Производная сложной функции — правило цепочки для ЕГЭ

Производная $\sin(x^2)$ — это не то же самое, что производная $\sin(x)$. Когда внутри функции стоит другая функция, стандартные правила работают по-другому. Для таких случаев есть правило цепочки. Разбираем его от определения до конкретных примеров.

Что такое сложная функция

Сложная (составная) функция — это функция, у которой аргументом является другая функция. Иначе говоря, одна функция «вложена» в другую.

Примеры:

• $\sin(3x)$ — это $\sin$ от $3x$ (не просто синус $x$)
• $e^{x^2}$ — это экспонента от $x^2$
• $\ln(2x+1)$ — это логарифм от $(2x+1)$
• $(x^2+1)^5$ — это степень пятая от $(x^2+1)$

Во всех этих случаях есть внешняя функция и внутренняя функция:

Правило цепочки — формула

Читается так: производная внешней функции, вычисленная во внутренней функции, умноженная на производную внутренней функции.

Или ещё короче — мнемоник:

Производная внешней × производная внутренней

Алгоритм применения: 3 шага

1. Выдели внешнюю и внутреннюю функции
2. Возьми производную внешней функции — но оставь внутреннюю как есть (не упрощай)
3. Умножь на производную внутренней функции

Самая частая ошибка — забыть шаг 3. После взятия производной внешней надо обязательно умножить на $g'(x)$.

Четыре примера нарастающей сложности

Пример 1 — $(\sin(3x))'$

Внешняя: $f(u) = \sin(u)$, $\;f'(u) = \cos(u)$

Внутренняя: $g(x) = 3x$, $\;g'(x) = 3$

Применяем правило цепочки: $(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$

Пример 2 — $(e^{x^2})'$

Внешняя: $f(u) = e^u$, $\;f'(u) = e^u$

Внутренняя: $g(x) = x^2$, $\;g'(x) = 2x$

Применяем правило цепочки: $\bigl(e^{x^2}\bigr)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$

Обрати внимание: производная $e^u = e^u$, внешняя функция «не меняется». Умножаем только на производную внутренней.

Пример 3 — $(\ln(2x+1))'$

Внешняя: $f(u) = \ln(u)$, $\;f'(u) = \dfrac{1}{u}$

Внутренняя: $g(x) = 2x+1$, $\;g'(x) = 2$

Применяем правило цепочки: $(\ln(2x+1))' = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

Пример 4 — $((x^2+1)^5)'$

Внешняя: $f(u) = u^5$, $\;f'(u) = 5u^4$

Внутренняя: $g(x) = x^2+1$, $\;g'(x) = 2x$

Применяем правило цепочки: $\bigl((x^2+1)^5\bigr)' = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2+1)^4$

Какие сложные функции встречаются чаще всего

В школьном курсе и на экзамене сложные функции собраны из ограниченного набора кирпичиков, поэтому полезно знать типичные комбинации заранее. Самая частая — линейная функция внутри какой-нибудь стандартной. Например, синус, косинус, экспонента или логарифм от выражения вида «ка икс плюс бэ». Производная внутренней линейной функции здесь всегда равна коэффициенту при иксе, то есть числу ка. Поэтому в таких случаях второй множитель — это просто константа, и правило цепочки сводится к умножению на неё. Именно поэтому производная синуса от трёх икс равна тройке на косинус трёх икс.

Вторая распространённая комбинация — степень от многочлена. Когда в скобках стоит многочлен, а вся скобка возведена в степень, внешняя функция это степень, а внутренняя — содержимое скобок. Производная внешней по правилу степени выносит показатель вперёд и уменьшает степень на единицу, а затем умножается на производную многочлена в скобках. Такие выражения встречаются и в задачах на исследование функции, и в задачах на касательную, поэтому навык дифференцировать степень от скобки нужно довести до автоматизма.

Третья комбинация — корень от выражения. Корень это степень с дробным показателем, поэтому он подчиняется тому же правилу степени. Производная корня даёт дробь, в знаменателе которой стоит удвоенный корень, и эту дробь умножают на производную подкоренного выражения. Школьники часто забывают второй множитель именно в корнях, потому что внешняя производная сама по себе выглядит сложно и отвлекает внимание. Поэтому в задачах с корнями особенно важно держать в голове, что после производной внешней функции обязательно идёт производная внутренней.

