Свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника

Параллелограмм — одна из ключевых фигур школьной геометрии. Его свойства лежат в основе десятков задач ЕГЭ: от простых подстановок в задании 1 до многоступенчатых доказательств в задании 17. Разберём всё — от четырёх базовых свойств до частных случаев (ромб, прямоугольник, квадрат).

Что такое параллелограмм

Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны попарно: $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$.

Стандартное обозначение — $ABCD$, где вершины идут по порядку. Диагонали — $AC$ и $BD$, они пересекаются в точке $O$.

Четыре основных свойства

Параллелограмм $ABCD$ обладает четырьмя фундаментальными свойствами:

1. Противоположные стороны равны: $AB = CD$, $AD = BC$.
2. Противоположные углы равны: $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.
3. Сумма соседних углов равна $180°$: $\angle A + \angle B = 180°$.
4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$, $BO = OD$.

Доказательство через треугольники

Диагональ $AC$ делит параллелограмм на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Поскольку $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$, по свойству параллельных прямых:

• $\angle BAC = \angle DCA$ (как накрест лежащие при $AB \parallel CD$)
• $\angle BCA = \angle DAC$ (как накрест лежащие при $AD \parallel BC$)
• $AC$ — общая сторона

По признаку ASA: $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Отсюда: $AB = CD$, $AD = BC$ (свойство 1). Аналогично доказываются свойства 2 и 4.

Четыре признака параллелограмма

Четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Две стороны равны и параллельны (например, $AB = CD$ и $AB \parallel CD$).
2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам ($AO = OC$, $BO = OD$).
3. Противоположные стороны попарно равны ($AB = CD$ и $BC = AD$).
4. Противоположные стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$).

Формула площади

$S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$

где $a$ ($b$) — сторона, $h_a$ ($h_b$) — соответствующая высота. Также через стороны и угол:

$S = ab \sin\angle A$

Частные случаи

Ромб

Ромб — параллелограмм, у которого все четыре стороны равны ($AB = BC = CD = DA = a$).

Дополнительные свойства ромба:

• Диагонали перпендикулярны: $d_1 \perp d_2$.
• Каждая диагональ — биссектриса соответствующих углов.

Формулы для ромба: $S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a^2 \sin\angle A$

Связь диагоналей со стороной и углом (при остром угле $\alpha$): $d_1 = 2a\sin\frac{\alpha}{2}, \quad d_2 = 2a\cos\frac{\alpha}{2}$

Прямоугольник

Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые ($\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90°$).

Дополнительное свойство: диагонали равны ($AC = BD = d$).

Формула диагонали (теорема Пифагора): $d = \sqrt{a^2 + b^2}$

Квадрат

Квадрат — это одновременно ромб и прямоугольник: все стороны равны, все углы прямые.

$d = a\sqrt{2}, \quad S = a^2 = \frac{d^2}{2}$

Иерархия: квадрат $\subset$ прямоугольник $\subset$ параллелограмм; квадрат $\subset$ ромб $\subset$ параллелограмм.

Задания 1 и 17 ЕГЭ

Задание 1 — базовый уровень. Прямое применение свойства: «диагонали делятся пополам», «противоположные стороны равны», формула площади. Одно действие.

Задание 17 — планиметрия части 2. Свойства параллелограмма встроены в многошаговые конструкции. Типичный сценарий: доказать, что некая четырёхугольник является параллелограммом (использовать один из признаков), а затем найти площадь, угол или длину диагонали.

Разборы задач

Задача 1 (уровень задания 1)

Условие. В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC = 18$. Точка $O$ — пересечение диагоналей. Найди $AO$.

Решение. По свойству 4: диагонали делятся пополам в точке пересечения. Поэтому $AO = AC/2 = 18/2 = 9$.

Ответ: $AO = 9$.

Задача 2 (сложнее — к уровню задания 17)

Условие. В прямоугольнике $ABCD$ со сторонами $AB = 10$, $BC = 6$ проведена диагональ $BD$. Точка $M$ — середина $AB$. Найди длину $CM$.

Решение. Введём координаты: $A(0, 0)$, $B(10, 0)$, $C(10, 6)$, $D(0, 6)$.

Точка $M$ — середина $AB$: $M(5, 0)$.

$CM = \sqrt{(10-5)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$

Ответ: $CM = \sqrt{61}$.

Типичные ошибки

Перепутать свойство и признак. «Диагонали делятся пополам» — это и свойство (если знаем, что параллелограмм) и признак (если доказываем, что параллелограмм). Чётко понимай, что дано и что требуется.

Думать, что в любом параллелограмме диагонали перпендикулярны. Нет — перпендикулярность диагоналей есть только у ромба. В общем параллелограмме диагонали лишь делятся пополам.

Применять формулу ромба ($d_1 \cdot d_2 / 2$) к обычному параллелограмму. Не работает. Для обычного параллелограмма: $S = a \cdot h$.