Обратная теорема Пифагора: признак прямоугольного треугольника

Обратная теорема Пифагора — инструмент для распознавания прямоугольного треугольника по длинам сторон. В задании 16 она часто нужна как промежуточный шаг в доказательстве.

Формулировка

Обратная теорема Пифагора. Если в треугольнике $ABC$ выполняется равенство: $c^2 = a^2 + b^2$

(где $c = AB$, $a = BC$, $b = AC$), то $\angle C = 90°$, то есть треугольник прямоугольный.

Прямая теорема: в прямоугольном треугольнике $c^2 = a^2 + b^2$.

Обратная теорема: если $c^2 = a^2 + b^2$, то угол напротив $c$ — прямой.

Алгоритм проверки

1. Найди длины всех трёх сторон.
2. Выбери наибольшую — пусть это $c$.
3. Вычисли $a^2 + b^2$ и $c^2$.
4. Если $c^2 = a^2 + b^2$ — треугольник прямоугольный, $\angle C = 90°$.
5. Если $c^2 < a^2 + b^2$ — угол $C$ острый (тупоугольный треугольник исключён).
6. Если $c^2 > a^2 + b^2$ — угол $C$ тупой.

Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки — наборы натуральных чисел $(a, b, c)$ с $a^2 + b^2 = c^2$:

Все кратные тоже подходят: $(6, 8, 10)$, $(9, 12, 15)$, $(10, 24, 26)$ и т.д.

Зачем знать: в задаче 16 числа из пифагоровых троек — подсказка, что треугольник прямоугольный. Вместо теоремы косинусов можно применить обратную теорему Пифагора — это быстрее.

Примеры задач

Пример 1 (прямая проверка). Стороны треугольника: 5, 12, 13. Является ли он прямоугольным?

Наибольшая: 13. $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$. ✓

Ответ: да, прямоугольный (прямой угол напротив стороны 13).

Пример 2 (обнаружение). Стороны: 7, 8, 11. Прямоугольный ли треугольник?

$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \neq 121 = 11^2$.

Ответ: нет. Так как $113 < 121$, угол напротив стороны 11 — тупой.

Пример 3 (из задачи 16). В треугольнике $ABC$: $\angle A = 90°$, $AB = 6$, $AC = 8$. Точка $M$ — середина $BC$. Найти $AM$.

Сначала $BC$: $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$.

Медиана из прямого угла = $\frac{BC}{2} = 5$.

Ответ: $AM = 5$.

Пример 4 (доказательство прямого угла). В четырёхугольнике $ABCD$: $AB = 5$, $BC = 12$, $AC = 13$. Доказать, что $\angle B = 90°$.

$AB^2 + BC^2 = 25 + 144 = 169 = AC^2 = 13^2$.

По обратной теореме Пифагора в $\triangle ABC$: $\angle B = 90°$.

Пример 5 (задание 16). В прямоугольном треугольнике $\angle C = 90°$, $AC = 6$, $\tg B = \dfrac{3}{4}$. Найти гипотенузу.

$\tg B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{6}{BC} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow BC = 8$.

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$.

Ответ: $AB = 10$ (это пифагорова тройка 6–8–10).

Связь с теоремой косинусов

Теорема косинусов: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$.

При $\cos C = 0$ (то есть $C = 90°$): $c^2 = a^2 + b^2$ — теорема Пифагора.

При $c^2 = a^2 + b^2$: $2ab \cos C = 0 \Rightarrow \cos C = 0 \Rightarrow C = 90°$ — обратная теорема.

Теорема косинусов — обобщение: она работает для любого угла, а теорема Пифагора — частный случай при $C = 90°$.

Типичные ошибки

1. Не проверять наибольшую сторону. Если взять не наибольшую $c$, равенство $c^2 = a^2 + b^2$ не имеет смысла как критерий.
2. Путать прямую и обратную теоремы. Прямая: прямоугольный → $c^2 = a^2+b^2$. Обратная: $c^2 = a^2+b^2$ → прямоугольный.
3. Применять обратную теорему к произвольной стороне. Нужно именно: наибольшая² = сумма квадратов двух меньших.

Связь с другими темами

• Теорема Пифагора — прямая теорема.
• Свойства прямоугольного треугольника — что следует из прямого угла.
• Теорема косинусов — обобщение для любого угла.

В каких заданиях ЕГЭ встречается

• Задание 16 — доказательство прямого угла или применение в сложной планиметрической задаче.