Производная сложной функции — правило цепочки для ЕГЭ

Производная $\sin(x^2)$ — это не то же самое, что производная $\sin(x)$. Когда внутри функции стоит другая функция, стандартные правила работают по-другому. Для таких случаев есть правило цепочки. Разбираем его от определения до конкретных примеров.

Что такое сложная функция

Сложная (составная) функция — это функция, у которой аргументом является другая функция. Иначе говоря, одна функция «вложена» в другую.

Примеры:

• $\sin(3x)$ — это $\sin$ от $3x$ (не просто синус $x$)
• $e^{x^2}$ — это экспонента от $x^2$
• $\ln(2x+1)$ — это логарифм от $(2x+1)$
• $(x^2+1)^5$ — это степень пятая от $(x^2+1)$

Во всех этих случаях есть внешняя функция и внутренняя функция:

Правило цепочки — формула

Читается так: производная внешней функции, вычисленная во внутренней функции, умноженная на производную внутренней функции.

Или ещё короче — мнемоник:

Производная внешней × производная внутренней

Алгоритм применения: 3 шага

1. Выдели внешнюю и внутреннюю функции
2. Возьми производную внешней функции — но оставь внутреннюю как есть (не упрощай)
3. Умножь на производную внутренней функции

Самая частая ошибка — забыть шаг 3. После взятия производной внешней надо обязательно умножить на $g'(x)$.

Четыре примера нарастающей сложности

Пример 1 — $(\sin(3x))'$

Внешняя: $f(u) = \sin(u)$, $\;f'(u) = \cos(u)$

Внутренняя: $g(x) = 3x$, $\;g'(x) = 3$

Применяем правило цепочки: $(\sin(3x))' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$

Пример 2 — $(e^{x^2})'$

Внешняя: $f(u) = e^u$, $\;f'(u) = e^u$

Внутренняя: $g(x) = x^2$, $\;g'(x) = 2x$

Применяем правило цепочки: $\bigl(e^{x^2}\bigr)' = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}$

Обрати внимание: производная $e^u = e^u$, внешняя функция «не меняется». Умножаем только на производную внутренней.

Пример 3 — $(\ln(2x+1))'$

Внешняя: $f(u) = \ln(u)$, $\;f'(u) = \dfrac{1}{u}$

Внутренняя: $g(x) = 2x+1$, $\;g'(x) = 2$

Применяем правило цепочки: $(\ln(2x+1))' = \frac{1}{2x+1} \cdot 2 = \frac{2}{2x+1}$

Пример 4 — $((x^2+1)^5)'$

Внешняя: $f(u) = u^5$, $\;f'(u) = 5u^4$

Внутренняя: $g(x) = x^2+1$, $\;g'(x) = 2x$

Применяем правило цепочки: $\bigl((x^2+1)^5\bigr)' = 5(x^2+1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2+1)^4$

Типичные ошибки

1. Не умножил на производную внутренней. $(\cos(x^2))' = -\sin(x^2)$ — неверно. Правильно: $-\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$.

2. Перепутал внешнюю и внутреннюю. В $e^{\sin(x)}$ внешняя — $e^u$, внутренняя — $\sin(x)$. Производная: $e^{\sin(x)} \cdot \cos(x)$.

3. Дифференцировал оба «как обычные». $(e^{x^2})' \neq 2x$ и не $e^{x^2}$. Нужно оба перемножить: $2xe^{x^2}$.

4. Применил правило цепочки к простой функции. $(\sin x)' = \cos x$ — здесь внутренняя функция $g(x) = x$, её производная $g'(x) = 1$. Умножение на 1 не меняет ответ, но не забывай про этот шаг.

Производная сложной функции в задании 11

Задание 11 ЕГЭ — исследование функции: нахождение промежутков монотонности, экстремумов, наибольшего и наименьшего значения на отрезке.

Для этого нужно взять $f'(x)$ и исследовать её знак. Если функция имеет вид $f(x) = \ln(x^2 - 3)$ или $f(x) = e^{2x-1}$ — без правила цепочки производную не возьмёшь.

Пример: найти промежутки возрастания $f(x) = \ln(x^2 - 3)$.

Шаг 1: $f'(x) = \dfrac{1}{x^2-3} \cdot 2x = \dfrac{2x}{x^2-3}$

Шаг 2: область определения — $x^2 - 3 > 0$, то есть $x < -\sqrt{3}$ или $x > \sqrt{3}$.

Шаг 3: знак $f'(x)$ на каждом промежутке — методом интервалов.

Правило цепочки здесь — первый и обязательный шаг.

Связь с другими темами

• Правила дифференцирования — базовые правила (сумма, произведение, частное) и правило цепочки работают вместе. Например, $(x \cdot \sin(x^2))'$ требует и правила произведения, и правила цепочки.
• Таблица производных — знание таблицы стандартных производных ($\sin x$, $\cos x$, $e^x$, $\ln x$, $x^n$) обязательно для применения правила цепочки.
• Наибольшее и наименьшее значение функции — задание 11 ЕГЭ, где производная сложной функции нужна при анализе $f'(x)$.