Логарифмические неравенства: алгоритм решения

Логарифмические неравенства — задание 15 ЕГЭ профиль, 2 балла. Алгоритм чёткий: ОДЗ → метод рационализации → метод интервалов → пересечение с ОДЗ. Разберём три примера возрастающей сложности.

Главная сложность логарифмического неравенства — двойной контроль. Во-первых, логарифм определён только при положительном аргументе, поэтому ОДЗ обязательна и часто сильно сужает ответ. Во-вторых, при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства ведёт себя по-разному в зависимости от основания: при основании больше единицы сохраняется, при основании между нулём и единицей — переворачивается. Метод рационализации элегантно решает вторую проблему, упаковывая оба случая в одно выражение. А про ОДЗ нужно помнить всегда — это первый и последний шаг алгоритма. Освоив эту связку, ты надёжно берёшь два балла задания 15.

Алгоритм из четырёх шагов

Шаг 1. ОДЗ. Все аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Запиши систему неравенств вида $\{f(x) > 0,\ g(x) > 0\}$ и реши её. Если логарифмов несколько, ОДЗ — пересечение условий для каждого аргумента. Когда аргумент линейный, ОДЗ — простой луч; когда квадратный или дробный, ОДЗ сама решается методом интервалов и может оказаться объединением нескольких промежутков. Этот шаг нельзя откладывать: ОДЗ определяет, в какой области вообще имеет смысл искать решение.

Шаг 2. Приведение к одному основанию. Если в неравенстве разные основания — преобразуй к одному через формулу перехода $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$. Сравнивать логарифмы можно только при одинаковом основании, поэтому этот шаг обязателен, когда основания различаются. Если основания уже совпадают, шаг пропускается. Также на этом шаге число в правой части (если оно есть) представляют как логарифм по тому же основанию.

Шаг 3. Метод рационализации. Неравенство $\log_a f(x) \geq \log_a g(x)$ равносильно: $(f(x) - g(x))(a - 1) \geq 0$

Это формула, которую стоит выучить наизусть. Её красота в том, что она избавляет от необходимости отдельно разбирать случаи $a > 1$ и $0 < a < 1$: множитель $(a - 1)$ берёт на себя весь учёт направления знака. Если $a > 1$, то $(a - 1) > 0$ и неравенство между аргументами имеет тот же знак, что между логарифмами. Если $0 < a < 1$, то $(a - 1) < 0$ и знак переворачивается — ровно как и должно быть для убывающей функции. Метод рационализации работает и когда основание переменное (тогда вместо $a$ стоит выражение с $x$), и для разных знаков неравенства — нужно лишь аккуратно подставить и решить методом интервалов.

Шаг 4. Метод интервалов + пересечение с ОДЗ. Реши полученное рациональное неравенство и пересеки с ОДЗ из шага 1.

Этот алгоритм универсален и работает почти для всех логарифмических неравенств задания 15. Ключевая мысль — он превращает «страшное» неравенство с логарифмами в обычное рациональное, которое ты уже умеешь решать методом интервалов. Логарифмы исчезают на шаге 3, и дальше остаётся чистая алгебра. Единственное, что отличает логарифмическое неравенство от рационального, — это обязательная ОДЗ (аргументы положительны) и аккуратность со знаком при основании меньше единицы. Оба эти момента закрываются шагами 1 и 3.

Правило знака (без рационализации)

Для простейших неравенств, где справа стоит число, — быстрый вариант напрямую, без формулы рационализации:

Плюс всегда: $f(x) > 0$ (ОДЗ).

Этот «быстрый вариант» удобен для простейших неравенств вида $\log_a f(x) \ge b$, где справа стоит число, а не логарифм. Идея — потенцировать: представить $b$ как $\log_a a^b$ и сравнить аргументы. Но при основании меньше единицы знак переворачивается — именно об этом нижняя строка таблицы. Для более сложных неравенств (где справа тоже логарифм) надёжнее метод рационализации, который не требует помнить, в какую сторону менять знак. Оба подхода эквивалентны; выбирай по структуре задачи.

Пример 1: простейшее (уровень А)

Задача. Реши неравенство $\log_2(x-1) > 3$. Справа стоит число, поэтому можно идти быстрым путём через таблицу знака.

