Свойство медианы треугольника

Медиана — это отрезок от вершины треугольника к середине противоположной стороны. У каждого треугольника три медианы, и они имеют несколько важных свойств для ЕГЭ: пересекаются в одной точке (центроиде) в отношении 2:1, имеют формулу длины через стороны, и делят площадь пополам.

Определение

В треугольнике $ABC$ медиана из вершины $A$ — это отрезок $AM$, где $M$ — середина стороны $BC$ (то есть $BM = MC = BC/2$).

В каждом треугольнике три медианы — из каждой вершины к середине противоположной стороны.

Свойство 1: пересечение в одной точке (центроид)

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Каждая медиана делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

То есть, если $G$ — точка пересечения медиан и $AM$ — медиана из $A$, то:

$AG : GM = 2 : 1$

Иначе: $AG = \frac{2}{3} AM$ и $GM = \frac{1}{3} AM$.

Точка $G$ называется центроидом или центром масс треугольника.

Применение свойства 1

Пример. В треугольнике $ABC$ медиана $AM = 12$. На каком расстоянии от вершины $A$ находится центроид?

Решение. $AG = (2/3) \cdot AM = (2/3) \cdot 12 = 8$.

Ответ: 8.

Свойство 2: длина медианы

Формула: для медианы из вершины $A$ к стороне $BC$ (где $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$):

$m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Аналогично для медиан из $B$ и $C$:

$m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}, \quad m_c^2 = \frac{2a^2 + 2b^2 - c^2}{4}$

Вывод (из теоремы Стюарта): для медианы $m = n = a/2$. Подставив в теорему Стюарта $b^2 m + c^2 n - d^2 a = a m n$ и упростив, получаем формулу выше.

Применение

Пример. В треугольнике $ABC$: $AB = 5$, $AC = 7$, $BC = 6$. Найти медиану из $A$.

Решение. $a = BC = 6$, $b = AC = 7$, $c = AB = 5$.

$m_a^2 = \frac{2 \cdot 49 + 2 \cdot 25 - 36}{4} = \frac{98 + 50 - 36}{4} = \frac{112}{4} = 28$

$m_a = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

Ответ: $2\sqrt{7}$.

Свойство 3: медиана делит площадь пополам

Теорема. Любая медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади.

Доказательство. Медиана из $A$ делит сторону $BC$ на две равные части ($BM = MC$). Треугольники $ABM$ и $ACM$ имеют общую высоту из вершины $A$ (одна и та же высота, опущенная на прямую $BC$) и равные основания. Значит их площади равны:

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot MC \cdot h = S_{ACM}$

Применение

Пример. Площадь треугольника $ABC$ равна $S = 24$. Медиана $BN$ делит его на два треугольника. Чему равна площадь каждого из них?

Решение. Медиана делит треугольник на два равной площади. Значит каждая $= S/2 = 12$.

Ответ: 12.

Свойство 4: центроид делит треугольник на 6 равных треугольников

Дополнительное свойство. Три медианы $AM$, $BN$, $CK$ делят треугольник на шесть малых треугольников. Все шесть имеют равные площади, каждая равна $S/6$ от площади исходного.

Это следствие из свойств 1 и 3: медианы из всех трёх вершин разбивают треугольник, и центроид является общей точкой, разделяющей пары треугольников.

Координаты центроида

В декартовых координатах, если вершины треугольника $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$, $(x_3, y_3)$, то центроид:

$G = \left( \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} \right)$

Координаты центроида — это среднее арифметическое координат вершин. Это другой взгляд на «центр тяжести».

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 1 (планиметрия базовая)

Часто простое применение свойства 1 или 2.

Пример. Медиана треугольника равна 6. Найти расстояние от центроида до середины противоположной стороны.

Решение. $GM = (1/3) \cdot 6 = 2$.

Ответ: 2.

Задание 16 (планиметрия повышенная)

В сочетании с теоремой косинусов или другими методами.

Пример. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найти медиану к большей стороне.

Решение. Большая сторона $a = 15$, остальные $b = 13, c = 14$ (или наоборот, не важно).

$m_a^2 = \frac{2 \cdot 169 + 2 \cdot 196 - 225}{4} = \frac{338 + 392 - 225}{4} = \frac{505}{4}$

$m_a = \frac{\sqrt{505}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{505}}{2}$.

Распространённые ошибки

1. Перепутать отношение 2:1. «От вершины до центроида 1/3, от центроида до стороны 2/3» — НЕВЕРНО. Правильно наоборот: 2/3 от вершины, 1/3 до стороны.

2. Считать, что медиана делит треугольник на ДВА РАВНЫХ треугольника. Это разные понятия: равные площади и равные фигуры. Медиана даёт равные площади, но не равные треугольники (они в общем случае не равны).

3. Применять формулу $m_a^2$ не к той стороне. $a$ — это сторона, К КОТОРОЙ проведена медиана из $A$. То есть противоположная сторона. Часто путают и подставляют $a = AB$ вместо $a = BC$.

4. Путать центроид и инцентр. Центроид — пересечение медиан, центр тяжести. Инцентр — пересечение биссектрис, центр вписанной окружности. Не одно и то же.

Связь с другими темами

• Свойства биссектрисы — родственная тема.
• Теорема Стюарта — даёт общую формулу длины чевианы, частный случай — медиана.
• Площадь треугольника — нужна для задач с делением площади.
• Средняя линия треугольника — другая связанная конструкция.

Что запомнить

Четыре свойства медианы:

1. Пересечение в центроиде в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Длина: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$.
3. Делит треугольник на 2 равных по площади.
4. Три медианы делят треугольник на 6 равных по площади малых треугольников.

Главное в задании 16 с медианой: формула длины + отношение 2:1 покрывают 90% задач этой темы.