Зная эти три типичные комбинации, ты узнаёшь большинство сложных функций экзамена с первого взгляда и сразу понимаешь, как действовать. Остальные случаи — это либо более глубокая вложенность тех же кирпичиков, либо их сочетание с правилами суммы, произведения и частного. Но логика везде одна: найди внешнюю и внутреннюю функции, продифференцируй внешнюю, оставив начинку нетронутой, и умножь на производную начинки. Этот единый алгоритм работает для всех сложных функций без исключения, и именно поэтому правило цепочки считается одним из самых универсальных инструментов дифференцирования.

Почему появляется второй множитель

Чтобы правило цепочки не выглядело как заклинание, разберём его смысл. Производная показывает, во сколько раз быстро меняется выход функции по сравнению с её входом. Когда функции вложены друг в друга, изменение проходит по цепочке: сначала меняется аргумент, это вызывает изменение внутренней функции, а изменение внутренней функции, в свою очередь, вызывает изменение внешней. Скорости изменения на каждом звене перемножаются — как передаточные числа в системе шестерён.

Представь две связанные шестерёнки. Первая вращается с какой-то скоростью, и она крутит вторую. Если первая делает три оборота, пока вторая делает один, а вторая, в свою очередь, в два раза быстрее крутит стрелку прибора, то итоговая скорость стрелки — это произведение двух передаточных чисел. Точно так же работает и производная сложной функции: общая скорость изменения равна произведению скорости изменения внешней функции по своей переменной на скорость изменения внутренней функции по иксу. Вот почему в формуле два множителя, а не один, и вот почему второй множитель никак нельзя терять.

Эта же картинка объясняет частую ошибку. Если взять только производную внешней функции и забыть про внутреннюю, ты учтёшь лишь одно звено цепочки и проигнорируешь, насколько быстро меняется сам аргумент внешней функции. Результат окажется неверным во столько раз, во сколько производная внутренней функции отличается от единицы. Именно поэтому для простых функций, где внутренняя функция — это просто икс с производной, равной единице, правило цепочки «не виден»: умножение на единицу ничего не меняет. А как только внутри появляется что-то сложнее икса, второй множитель становится решающим.

Разбор для самопроверки

Закрепи правило на одной задаче без подсказок.

Найди производную функции $f(x) = \cos(5x - 2)$.

Опорные шаги: определи, что здесь внешняя функция, а что внутренняя. Возьми производную внешней, оставив внутреннюю как есть, и умножь на производную внутренней. Не забудь знак: производная косинуса — это минус синус.

Как раскладывать функцию на слои

Главный навык в этой теме — правильно увидеть, что внешнее, а что внутреннее. Есть простой приём: представь, что подставляешь конкретное число в функцию и считаешь её значение по шагам. То действие, которое ты выполняешь последним, — это и есть внешняя функция, а всё, что ты посчитал до него, — внутренняя. Например, в выражении «синус от трёх икс» ты сначала умножаешь икс на три, а потом берёшь синус результата. Значит синус — внешняя функция, а «три икс» — внутренняя.

Иногда функция вложена не в два, а в три слоя. Тогда правило цепочки применяют последовательно, слой за слоем, двигаясь снаружи внутрь. Сначала дифференцируешь самую внешнюю функцию, оставляя всю начинку как есть. Затем умножаешь на производную следующего слоя, снова оставляя его начинку нетронутой. И так до самого внутреннего икса. Получается цепочка множителей — отсюда и название правила. Главное здесь — не торопиться и снимать слои по одному, как кожуру с луковицы, а не пытаться продифференцировать всё сразу.

Чтобы не запутаться в многослойных функциях, полезно мысленно проговаривать каждый слой. «Внешняя — степень, её производная — показатель вперёд и степень на единицу меньше; теперь умножаю на производную того, что в основании; а там тоже сложная функция, снимаю следующий слой». Такое проговаривание дисциплинирует и не даёт пропустить ни один множитель. Со временем оно уходит, и раскладка на слои происходит автоматически, но на этапе обучения это очень помогает.