Шаг 1. ОДЗ: аргумент положителен, $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

Шаг 2. Чтобы сравнить логарифмы, представим число $3$ как логарифм по тому же основанию: $3 = \log_2 2^3 = \log_2 8$. Перепишем неравенство: $\log_2(x-1) > \log_2 8$. Теперь обе части — логарифмы по основанию $2$, и можно сравнивать аргументы.

Шаг 3. Основание $2 > 1$, поэтому функция $\log_2$ возрастает и знак неравенства между аргументами сохраняется: $x - 1 > 8 \Rightarrow x > 9$.

Шаг 4. Пересекаем с ОДЗ $x > 1$: ответ $x > 9$. Здесь ОДЗ оказалась «слабее» основного условия ($x > 9$ автоматически даёт $x > 1$), поэтому пересечение не сузило ответ. Но записать ОДЗ всё равно обязательно — эксперт ждёт явного указания области определения.

$\boxed{x \in (9;\, +\infty)}$

Пример 2: основание меньше 1 (уровень Б)

Задача. Реши неравенство $\log_{0{,}5}(2x + 4) \geq -2$ с основанием меньше единицы.

Шаг 1. ОДЗ: аргумент положителен, $2x + 4 > 0 \Rightarrow x > -2$.

Шаг 2. Представим $-2$ как логарифм по основанию $0{,}5$: $-2 = \log_{0{,}5}(0{,}5)^{-2} = \log_{0{,}5} 4$ (потому что $0{,}5^{-2} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$). Перепишем: $\log_{0{,}5}(2x+4) \geq \log_{0{,}5} 4$. Теперь обе части — логарифмы по одному основанию, и можно сравнивать аргументы, не забыв про правило знака.

Шаг 3. Основание $0{,}5 < 1$, поэтому функция $\log_{0{,}5}$ убывает и знак неравенства между аргументами меняется на противоположный: $2x + 4 \leq 4 \Rightarrow x \leq 0$.

Шаг 4. Пересекаем с ОДЗ $x > -2$:

$\boxed{x \in (-2;\, 0]}$

Этот пример — главная ловушка темы в действии. Основание $0{,}5$ меньше единицы, поэтому при переходе от логарифмов к аргументам знак $\ge$ превратился в $\le$. Если бы по невнимательности оставили знак прежним, получили бы $2x + 4 \ge 4$, то есть $x \ge 0$ — ровно противоположный (и неверный) ответ. Здесь же ОДЗ ($x > -2$) и основное условие ($x \le 0$) вместе дали полуинтервал $(-2; 0]$: левый конец выколот (от строгого ОДЗ), правый закрашен (от нестрогого $\ge$, давшего $x \le 0$). Запомни правило: при основании меньше единицы знак неравенства всегда переворачивается — проговаривай это вслух перед переходом.

Пример 3: метод рационализации (уровень В)

Задача. Реши неравенство $\log_3(x^2 - 3x) \geq \log_3(x + 5)$ методом рационализации.

Шаг 1. ОДЗ: $\begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ x > -5 \end{cases}$

Решаем $x(x-3) > 0$ методом интервалов: корни $0$ и $3$, произведение положительно вне корней, то есть $x < 0$ или $x > 3$. Пересечение с $x > -5$: ОДЗ $= (-5;\, 0) \cup (3;\, +\infty)$. Обрати внимание, что ОДЗ здесь — не один интервал, а объединение двух кусков, потому что аргумент первого логарифма — квадратный трёхчлен. Именно с этой составной ОДЗ мы и будем пересекать решение основного неравенства на последнем шаге.

Шаг 2–3. Метод рационализации. Основания уже одинаковые ($a = 3$), приведение не нужно. Применяем формулу: множитель $(a - 1) = 3 - 1 = 2 > 0$, значит знак сохранится. Записываем:

$(x^2 - 3x - (x + 5)) \cdot 2 \geq 0$ $x^2 - 4x - 5 \geq 0$ $(x - 5)(x + 1) \geq 0$

Метод интервалов. Решаем $(x - 5)(x + 1) \ge 0$. Корни $x = -1$ и $x = 5$. Парабола $(x-5)(x+1)$ ветвями вверх, поэтому значение неотрицательно («$+$») вне корней: при $x \leq -1$ или $x \geq 5$. Концы включены, потому что неравенство нестрогое ($\ge 0$), и в корнях выражение равно нулю.

