Вписанная и описанная окружности треугольника: формулы R и r

Формулы через вписанную и описанную окружности — обязательный инструментарий задания 16. Запомни ключевые формулы и умей применять их к нахождению неизвестных элементов.

Описанная окружность

Описанная окружность проходит через все три вершины треугольника.

Центр (описанная точка, circumcenter) — точка пересечения серединных перпендикуляров. Обозначается $O$.

Радиус описанной окружности:

По теореме синусов: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Отсюда: $R = \dfrac{a}{2 \sin A} = \dfrac{b}{2 \sin B} = \dfrac{c}{2 \sin C}$.

Через площадь: $R = \frac{abc}{4S}$

где $a, b, c$ — стороны, $S$ — площадь треугольника.

Особые случаи:

• Прямоугольный треугольник: $R = \dfrac{c}{2}$ (половина гипотенузы).
• Правильный треугольник со стороной $a$: $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$.

Вписанная окружность

Вписанная окружность касается всех трёх сторон треугольника изнутри.

Центр (инцентр) — точка пересечения биссектрис. Обозначается $I$.

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{S}{p}$

где $S$ — площадь треугольника, $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Это эквивалентно: $S = p \cdot r$.

Особые случаи:

• Прямоугольный треугольник ($a, b$ — катеты, $c$ — гипотенуза): $r = \dfrac{a+b-c}{2}$.
• Правильный треугольник со стороной $a$: $r = \dfrac{a}{2\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$.

Соотношение для правильного треугольника: $R = 2r$

Касательные отрезки от вершин

Из каждой вершины треугольника к точкам касания вписанной окружности проведены два равных отрезка. Пусть точки касания — $D, E, F$ (на сторонах $BC, AC, AB$ соответственно). Тогда:

$AF = AE = p - a, \quad BF = BD = p - b, \quad CD = CE = p - c$

Это соотношение часто используется в задаче 16 для нахождения длин отрезков.

Примеры задач

Пример 1. Стороны треугольника: 5, 12, 13. Найти $R$ и $r$.

Проверка: $5^2 + 12^2 = 169 = 13^2$ → прямоугольный, гипотенуза $c = 13$.

$R = \dfrac{c}{2} = \dfrac{13}{2} = 6{,}5$.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$.

$p = \dfrac{5+12+13}{2} = 15$.

$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{30}{15} = 2$.

Ответ: $R = 6{,}5$, $r = 2$.

Пример 2. В треугольнике $AB = 8$, $BC = 5$, $\angle B = 60°$. Найти $R$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B = 64 + 25 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$.

$AC = 7$.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

$R = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S} = \dfrac{8 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 10\sqrt{3}} = \dfrac{280}{40\sqrt{3}} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$.

Пример 3 (касательные отрезки). Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается стороны $AB$ в точке $F$. $AB = 10$, $BC = 8$, $AC = 6$. Найти $AF$.

$p = \dfrac{10+8+6}{2} = 12$.

$AF = p - a = p - BC = 12 - 8 = 4$.

Ответ: $AF = 4$.

Пример 4 (задание 16). Площадь треугольника 24, полупериметр 12. Найти радиус вписанной окружности и проверить можно ли вписать окружность.

В любой треугольник можно вписать окружность (это всегда возможно).

$r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{24}{12} = 2$.

Ответ: $r = 2$.

Связь между R и r

Неравенство Эйлера: $OI^2 = R^2 - 2Rr$, где $OI$ — расстояние между центрами.

Следствие: $R \geq 2r$ (равенство только для правильного треугольника).

Положение центра описанной окружности

Связь с другими темами

• Свойства окружности — базовые свойства.
• Вписанная и описанная окружность — подробная страница по теме.
• Теорема синусов — связь с $R$.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 16 — нахождение $R$, $r$, элементов через касательные отрезки.