Теорема Стюарта: длина чевианы в треугольнике

Теорема Стюарта — это формула, которая выражает квадрат длины чевианы треугольника через длины его сторон. Она универсальна: подходит для любой чевианы, включая медиану, биссектрису и произвольный отрезок от вершины к точке на противоположной стороне.

В задании 16 ЕГЭ эта теорема часто экономит время: вместо построения двух теорем косинусов сразу подставляешь в формулу и получаешь ответ.

Формулировка теоремы

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведена чевиана $AD$, где $D$ — точка на стороне $BC$. Обозначим:

• $BC=a$ (противоположная сторона)
• $AC=b$
• $AB=c$
• $BD=m$ (часть стороны $BC$ от $B$ до $D$)
• $DC=n$ (часть стороны $BC$ от $D$ до $C$); $m+n=a$
• $AD=d$ (длина чевианы)

Теорема Стюарта утверждает:

$b^2\cdot m+c^2\cdot n-d^2\cdot a=a\cdot m\cdot n$

Или в более удобной форме (выражая $d^2$):

$d^2=\frac{b^2\cdot m+c^2\cdot n}{a}-m\cdot n$

Доказательство (схематично)

Идея: применить теорему косинусов в двух треугольниках $ABD$ и $ACD$. Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ — смежные, их косинусы противоположны: $\cos \angle ADB=-\cos \angle ADC$.

В треугольнике $ABD$ (стороны $AB=c$, $BD=m$, $AD=d$):

$c^2=d^2+m^2-2dm\cos \angle ADB$

В треугольнике $ACD$ (стороны $AC=b$, $DC=n$, $AD=d$):

$b^2=d^2+n^2-2dn\cos \angle ADC$

Поскольку $\cos \angle ADC=-\cos \angle ADB$, перепишем:

$b^2=d^2+n^2+2dn\cos \angle ADB$

Умножим первое уравнение на $n$, второе на $m$:

$c^{2}n=d^{2}n+m^{2}n-2dmn\cos \angle ADB$ $b^{2}m=d^{2}m+n^{2}m+2dmn\cos \angle ADB$

Сложим:

$b^{2}m+c^{2}n=d^2(m+n)+mn(m+n)=d^{2}a+amn$

(где использовали $m+n=a$). Отсюда:

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^2+mn)$

Перенесём: $b^{2}m+c^{2}n-a{d}^2=amn$.

Это и есть теорема Стюарта.

Частные случаи

Медиана

Для медианы $m=n=a/2$. Подставим:

$b^2\cdot \frac{a}{2}+c^2\cdot \frac{a}{2}-m_a^2\cdot a=a\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a}{2}$

$\frac{a(b^2+c^2)}{2}-m_a^{2}a=\frac{a^3}{4}$

Делим на $a$:

$\frac{b^2+c^2}{2}-m_a^2=\frac{a^2}{4}$

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$

Это стандартная формула длины медианы.

Биссектриса

Для биссектрисы $\frac{m}{n}=\frac{c}{b}$ (свойство биссектрисы делить противоположную сторону в отношении прилежащих). Подставив и упростив (это длиннее), получается:

$l_a^2=bc-mn$

или эквивалентно $l_a^2=bc\left[1-{\left(\frac{a}{b+c}\right)}^2\right]$.

Подробнее — в статье про биссектрису.

Применение в задании 16

Пример 1

Условие. В треугольнике $ABC$ известно: $AB=5$, $AC=7$, $BC=6$. Точка $D$ лежит на $BC$ так, что $BD=2$. Найти $AD$.

Решение. Применим формулу Стюарта с $a=6$, $b=AC=7$, $c=AB=5$, $m=BD=2$, $n=DC=4$.

$d^2=\frac{b^{2}m+c^{2}n}{a}-mn=\frac{49\cdot 2+25\cdot 4}{6}-2\cdot 4$

$=\frac{98+100}{6}-8=\frac{198}{6}-8=33-8=25$

$d=5$

Ответ: $AD=5$.

Пример 2: найти, на сколько разделена сторона

Условие. В треугольнике с сторонами $13$, $14$, $15$ известно, что чевиана из вершины противоположной стороне длины $14$ равна $12$. На какие отрезки она делит сторону длины $14$?

Решение. Обозначим $a=14$, $b=15$, $c=13$, $d=12$. Найти $m$ и $n$, где $m+n=14$.

По теореме Стюарта: $b^{2}m+c^{2}n-d^{2}a=amn$.

$225m+169n-144\cdot 14=14mn$ $225m+169n-2016=14mn$

С $n=14-m$:

$225m+169(14-m)-2016=14m(14-m)$

$225m+2366-169m-2016=196m-14m^2$

$56m+350=196m-14m^2$

$14m^2-140m+350=0$

$m^2-10m+25=0$

$(m-5{)}^2=0$

$m=5,n=9$

Ответ: чевиана делит сторону на 5 и 9.

Распространённые ошибки

1. Перепутать $m$ и $n$ местами. $m$ — это часть стороны от $B$ до $D$. $b$ (длина стороны противоположной $B$) и $n$ (часть от $D$ до $C$) на одной стороне формулы; аналогично $c$ и $m$. Если перепутать — получишь неверный ответ.

2. Не проверить $m+n=a$. Если по условию сумма частей не равна длине стороны — ошибка в условии или ты неверно прочитал.

3. Применять теорему к ненаходящейся внутри отрезку. Теорема Стюарта работает для точки $D$ ВНУТРИ отрезка $BC$ (или, расширенно, на его продолжении с осторожным знаком). Для внешней точки знак $mn$ меняется.

Связь с другими темами

• Свойства биссектрисы — частный случай теоремы Стюарта.
• Свойство медианы — другой частный случай.
• Теорема косинусов — фундамент доказательства.
• Подобие треугольников — альтернативный метод для некоторых задач 16.

Что запомнить

Формула Стюарта:

$d^2=\frac{b^{2}m+c^{2}n}{a}-mn$

где:

• $a$ — сторона, на которой лежит основание чевианы.
• $b,c$ — две другие стороны.
• $m,n$ — части стороны $a$ (от концов до основания чевианы), $m+n=a$.
• $d$ — длина чевианы.

Главное в задании 16: если в задаче есть чевиана и известны длины сторон + точка деления, сразу подставляй в Стюарта — это самый быстрый путь.