Подобие треугольников: 3 признака и применение

Подобие треугольников — один из самых рабочих инструментов планиметрии. Умение быстро «увидеть» пару подобных треугольников на рисунке и правильно записать пропорцию решает половину задания 16 ЕГЭ.

Что такое подобие

Два треугольника называются подобными, если:

• все три пары соответственных углов равны,
• все три пары соответственных сторон пропорциональны.

Обозначение: △ABC ∼ △A'B'C' (волнистый знак вместо равенства).

Коэффициент подобия $k$ — это единое число, во сколько раз стороны одного треугольника больше (или меньше) сторон другого:

$k = \frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'}$

Важно: соответственные стороны лежат напротив равных углов, а не просто «первая к первой».

Три признака подобия

Признак ААА (по двум углам)

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны.

$\angle A = \angle A', \quad \angle B = \angle B' \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Третий угол равен автоматически (сумма углов 180°), поэтому проверять его не нужно. Это самый частый признак в задачах ЕГЭ.

Признак СУС (сторона-угол-сторона)

Если два угла треугольников равны, и стороны, образующие эти углы, пропорциональны, треугольники подобны.

$\angle A = \angle A', \quad \frac{AB}{A'B'} = \frac{AC}{A'C'} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Угол должен быть между пропорциональными сторонами — не любой.

Признак ССС (по трём сторонам)

Если все три пары соответственных сторон пропорциональны, треугольники подобны.

$\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A'B'C'$

Используется реже, когда нет информации об углах, но есть все шесть сторон.

Отношение площадей

Ключевое следствие подобия: площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle A'B'C'}} = k^2$

Пример: если стороны одного треугольника в 3 раза больше — площадь в $3^2 = 9$ раз больше. Эта формула — прямой инструмент для задач с вычислением площадей через подобие.

Алгоритм применения подобия в задачах

1. Выдели два треугольника, которые могут быть подобны (ищи общую вершину, параллельные прямые, вписанные углы).
2. Найди равные углы — через признак ААА чаще всего.
3. Запиши пропорцию соответственных сторон (сторона напротив равного угла — к соответственной стороне другого треугольника).
4. Реши пропорцию для нужной величины.
5. Если нужна площадь — используй $S_1/S_2 = k^2$.

Разбор примеров

Пример 1 (задание 1). В треугольнике ABC проведена высота BD. Докажи, что △ABD ∼ △ACB.

Решение. Угол A — общий для обоих треугольников. Углы ADB и ABC оба прямые (BD — высота). По признаку ААА: △ABD ∼ △ACB.

Из подобия: $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AB}$, то есть $AB^2 = AD \cdot AC$ — стандартное следствие, которое используется в задачах на нахождение сторон прямоугольного треугольника.

Пример 2 (задание 16). В трапеции ABCD с основаниями BC = 3 и AD = 9 диагонали пересекаются в точке O. Найди отношение площадей △BOC и △AOD.

Решение. Угол BOC = угол AOD (вертикальные). Угол OBC = угол ODA (накрест лежащие при BC ∥ AD). По признаку ААА: △BOC ∼ △DOA.

Коэффициент подобия $k = BC/AD = 3/9 = 1/3$.

Отношение площадей: $k^2 = 1/9$.

Ответ: площадь △BOC в 9 раз меньше площади △AOD.

Частые ошибки

1. Перепутать порядок вершин в записи подобия. △ABC ∼ △DEF означает A↔D, B↔E, C↔F. Если перепутаешь — пропорция выйдет неверной.
2. Взять в пропорцию не соответственные стороны. Соответственные стороны — те, что лежат напротив равных углов. Не просто «первая к первой».
3. Забыть о признаке СУС: угол должен быть между сторонами. Если угол не между ними — признак не работает.
4. Перепутать k и k² в задачах на площадь. Если стороны в k раз, то площади в k² раз — не в k раз.

Связь с другими темами

• Теорема Фалеса — главный инструмент для нахождения коэффициента подобия через параллельные прямые.
• Теорема Пифагора — применяется вместе с подобием в прямоугольных треугольниках.
• Теорема косинусов — дополнительный инструмент для нахождения сторон.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 — базовая геометрия, где подобие используется для нахождения неизвестных сторон.
• Задание 16 — планиметрия части 2, где доказательство подобия — ключевой шаг в решении.