx=ex+3xln⁡3+C\int \left(e^x + 3^x\right)dx = e^x + \frac{3^x}{\ln 3} + C

Пример 3 (проверка важнее)

∫4cos⁡2x dx=4tg⁡x+C\int \frac{4}{\cos^2 x}\, dx = 4\tg x + C

Проверка: (4tg⁡x)′=4cos⁡2x(4\tg x)' = \dfrac{4}{\cos^2 x} — верно.

Что не покрывает таблица

Таблица работает для «чистых» функций. Если подынтегральная функция — это, например, sin⁡(3x)\sin(3x) или e2xe^{2x}, нужно правило замены переменной (или угадывание):

∫sin⁡(3x) dx=−cos⁡(3x)3+C\int \sin(3x)\, dx = -\frac{\cos(3x)}{3} + C

Логика: при дифференцировании −cos⁡(3x)3-\dfrac{\cos(3x)}{3} внутренняя функция 3x3x даёт дополнительный множитель 3 — он сокращается с делителем 3. Подробнее — в теме «Свойства интеграла».

Тренируй интегралы на практике
15 минут диагностики покажут, какие первообразные ты ещё не закрыл. Дальше — точечная тренировка по задаче 11 и 13.
Начать