Теорема Пифагора — формула, доказательство и примеры ЕГЭ

Теорема Пифагора знакома всем с 7 класса: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Но на ЕГЭ её применяют там, где прямого угла с виду нет — в трапеции, во вписанных фигурах, в стереометрии. Разберём формулу, обратную теорему и три примера с нарастающей сложностью.

Что такое теорема Пифагора

Теорема Пифагора — утверждение о связи длин сторон прямоугольного треугольника. Если в треугольнике один из углов прямой, то квадрат длины стороны, лежащей напротив этого угла, равен сумме квадратов длин двух других сторон:

$c^2 = a^2 + b^2$

Здесь:

• $a$, $b$ — катеты (две стороны, образующие прямой угол),
• $c$ — гипотенуза (сторона, лежащая напротив прямого угла).

Из формулы выражают любую из трёх сторон, если известны две других:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad a = \sqrt{c^2 - b^2}, \quad b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Последние две формулы работают только при условии $c > a$ и $c > b$ — гипотенуза всегда длиннее любого катета.

Доказательство через площади

Классическое доказательство — построить квадрат со стороной $a + b$ и посчитать его площадь двумя способами.

Способ 1. Сторона квадрата равна $a + b$, значит его площадь равна $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Способ 2. Разбить тот же квадрат на четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $a$, $b$ и один внутренний квадрат со стороной $c$ (гипотенуза). Площадь четырёх треугольников $4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab$, площадь внутреннего квадрата $c^2$. Сумма:

$2ab + c^2$

Приравняем результаты двух способов:

$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$

Отсюда $a^2 + b^2 = c^2$. Что и требовалось доказать.

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема формулируется так: если в треугольнике со сторонами $a$, $b$, $c$ выполняется равенство $a^2 + b^2 = c^2$, то этот треугольник прямоугольный, а сторона $c$ — гипотенуза.

Обратная теорема позволяет проверить, является ли треугольник прямоугольным, не измеряя углы. На ЕГЭ её применяют в задании 16, когда нужно доказать, что две прямые перпендикулярны, — проверяют стороны треугольника, который эти прямые образуют.

Пифагоровы тройки

Пифагорова тройка — три натуральных числа $(a, b, c)$, удовлетворяющих равенству $a^2 + b^2 = c^2$. Их полезно запомнить: если видишь такие числа в задаче, сразу применяй теорему без подсчёта корней.

Основные тройки для ЕГЭ:

• $(3, 4, 5)$
• $(5, 12, 13)$
• $(8, 15, 17)$
• $(7, 24, 25)$
• $(20, 21, 29)$

Любая тройка, умноженная на натуральное число, тоже пифагорова: $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$ — тоже рабочие.

Общая формула порождения всех примитивных пифагоровых троек:

$a = m^2 - n^2, \quad b = 2mn, \quad c = m^2 + n^2$

где $m > n > 0$, $m$ и $n$ — взаимно простые натуральные числа разной чётности.

Алгоритм применения на ЕГЭ

1. Найди в задаче прямоугольный треугольник. Если его нет явно — построй: опусти высоту, соедини центр окружности с точкой касания, проведи диагональ.
2. Обозначь катеты и гипотенузу. Гипотенуза лежит против прямого угла.
3. Запиши формулу: $c^2 = a^2 + b^2$.
4. Подставь известные значения.
5. Найди неизвестное. Если нужно извлекать корень — проверь, получилось ли «красивое» число; если да, скорее всего ты нашёл пифагорову тройку.
6. Проверь ответ: гипотенуза должна быть больше каждого катета.

Разбор примеров

Пример 1 (уровень А). Стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найди длину диагонали.

Решение. Диагональ прямоугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника с катетами 6 и 8. По теореме Пифагора:

$d^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Значит $d = 10$.

Типичная ошибка. Записать $d = 6 + 8 = 14$, сложив стороны напрямую. Диагональ всегда меньше суммы сторон — правило треугольника.

Пример 2 (уровень Б). В трапеции $ABCD$ с основаниями $BC = 4$ и $AD = 10$ боковая сторона $AB = 5$ перпендикулярна основаниям. Найди длину боковой стороны $CD$.

Решение. Сторона $AB$ перпендикулярна основаниям — значит $AB$ является высотой трапеции: $h = 5$.

Опустим из точки $C$ перпендикуляр $CH$ на $AD$. Получим прямоугольник $ABCH$, где $CH = AB = 5$, $AH = BC = 4$. Тогда $HD = AD - AH = 10 - 4 = 6$.

Треугольник $CHD$ прямоугольный: катеты $CH = 5$ и $HD = 6$, гипотенуза $CD$. По Пифагору:

$CD^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$

Ответ: $CD = \sqrt{61}$.

Типичная ошибка. Считать, что $HD = AD = 10$, забыв вычесть длину верхнего основания. Всегда рисуй чертёж и отмечай равные отрезки.

Пример 3 (уровень В). В ромбе диагонали равны 12 и 16. Найди длину стороны ромба.

Решение. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Значит они образуют четыре равных прямоугольных треугольника с катетами $\frac{12}{2} = 6$ и $\frac{16}{2} = 8$, а гипотенуза — сторона ромба.

По теореме Пифагора:

$a^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$

Значит $a = 10$.

Типичная ошибка. Использовать полные диагонали в качестве катетов, получив $\sqrt{144 + 256} = 20$. Диагонали делятся пополам — катеты равны половинам диагоналей, а не целым.

Типичные ошибки

1. Путать катет и гипотенузу. Гипотенуза лежит напротив прямого угла. Если в задаче написано «один катет 5, гипотенуза 13» и ты возьмёшь 13 за катет, получишь мнимый корень.
2. Применять теорему в непрямоугольном треугольнике. Теорема работает только при угле $90°$. Для произвольного треугольника — теорема косинусов.
3. Ошибаться в квадратных корнях. Если $c^2 = 50$, то $c = 5\sqrt{2}$, а не $\sqrt{50}$ в ответе — приведи корень к стандартному виду.
4. Забывать про единицы. Если одна сторона в метрах, другая в сантиметрах — сначала приведи к одной мере.
5. Не распознавать прямоугольный треугольник в фигуре. В ромбе, прямоугольнике, вписанной в полуокружность фигуре — везде есть скрытый прямоугольный треугольник. Учись его видеть.

Связь с другими темами

Теорема Пифагора — фундамент школьной планиметрии. Её применение связано с несколькими соседними темами.

• Площадь треугольника — в прямоугольном треугольнике площадь вычисляется через катеты, которые связаны теоремой Пифагора.
• Теорема косинусов — обобщение теоремы Пифагора на произвольный треугольник. При $\gamma = 90°$ теорема косинусов превращается в Пифагора.
• Вписанный угол — следствие о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, — позволяет строить прямоугольные треугольники в окружности и применять Пифагора.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 1 (планиметрия базовая) — прямое применение теоремы в треугольниках, прямоугольниках, ромбах.
• Задание 16 (планиметрия повышенного уровня) — теорема служит инструментом внутри более сложных построений: вписанные и описанные окружности, трапеции, доказательство перпендикулярности через обратную теорему.

Неявно теорема используется и в задании 14 стереометрии — для нахождения рёбер, диагоналей и высот в пирамидах и призмах.