Свойство медианы треугольника

Медиана — это отрезок от вершины треугольника к середине противоположной стороны. У каждого треугольника три медианы, и они имеют несколько важных свойств для ЕГЭ: пересекаются в одной точке (центроиде) в отношении 2:1, имеют формулу длины через стороны, и делят площадь пополам.

Определение

В треугольнике $ABC$ медиана из вершины $A$ — это отрезок $AM$, где $M$ — середина стороны $BC$ (то есть $BM=MC=BC/2$).

В каждом треугольнике три медианы — из каждой вершины к середине противоположной стороны.

Свойство 1: пересечение в одной точке (центроид)

Теорема. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Каждая медиана делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

То есть, если $G$ — точка пересечения медиан и $AM$ — медиана из $A$, то:

$AG:GM=2:1$

Иначе: $AG=\frac{2}{3}AM$ и $GM=\frac{1}{3}AM$.

Точка $G$ называется центроидом или центром масс треугольника.

Применение свойства 1

Пример. В треугольнике $ABC$ медиана $AM=12$. На каком расстоянии от вершины $A$ находится центроид?

Решение. $AG=(2/3)\cdot AM=(2/3)\cdot 12=8$.

Ответ: 8.

Свойство 2: длина медианы

Формула: для медианы из вершины $A$ к стороне $BC$ (где $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$):

$m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

Аналогично для медиан из $B$ и $C$:

$m_b^2=\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4},m_c^2=\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4}$

Вывод (из теоремы Стюарта): для медианы $m=n=a/2$. Подставив в теорему Стюарта $b^{2}m+c^{2}n-d^{2}a=amn$ и упростив, получаем формулу выше.

Применение

Пример. В треугольнике $ABC$: $AB=5$, $AC=7$, $BC=6$. Найти медиану из $A$.

Решение. $a=BC=6$, $b=AC=7$, $c=AB=5$.

$m_a^2=\frac{2\cdot 49+2\cdot 25-36}{4}=\frac{98+50-36}{4}=\frac{112}{4}=28$

$m_a=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Ответ: $2\sqrt{7}$.

Свойство 3: медиана делит площадь пополам

Теорема. Любая медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади.

Доказательство. Медиана из $A$ делит сторону $BC$ на две равные части ($BM=MC$). Треугольники $ABM$ и $ACM$ имеют общую высоту из вершины $A$ (одна и та же высота, опущенная на прямую $BC$) и равные основания. Значит их площади равны:

$S_{ABM}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot h=\frac{1}{2}\cdot MC\cdot h=S_{ACM}$

Применение

Пример. Площадь треугольника $ABC$ равна $S=24$. Медиана $BN$ делит его на два треугольника. Чему равна площадь каждого из них?

Решение. Медиана делит треугольник на два равной площади. Значит каждая $=S/2=12$.

Ответ: 12.

Свойство 4: центроид делит треугольник на 6 равных треугольников

Дополнительное свойство. Три медианы $AM$, $BN$, $CK$ делят треугольник на шесть малых треугольников. Все шесть имеют равные площади, каждая равна $S/6$ от площади исходного.

Это следствие из свойств 1 и 3: медианы из всех трёх вершин разбивают треугольник, и центроид является общей точкой, разделяющей пары треугольников.

Координаты центроида

В декартовых координатах, если вершины треугольника $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, $(x_3,y_3)$, то центроид:

$G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$

Координаты центроида — это среднее арифметическое координат вершин. Это другой взгляд на «центр тяжести».

Применение в заданиях ЕГЭ

Задание 1 (планиметрия базовая)

Часто простое применение свойства 1 или 2.

Пример. Медиана треугольника равна 6. Найти расстояние от центроида до середины противоположной стороны.

Решение. $GM=(1/3)\cdot 6=2$.

Ответ: 2.

Задание 16 (планиметрия повышенная)

В сочетании с теоремой косинусов или другими методами.

Пример. Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найти медиану к большей стороне.

Решение. Большая сторона $a=15$, остальные $b=13,c=14$ (или наоборот, не важно).

$m_a^2=\frac{2\cdot 169+2\cdot 196-225}{4}=\frac{338+392-225}{4}=\frac{505}{4}$

$m_a=\frac{\sqrt{505}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{505}}{2}$.

Распространённые ошибки

1. Перепутать отношение 2:1. «От вершины до центроида 1/3, от центроида до стороны 2/3» — НЕВЕРНО. Правильно наоборот: 2/3 от вершины, 1/3 до стороны.

2. Считать, что медиана делит треугольник на ДВА РАВНЫХ треугольника. Это разные понятия: равные площади и равные фигуры. Медиана даёт равные площади, но не равные треугольники (они в общем случае не равны).

3. Применять формулу $m_a^2$ не к той стороне. $a$ — это сторона, К КОТОРОЙ проведена медиана из $A$. То есть противоположная сторона. Часто путают и подставляют $a=AB$ вместо $a=BC$.

4. Путать центроид и инцентр. Центроид — пересечение медиан, центр тяжести. Инцентр — пересечение биссектрис, центр вписанной окружности. Не одно и то же.

Связь с другими темами

• Свойства биссектрисы — родственная тема.
• Теорема Стюарта — даёт общую формулу длины чевианы, частный случай — медиана.
• Площадь треугольника — нужна для задач с делением площади.
• Средняя линия треугольника — другая связанная конструкция.

Что запомнить

Четыре свойства медианы:

1. Пересечение в центроиде в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Длина: $m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.
3. Делит треугольник на 2 равных по площади.
4. Три медианы делят треугольник на 6 равных по площади малых треугольников.

Главное в задании 16 с медианой: формула длины + отношение 2:1 покрывают 90% задач этой темы.