Какие основные свойства параллелограмма?

1) Противоположные стороны равны и параллельны. 2) Противоположные углы равны. 3) Сумма соседних углов равна 180°. 4) Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Чем ромб отличается от параллелограмма?

Ромб — параллелограмм со всеми равными сторонами. Дополнительно: диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами углов.

Какие канонические признаки параллелограмма?

Четырёхугольник является параллелограммом, если: 1) две стороны параллельны и равны; 2) диагонали точкой пересечения делятся пополам; 3) противоположные стороны попарно равны; 4) противоположные стороны попарно параллельны.

Как найти диагональ прямоугольника?

По теореме Пифагора: $d = \sqrt{a^2 + b^2}$, где $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. В прямоугольнике обе диагонали равны.

Как связаны диагонали ромба?

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Площадь ромба: $S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2}$.

В каком задании ЕГЭ нужны свойства параллелограмма?

В задании 1 (базовая геометрия) — прямое применение свойства. В задании 17 (планиметрия, часть 2) — свойства параллелограмма встроены в многошаговые конструкции: доказательство параллельности, нахождение площади или угла.

Свойства параллелограмма, ромба и прямоугольника

Параллелограмм — одна из ключевых фигур школьной геометрии. Его свойства лежат в основе десятков задач ЕГЭ: от простых подстановок в задании 1 до многоступенчатых доказательств в задании 17. Разберём всё — от четырёх базовых свойств до частных случаев (ромб, прямоугольник, квадрат).

Что такое параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны попарно: $A B ∥ C D$ и $A D ∥ B C$ .

Стандартное обозначение — $A B C D$ , где вершины идут по порядку. Диагонали — $A C$ и $B D$ , они пересекаются в точке $O$ .

Четыре основных свойства

Параллелограмм $A B C D$ обладает четырьмя фундаментальными свойствами:

Противоположные стороны равны: $A B = C D$ , $A D = B C$ .
Противоположные углы равны: $∠ A = ∠ C$ , $∠ B = ∠ D$ .
Сумма соседних углов равна $180°$ : $∠ A + ∠ B = 180°$ .
Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $A O = O C$ , $B O = O D$ .

Доказательство через треугольники

Диагональ $A C$ делит параллелограмм на два треугольника: $△ A B C$ и $△ C D A$ .

Поскольку $A B ∥ C D$ и $A D ∥ B C$ , по свойству параллельных прямых:

$∠ B A C = ∠ D C A$ (как накрест лежащие при $A B ∥ C D$ )
$∠ B C A = ∠ D A C$ (как накрест лежащие при $A D ∥ B C$ )
$A C$ — общая сторона

По признаку ASA: $△ A B C = △ C D A$ .

Отсюда: $A B = C D$ , $A D = B C$ (свойство 1). Аналогично доказываются свойства 2 и 4.

Четыре признака параллелограмма

Четырёхугольник $A B C D$ является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из условий:

Две стороны равны и параллельны (например, $A B = C D$ и $A B ∥ C D$ ).
Диагонали точкой пересечения делятся пополам ( $A O = O C$ , $B O = O D$ ).
Противоположные стороны попарно равны ( $A B = C D$ и $B C = A D$ ).
Противоположные стороны попарно параллельны ( $A B ∥ C D$ и $A D ∥ B C$ ).

Формула площади

$S = a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}$

где $a$ ( $b$ ) — сторона, $h_{a}$ ( $h_{b}$ ) — соответствующая высота. Также через стороны и угол:

$S = ab sin ∠ A$

Частные случаи

Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все четыре стороны равны ( $A B = B C = C D = D A = a$ ).

Дополнительные свойства ромба:

Диагонали перпендикулярны: $d_{1} ⊥ d_{2}$ .
Каждая диагональ — биссектриса соответствующих углов.

Формулы для ромба: $S = \frac{d _{1} \cdot d _{2}}{2} = a^{2} sin ∠ A$

Связь диагоналей со стороной и углом (при остром угле $α$ ): $d_{1} = 2 a sin \frac{α}{2}, d_{2} = 2 a cos \frac{α}{2}$

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые ( $∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°$ ).

Дополнительное свойство: диагонали равны ( $A C = B D = d$ ).

Формула диагонали (теорема Пифагора): $d = a^{2} + b^{2}$

Квадрат

Квадрат — это одновременно ромб и прямоугольник: все стороны равны, все углы прямые.

$d = a 2, S = a^{2} = \frac{d ^{2}}{2}$

Иерархия: квадрат $\subset$ прямоугольник $\subset$ параллелограмм; квадрат $\subset$ ромб $\subset$ параллелограмм.

Задания 1 и 17 ЕГЭ

Задание 1 — базовый уровень. Прямое применение свойства: «диагонали делятся пополам», «противоположные стороны равны», формула площади. Одно действие.

Задание 17 — планиметрия части 2. Свойства параллелограмма встроены в многошаговые конструкции. Типичный сценарий: доказать, что некая четырёхугольник является параллелограммом (использовать один из признаков), а затем найти площадь, угол или длину диагонали.

Разборы задач

Задача 1 (уровень задания 1)

Условие. В параллелограмме $A B C D$ диагональ $A C = 18$ . Точка $O$ — пересечение диагоналей. Найди $A O$ .

Решение. По свойству 4: диагонали делятся пополам в точке пересечения. Поэтому $A O = A C /2 = 18/2 = 9$ .

Ответ: $A O = 9$ .

Задача 2 (сложнее — к уровню задания 17)

Условие. В прямоугольнике $A B C D$ со сторонами $A B = 10$ , $B C = 6$ проведена диагональ $B D$ . Точка $M$ — середина $A B$ . Найди длину $C M$ .

Решение. Введём координаты: $A (0, 0)$ , $B (10, 0)$ , $C (10, 6)$ , $D (0, 6)$ .

Точка $M$ — середина $A B$ : $M (5, 0)$ .

$C M = (10 - 5)^{2} + (6 - 0)^{2} = 25 + 36 = 61$

Ответ: $C M = 61$ .

Типичные ошибки

Перепутать свойство и признак. «Диагонали делятся пополам» — это и свойство (если знаем, что параллелограмм) и признак (если доказываем, что параллелограмм). Чётко понимай, что дано и что требуется.

Думать, что в любом параллелограмме диагонали перпендикулярны. Нет — перпендикулярность диагоналей есть только у ромба. В общем параллелограмме диагонали лишь делятся пополам.

Применять формулу ромба ( $d_{1} \cdot d_{2} /2$ ) к обычному параллелограмму. Не работает. Для обычного параллелограмма: $S = a \cdot h$ .

Потренируйся на задачах

15 минут диагностики — и ты знаешь, где пробел в геометрии

Попробовать бесплатно

Свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника