Средняя линия треугольника: свойство и доказательство

Средняя линия треугольника — небольшая теорема с большим применением. Она встречается в задании 1 напрямую, а в задании 17 служит инструментом для многошаговых доказательств. Разберём определение, теорему, доказательство и типичные задачи ЕГЭ.

Определение

Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.

В треугольнике $ABC$: если $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$, то $MN$ — средняя линия, проведённая к стороне $AC$ (основанию).

У каждого треугольника три средних линии — для каждой пары сторон своя.

Теорема о средней линии

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Если $M$ — середина $AB$, $N$ — середина $BC$, то: $MN\parallel AC\text{и}MN=\frac{AC}{2}$

Доказательство через подобие

Рассмотрим треугольники $△MBN$ и $△ABC$.

1. Угол $\angle B$ общий для обоих треугольников.
2. $\frac{BM}{BA}=\frac{1}{2}$ (M — середина AB) и $\frac{BN}{BC}=\frac{1}{2}$ (N — середина BC).
3. По признаку СУС (стороны пропорциональны, угол между ними общий): $△MBN\sim △ABC$ с коэффициентом $k=\frac{1}{2}$.

Из подобия с коэффициентом $1/2$:

• $MN=\frac{1}{2}\cdot AC$ — длина средней линии.
• Соответственные стороны пропорциональны → $MN\parallel AC$ (соответственные углы при секущей $AB$ равны, что является признаком параллельности).

Обратная теорема

Если прямая, проходящая через середину одной стороны треугольника, параллельна другой стороне — она пересекает третью сторону в её середине и отсекает отрезок, равный половине той стороны.

На практике: знаешь, что $MN\parallel AC$ и $MN=AC/2$, и $M$ — середина $AB$ → делаешь вывод, что $N$ — середина $BC$.

Применение в задачах ЕГЭ

Задание 1 — базовая геометрия

Задание 17 — планиметрия части 2

В задании 17 средняя линия используется в многошаговых конструкциях. Типичный пример: нужно доказать, что некий четырёхугольник является параллелограммом. Часто используют теорему Вариньона: середины сторон произвольного четырёхугольника образуют параллелограмм — доказывается именно через среднюю линию треугольника.

Разбор задач

Задача 1 (уровень задания 1)

Условие. Средняя линия $MN$ треугольника $ABC$ соединяет середины $AB$ и $BC$. $MN=7$. Найди $AC$.

Решение. $AC=2\cdot MN=14$.

Задача 2 (периметр)

Условие. В треугольнике $ABC$: $AB=10$, $BC=12$. Средняя линия $MN=7$ (параллельна $AC$). Найди периметр треугольника $ABC$.

Решение. $MN=AC/2$, значит $AC=2\cdot 7=14$. Периметр $=AB+BC+AC=10+12+14=36$.

Задача 3 (площадь через подобие)

Условие. Средняя линия делит треугольник на трапецию и малый треугольник. Площадь треугольника $ABC=40$. Найди площадь маленького треугольника $MBN$.

Решение. $△MBN\sim △ABC$ с коэффициентом $k=1/2$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: $S_{MBN}/S_{ABC}=(1/2{)}^2=1/4$. Значит $S_{MBN}=40/4=10$.

Связь со средней линией трапеции

Средняя линия трапеции — обобщение той же идеи. Если одно основание треугольника «сдвинуть» на ненулевую длину $b$, получим трапецию. Средняя линия трапеции: $m=\frac{a+b}{2}$ При $b=0$ (треугольник) формула даёт $m=a/2$ — совпадает с теоремой.

Типичные ошибки

Забыть, что средних линий три. Каждая средняя линия соответствует своей паре сторон и своему основанию. Убедись, что правильно определил, к какой стороне параллельна твоя средняя линия.

Перепутать «вдвое меньше основания» с «вдвое меньше периметра». Средняя линия равна половине именно той стороны, которой она параллельна — не половине периметра или другой стороны.

Неправильно применить обратную теорему. Для обратной теоремы нужны ОБА условия: параллельность третьей стороне И равенство её половине. Только параллельности недостаточно.