Типичные ошибки

1. Не умножил на производную внутренней. $(\cos(x^2))' = -\sin(x^2)$ — неверно. Правильно: $-\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$.

2. Перепутал внешнюю и внутреннюю. В $e^{\sin(x)}$ внешняя — $e^u$, внутренняя — $\sin(x)$. Производная: $e^{\sin(x)} \cdot \cos(x)$.

3. Дифференцировал оба «как обычные». $(e^{x^2})' \neq 2x$ и не $e^{x^2}$. Нужно оба перемножить: $2xe^{x^2}$.

4. Применил правило цепочки к простой функции. $(\sin x)' = \cos x$ — здесь внутренняя функция $g(x) = x$, её производная $g'(x) = 1$. Умножение на 1 не меняет ответ, но не забывай про этот шаг.

Производная сложной функции в задании 11

Задание 11 ЕГЭ — исследование функции: нахождение промежутков монотонности, экстремумов, наибольшего и наименьшего значения на отрезке.

Для этого нужно взять $f'(x)$ и исследовать её знак. Если функция имеет вид $f(x) = \ln(x^2 - 3)$ или $f(x) = e^{2x-1}$ — без правила цепочки производную не возьмёшь.

Пример: найти промежутки возрастания $f(x) = \ln(x^2 - 3)$.

Шаг 1: $f'(x) = \dfrac{1}{x^2-3} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2-3}$

Шаг 2: область определения — $x^2 - 3 > 0$, то есть $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$.

Шаг 3: знак $f'(x)$ на каждом промежутке — методом интервалов.

Правило цепочки здесь — первый и обязательный шаг. Обрати внимание, как переплетаются две темы. Сначала по правилу цепочки находишь производную, а затем исследуешь её знак, как при обычном анализе монотонности. При этом область определения исходной функции с логарифмом сужает множество допустимых иксов, и это нужно учитывать с самого начала. Если пропустить правило цепочки и взять производную неверно, весь дальнейший анализ — нули, знаки, промежутки — окажется построенным на ошибочной формуле, и ответ будет неправильным, как бы аккуратно ты ни расставлял знаки дальше.

Поэтому в задачах на исследование функции имеет смысл выработать привычку: первым делом честно и аккуратно взять производную, при необходимости несколько раз применив правило цепочки и другие правила, и только потом переходить к анализу. Спешка на этапе дифференцирования — частая причина потери баллов в задачах, где сама идея решения школьнику полностью понятна. Производная сложной функции — это технический фундамент, и именно на нём держится вся последующая работа с исследованием.

Что запомнить

Правило цепочки нужно всякий раз, когда одна функция вложена в другую. Производная сложной функции равна производной внешней функции, вычисленной во внутренней, умноженной на производную внутренней функции. Ключевое слово здесь — умноженной: второй множитель забывать нельзя, именно он отличает сложную функцию от простой.

Чтобы определить, что внешнее, а что внутреннее, представь вычисление значения по шагам: последнее действие — внешняя функция, всё остальное — внутренняя. Сначала дифференцируешь внешнюю, оставляя начинку как есть, а потом умножаешь на производную начинки. Если функция многослойная, снимаешь слои по одному, двигаясь снаружи внутрь, и перемножаешь все полученные производные.

Помни про знаки и табличные производные внешних функций: производная синуса — косинус, косинуса — минус синус, экспоненты — сама экспонента, логарифма — единица на аргумент, степени — показатель вперёд и степень на единицу меньше. Ошибка в табличной производной внешней функции так же фатальна, как и потеря второго множителя. И обязательно тренируй правило цепочки вместе с правилами суммы, произведения и частного — в реальных задачах они почти всегда встречаются вместе.

Связь с другими темами

• Правила дифференцирования — базовые правила (сумма, произведение, частное) и правило цепочки работают вместе. Например, $(x \cdot \sin(x^2))'$ требует и правила произведения, и правила цепочки.
• Таблица производных — знание таблицы стандартных производных ($\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln x$, $x^n$) обязательно для применения правила цепочки.
• Наибольшее и наименьшее значение функции — задание 11 ЕГЭ, где производная сложной функции нужна при анализе $f'(x)$.