Чему равен радиус описанной окружности треугольника?

R = abc / (4S), где a, b, c — стороны, S — площадь. Также по теореме синусов: R = a / (2 sin A) = b / (2 sin B) = c / (2 sin C).

Чему равен радиус вписанной окружности треугольника?

r = S / p, где S — площадь треугольника, p = (a+b+c)/2 — полупериметр. Формула S = p·r — часто используется для нахождения r или S.

Где расположен центр описанной окружности?

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров сторон. Для остроугольного треугольника — внутри, для прямоугольного — на середине гипотенузы, для тупоугольного — снаружи.

Где расположен центр вписанной окружности?

Центр вписанной окружности (инцентр) — точка пересечения биссектрис углов треугольника. Для любого треугольника — всегда внутри.

Свойства вписанного и описанного треугольника — формулы R и r

Формулы через вписанную и описанную окружности — обязательный инструментарий задания 16. Запомни ключевые формулы и умей применять их к нахождению неизвестных элементов.

Описанная окружность

Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника.

Центр (описанная точка, circumcenter) — точка пересечения серединных перпендикуляров. Обозначается $O$ .

Радиус описанной окружности:

По теореме синусов: $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R$

Отсюда: $R = \frac{a}{2 sin A} = \frac{b}{2 sin B} = \frac{c}{2 sin C}$ .

Через площадь: $R = \frac{ab c}{4 S}$

где $a, b, c$ — стороны, $S$ — площадь треугольника.

Особые случаи:

Прямоугольный треугольник: $R = \frac{c}{2}$ (половина гипотенузы).
Правильный треугольник со стороной $a$ : $R = \frac{a}{3}$ .

Вписанная окружность

Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника изнутри.

Центр (инцентр) — точка пересечения биссектрис. Обозначается $I$ .

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$

где $S$ — площадь треугольника, $p = \frac{a + b + c}{2}$ — полупериметр.

Это эквивалентно: $S = p \cdot r$ .

Особые случаи:

Прямоугольный треугольник ( $a, b$ — катеты, $c$ — гипотенуза): $r = \frac{a + b - c}{2}$ .
Правильный треугольник со стороной $a$ : $r = \frac{a}{2 3} = \frac{a 3}{6}$ .

Соотношение для правильного треугольника: $R = 2 r$

Касательные отрезки от вершин

Из каждой вершины треугольника к точкам касания вписанной окружности проведены два равных отрезка. Пусть точки касания — $D, E, F$ (на сторонах $B C, A C, A B$ соответственно). Тогда:

$A F = A E = p - a, B F = B D = p - b, C D = C E = p - c$

Это соотношение часто используется в задаче 16 для нахождения длин отрезков.

Примеры задач

Пример 1. Стороны треугольника: 5, 12, 13. Найти $R$ и $r$ .

Проверка: $5^{2} + 1 2^{2} = 169 = 1 3^{2}$ → прямоугольный, гипотенуза $c = 13$ .

$R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2} = 6, 5$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$ .

$p = \frac{5 + 12 + 13}{2} = 15$ .

$r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2$ .

Ответ: $R = 6, 5$ , $r = 2$ .

Пример 2. В треугольнике $A B = 8$ , $B C = 5$ , $∠ B = 60°$ . Найти $R$ .

$A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 \cdot A B \cdot B C \cdot cos B = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ .

$A C = 7$ .

$S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot B C \cdot sin B = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{3}{2} = 103$ .

$R = \frac{A B \cdot B C \cdot A C}{4 S} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 10 3} = \frac{280}{40 3} = \frac{7}{3} = \frac{7 3}{3}$ .

Ответ: $R = \frac{7 3}{3}$ .

Пример 3 (касательные отрезки). Вписанная окружность треугольника $A B C$ касается стороны $A B$ в точке $F$ . $A B = 10$ , $B C = 8$ , $A C = 6$ . Найти $A F$ .

$p = \frac{10 + 8 + 6}{2} = 12$ .

$A F = p - a = p - B C = 12 - 8 = 4$ .

Ответ: $A F = 4$ .

Пример 4 (задание 16). Площадь треугольника 24, полупериметр 12. Найти радиус вписанной окружности и проверить можно ли вписать окружность.

В любой треугольник можно вписать окружность (это всегда возможно).

$r = \frac{S}{p} = \frac{24}{12} = 2$ .

Ответ: $r = 2$ .

Связь между R и r

Неравенство Эйлера: $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ , где $O I$ — расстояние между центрами.

Следствие: $R \geq 2 r$ (равенство только для правильного треугольника).

Положение центра описанной окружности

Тип треугольника	Положение описанного центра O
Остроугольный	Внутри треугольника
Прямоугольный	На середине гипотенузы
Тупоугольный	Снаружи треугольника

Связь с другими темами

Свойства окружности — базовые свойства.
Вписанная и описанная окружность — подробная страница по теме.
Теорема синусов — связь с $R$ .

В каких заданиях ЕГЭ встречается

Задание 16 — нахождение $R$ , $r$ , элементов через касательные отрезки.

Закрепи планиметрию на задачах ЕГЭ

Задачи на вписанные и описанные окружности по уровню — в Сотах

Начать бесплатно

Вписанная и описанная окружности треугольника: формулы R и r