Обратная теорема Пифагора: признак прямоугольного треугольника

Обратная теорема Пифагора — инструмент для распознавания прямоугольного треугольника по длинам сторон. В задании 16 она часто нужна как промежуточный шаг в доказательстве.

Формулировка

Обратная теорема Пифагора. Если в треугольнике $ABC$ выполняется равенство: $c^2=a^2+b^2$

(где $c=AB$, $a=BC$, $b=AC$), то $\angle C=90°$, то есть треугольник прямоугольный.

Прямая теорема: в прямоугольном треугольнике $c^2=a^2+b^2$.

Обратная теорема: если $c^2=a^2+b^2$, то угол напротив $c$ — прямой.

Алгоритм проверки

1. Найди длины всех трёх сторон.
2. Выбери наибольшую — пусть это $c$.
3. Вычисли $a^2+b^2$ и $c^2$.
4. Если $c^2=a^2+b^2$ — треугольник прямоугольный, $\angle C=90°$.
5. Если $c^2<a^2+b^2$ — угол $C$ острый (тупоугольный треугольник исключён).
6. Если $c^2>a^2+b^2$ — угол $C$ тупой.

Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки — наборы натуральных чисел $(a,b,c)$ с $a^2+b^2=c^2$:

Все кратные тоже подходят: $(6,8,10)$, $(9,12,15)$, $(10,24,26)$ и т.д.

Зачем знать: в задаче 16 числа из пифагоровых троек — подсказка, что треугольник прямоугольный. Вместо теоремы косинусов можно применить обратную теорему Пифагора — это быстрее.

Примеры задач

Пример 1 (прямая проверка). Стороны треугольника: 5, 12, 13. Является ли он прямоугольным?

Наибольшая: 13. $5^2+12^2=25+144=169=13^2$. ✓

Ответ: да, прямоугольный (прямой угол напротив стороны 13).

Пример 2 (обнаружение). Стороны: 7, 8, 11. Прямоугольный ли треугольник?

$7^2+8^2=49+64=113\ne 121=11^2$.

Ответ: нет. Так как $113<121$, угол напротив стороны 11 — тупой.

Пример 3 (из задачи 16). В треугольнике $ABC$: $\angle A=90°$, $AB=6$, $AC=8$. Точка $M$ — середина $BC$. Найти $AM$.

Сначала $BC$: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{36+64}=10$.

Медиана из прямого угла = $\frac{BC}{2}=5$.

Ответ: $AM=5$.

Пример 4 (доказательство прямого угла). В четырёхугольнике $ABCD$: $AB=5$, $BC=12$, $AC=13$. Доказать, что $\angle B=90°$.

$A{B}^2+B{C}^2=25+144=169=A{C}^2=13^2$.

По обратной теореме Пифагора в $△ABC$: $\angle B=90°$.

Пример 5 (задание 16). В прямоугольном треугольнике $\angle C=90°$, $AC=6$, $\mathrm{tg}B=\frac{3}{4}$. Найти гипотенузу.

$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{BC}=\frac{3}{4}\Rightarrow BC=8$.

$AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{36+64}=10$.

Ответ: $AB=10$ (это пифагорова тройка 6–8–10).

Связь с теоремой косинусов

Теорема косинусов: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.

При $\cos C=0$ (то есть $C=90°$): $c^2=a^2+b^2$ — теорема Пифагора.

При $c^2=a^2+b^2$: $2ab\cos C=0\Rightarrow \cos C=0\Rightarrow C=90°$ — обратная теорема.

Теорема косинусов — обобщение: она работает для любого угла, а теорема Пифагора — частный случай при $C=90°$.

Типичные ошибки

1. Не проверять наибольшую сторону. Если взять не наибольшую $c$, равенство $c^2=a^2+b^2$ не имеет смысла как критерий.
2. Путать прямую и обратную теоремы. Прямая: прямоугольный → $c^2=a^2+b^2$. Обратная: $c^2=a^2+b^2$ → прямоугольный.
3. Применять обратную теорему к произвольной стороне. Нужно именно: наибольшая² = сумма квадратов двух меньших.

Связь с другими темами

• Теорема Пифагора — прямая теорема.
• Свойства прямоугольного треугольника — что следует из прямого угла.
• Теорема косинусов — обобщение для любого угла.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 16 — доказательство прямого угла или применение в сложной планиметрической задаче.