Теорема Стюарта: длина чевианы в треугольнике

Теорема Стюарта — это формула, которая выражает квадрат длины чевианы треугольника через длины его сторон. Она универсальна: подходит для любой чевианы, включая медиану, биссектрису и произвольный отрезок от вершины к точке на противоположной стороне.

В задании 16 ЕГЭ эта теорема часто экономит время: вместо построения двух теорем косинусов сразу подставляешь в формулу и получаешь ответ.

Формулировка теоремы

Пусть в треугольнике $ABC$ из вершины $A$ проведена чевиана $AD$, где $D$ — точка на стороне $BC$. Обозначим:

• $BC = a$ (противоположная сторона)
• $AC = b$
• $AB = c$
• $BD = m$ (часть стороны $BC$ от $B$ до $D$)
• $DC = n$ (часть стороны $BC$ от $D$ до $C$); $m + n = a$
• $AD = d$ (длина чевианы)

Теорема Стюарта утверждает:

$b^2 \cdot m + c^2 \cdot n - d^2 \cdot a = a \cdot m \cdot n$

Или в более удобной форме (выражая $d^2$):

$d^2 = \frac{b^2 \cdot m + c^2 \cdot n}{a} - m \cdot n$

Доказательство (схематично)

Идея: применить теорему косинусов в двух треугольниках $ABD$ и $ACD$. Углы $\angle ADB$ и $\angle ADC$ — смежные, их косинусы противоположны: $\cos \angle ADB = -\cos \angle ADC$.

В треугольнике $ABD$ (стороны $AB = c$, $BD = m$, $AD = d$):

$c^2 = d^2 + m^2 - 2 d m \cos \angle ADB$

В треугольнике $ACD$ (стороны $AC = b$, $DC = n$, $AD = d$):

$b^2 = d^2 + n^2 - 2 d n \cos \angle ADC$

Поскольку $\cos \angle ADC = -\cos \angle ADB$, перепишем:

$b^2 = d^2 + n^2 + 2 d n \cos \angle ADB$

Умножим первое уравнение на $n$, второе на $m$:

$c^2 n = d^2 n + m^2 n - 2 d m n \cos \angle ADB$ $b^2 m = d^2 m + n^2 m + 2 d m n \cos \angle ADB$

Сложим:

$b^2 m + c^2 n = d^2 (m + n) + mn(m + n) = d^2 a + a m n$

(где использовали $m + n = a$). Отсюда:

$b^2 m + c^2 n = a(d^2 + mn)$

Перенесём: $b^2 m + c^2 n - a d^2 = a m n$.

Это и есть теорема Стюарта.

Частные случаи

Медиана

Для медианы $m = n = a/2$. Подставим:

$b^2 \cdot \frac{a}{2} + c^2 \cdot \frac{a}{2} - m_a^2 \cdot a = a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2}$

$\frac{a(b^2 + c^2)}{2} - m_a^2 a = \frac{a^3}{4}$

Делим на $a$:

$\frac{b^2 + c^2}{2} - m_a^2 = \frac{a^2}{4}$

$m_a^2 = \frac{b^2 + c^2}{2} - \frac{a^2}{4} = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

Это стандартная формула длины медианы.

Биссектриса

Для биссектрисы $\frac{m}{n} = \frac{c}{b}$ (свойство биссектрисы делить противоположную сторону в отношении прилежащих). Подставив и упростив (это длиннее), получается:

$l_a^2 = bc - mn$

или эквивалентно $l_a^2 = bc \left[ 1 - \left( \frac{a}{b+c} \right)^2 \right]$.

Подробнее — в статье про биссектрису.

Применение в задании 16

Пример 1

Условие. В треугольнике $ABC$ известно: $AB = 5$, $AC = 7$, $BC = 6$. Точка $D$ лежит на $BC$ так, что $BD = 2$. Найти $AD$.

Решение. Применим формулу Стюарта с $a = 6$, $b = AC = 7$, $c = AB = 5$, $m = BD = 2$, $n = DC = 4$.

$d^2 = \frac{b^2 m + c^2 n}{a} - mn = \frac{49 \cdot 2 + 25 \cdot 4}{6} - 2 \cdot 4$

$= \frac{98 + 100}{6} - 8 = \frac{198}{6} - 8 = 33 - 8 = 25$

$d = 5$

Ответ: $AD = 5$.

Пример 2: найти, на сколько разделена сторона

Условие. В треугольнике с сторонами $13$, $14$, $15$ известно, что чевиана из вершины противоположной стороне длины $14$ равна $12$. На какие отрезки она делит сторону длины $14$?

Решение. Обозначим $a = 14$, $b = 15$, $c = 13$, $d = 12$. Найти $m$ и $n$, где $m + n = 14$.

По теореме Стюарта: $b^2 m + c^2 n - d^2 a = a m n$.

$225 m + 169 n - 144 \cdot 14 = 14 m n$ $225 m + 169 n - 2016 = 14 m n$

С $n = 14 - m$:

$225 m + 169 (14 - m) - 2016 = 14 m (14 - m)$

$225 m + 2366 - 169 m - 2016 = 196 m - 14 m^2$

$56 m + 350 = 196 m - 14 m^2$

$14 m^2 - 140 m + 350 = 0$

$m^2 - 10 m + 25 = 0$

$(m - 5)^2 = 0$

$m = 5, \quad n = 9$

Ответ: чевиана делит сторону на 5 и 9.

Распространённые ошибки

1. Перепутать $m$ и $n$ местами. $m$ — это часть стороны от $B$ до $D$. $b$ (длина стороны противоположной $B$) и $n$ (часть от $D$ до $C$) на одной стороне формулы; аналогично $c$ и $m$. Если перепутать — получишь неверный ответ.

2. Не проверить $m + n = a$. Если по условию сумма частей не равна длине стороны — ошибка в условии или ты неверно прочитал.

3. Применять теорему к ненаходящейся внутри отрезку. Теорема Стюарта работает для точки $D$ ВНУТРИ отрезка $BC$ (или, расширенно, на его продолжении с осторожным знаком). Для внешней точки знак $mn$ меняется.

Связь с другими темами

• Свойства биссектрисы — частный случай теоремы Стюарта.
• Свойство медианы — другой частный случай.
• Теорема косинусов — фундамент доказательства.
• Подобие треугольников — альтернативный метод для некоторых задач 16.

Что запомнить

Формула Стюарта:

$d^2 = \frac{b^2 m + c^2 n}{a} - m n$

где:

• $a$ — сторона, на которой лежит основание чевианы.
• $b, c$ — две другие стороны.
• $m, n$ — части стороны $a$ (от концов до основания чевианы), $m + n = a$.
• $d$ — длина чевианы.

Главное в задании 16: если в задаче есть чевиана и известны длины сторон + точка деления, сразу подставляй в Стюарта — это самый быстрый путь.