Теорема Фалеса: пропорциональные отрезки и применения

Теорема Фалеса — основной инструмент для работы с параллельными прямыми и пропорциональными отрезками. Задание 16 ЕГЭ часто включает задачи, где нужно найти длину отрезка через пропорцию.

Теорема Фалеса (общая формулировка)

Теорема. Если несколько параллельных прямых пересекают одну прямую (секущую), то они отсекают от неё пропорциональные отрезки.

Точнее: если прямые $a_1 \parallel a_2 \parallel a_3$ пересекают секущую $p$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и секущую $q$ в точках $B_1, B_2, B_3$, то: $\frac{A_1 A_2}{A_2 A_3} = \frac{B_1 B_2}{B_2 B_3}$

Следствие: теорема Фалеса в треугольнике

Следствие. Если прямая параллельна одной стороне треугольника и пересекает две другие стороны, то она делит эти стороны пропорционально.

Пусть в $\triangle ABC$ прямая $MN \parallel BC$, $M \in AB$, $N \in AC$. Тогда: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$

или эквивалентно: $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}$

Последнее равенство — признак подобия треугольников $AMN$ и $ABC$ (с коэффициентом $k = \frac{AM}{AB}$).

Обратная теорема Фалеса

Если прямая $MN$ делит стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ пропорционально ($\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC}$), то $MN \parallel BC$.

Обратная теорема используется для доказательства параллельности.

Примеры задач

Пример 1 (базовый). В треугольнике $ABC$ прямая $MN \parallel BC$, $M \in AB$, $N \in AC$. Дано: $AM = 4$, $MB = 6$, $AN = 3$. Найти $NC$.

По следствию теоремы Фалеса: $\frac{AM}{MB} = \frac{AN}{NC} \Rightarrow \frac{4}{6} = \frac{3}{NC} \Rightarrow NC = \frac{3 \cdot 6}{4} = 4{,}5$

Ответ: $NC = 4{,}5$.

Пример 2 (с нахождением MN). В $\triangle ABC$ прямая $MN \parallel BC$, $AM = 6$, $AB = 15$, $BC = 10$. Найти $MN$.

Коэффициент подобия: $k = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5}$.

По теореме: $\dfrac{MN}{BC} = k \Rightarrow MN = \dfrac{2}{5} \cdot 10 = 4$.

Ответ: $MN = 4$.

Пример 3 (три параллельные прямые). Три параллельные прямые пересекают секущую $p$ в точках $A, B, C$ так, что $AB = 5$, $BC = 3$. Те же прямые пересекают секущую $q$ в точках $D, E, F$. Найти $EF$, если $DE = 8$.

По теореме Фалеса: $\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} \Rightarrow \frac{5}{3} = \frac{8}{EF} \Rightarrow EF = \frac{8 \cdot 3}{5} = 4{,}8$

Ответ: $EF = 4{,}8$.

Пример 4 (задача 16 типа). В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) диагонали пересекаются в точке $O$. $BC = 6$, $AD = 9$. Найти $BO$.

Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны (теорема Фалеса с параллельными $BC$ и $AD$).

Коэффициент подобия: $k = \dfrac{BC}{AD} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.

Значит $\dfrac{BO}{OD} = \dfrac{2}{3}$. Пусть $BD = BD$, тогда $BO = \dfrac{2}{5} BD$.

Дополнение задачи: если $BD = 15$, то $BO = 6$.

Ответ: $BO = 6$.

Применение в задаче ЕГЭ (алгоритм)

При задаче на нахождение отрезка через теорему Фалеса:

1. Убедись, что прямые параллельны (дано или нужно доказать).
2. Определи, какие отношения равны по теореме.
3. Составь пропорцию с одним неизвестным.
4. Реши: перекрёстное умножение.
5. Проверь: подставь обратно, что отношения равны.

Связь с другими темами

• Теорема Фалеса (базовый) — формулировка и базовые случаи.
• Подобие треугольников — следствие теоремы: $\frac{AM}{AB} = \frac{MN}{BC}$ — это коэффициент подобия.
• Средняя линия треугольника — частный случай при $k = 1/2$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 16 — планиметрия, поиск длины отрезка через пропорцию.