Шаг 4. Пересечение с ОДЗ. Накладываем решение $x \le -1$ или $x \ge 5$ на ОДЗ $(-5; 0) \cup (3; +\infty)$ кусок за куском:

• $x \leq -1$ и $x \in (-5; 0)$: получаем $(-5;\, -1]$
• $x \geq 5$ и $x \in (3; +\infty)$: получаем $[5;\, +\infty)$

$\boxed{x \in (-5;\, -1] \cup [5;\, +\infty)}$

Этот пример демонстрирует полную мощь алгоритма. Самое поучительное здесь — финальное пересечение с ОДЗ. Метод рационализации дал решение «$x \le -1$ или $x \ge 5$», но без учёта ОДЗ оно неверно: например, $x = -10$ удовлетворяет рациональному неравенству, но не входит в ОДЗ ($x > -5$). Пересечение с ОДЗ $(-5; 0) \cup (3; +\infty)$ обрезало решение до $(-5; -1] \cup [5; +\infty)$. Именно поэтому пересечение с ОДЗ — обязательный последний шаг: без него ответ почти всегда «раздут» лишними значениями. Заметь и роль метода рационализации: благодаря множителю $(a - 1) = 2 > 0$ знак неравенства сохранился автоматически, и нам не пришлось отдельно думать о направлении.

Особые случаи

Логарифм с переменным основанием

Если основание содержит $x$, например $\log_x(f(x)) \geq 0$, то дополнительно нужно рассмотреть два случая: $x > 1$ и $0 < x < 1$. В каждом — свои условия на знак. Это усложняет задачу: к обычной ОДЗ добавляются ограничения на основание ($x > 0$ и $x \neq 1$), а само неравенство распадается на совокупность двух систем. В случае $x > 1$ знак сохраняется, в случае $0 < x < 1$ — переворачивается. Финальный ответ — объединение решений обоих случаев. Такие неравенства встречаются в более сложных вариантах задания 15, и метод рационализации здесь тоже помогает: множитель $(a - 1)$ становится $(x - 1)$ и автоматически учитывает оба случая.

Логарифм в квадрате

Неравенство вида $(\log_a x)^2 + b\log_a x + c \geq 0$ решается заменой $t = \log_a x$: получаешь квадратное неравенство $t^2 + bt + c \ge 0$, решаешь его методом интервалов по $t$, а потом для каждого найденного промежутка по $t$ раскрываешь замену обратно к $x$. Важно: при обратной замене $\log_a x \ge t_0$ снова работает правило знака по основанию ($a > 1$ — сохраняется, $a < 1$ — переворачивается), и ОДЗ $x > 0$ обязательна. Замена — мощный приём, превращающий «двухэтажное» логарифмическое неравенство в знакомое квадратное. Главное — не забыть вернуться к $x$ корректно и учесть ОДЗ.

Типичные ошибки

Пропустить ОДЗ. Самая частая ошибка. В примере 3 без ОДЗ можно получить «лишний» ответ $x = 0$ (аргумент $x^2 - 3x = 0$ не положителен). Всегда шаг 1 — ОДЗ. Логарифм существует только при положительном аргументе, поэтому любое значение, обнуляющее или делающее отрицательным аргумент любого логарифма, должно быть исключено. Особенно коварны случаи, когда аргумент — квадратный трёхчлен: его ОДЗ сама требует метода интервалов, и легко потерять часть запретных промежутков.

Перепутать знак при основании меньше 1. Вместо «знак меняется» написать «знак сохраняется» — и получить неверный ответ. Запомни: $\log_{0{,}5}$ убывает, при переходе от логарифмов к аргументам знак переворачивается. Эта ошибка коварна тем, что приводит к «правдоподобному» неверному ответу — интервалу, симметричному правильному. Метод рационализации защищает от неё автоматически: множитель $(a - 1)$ при $a < 1$ отрицателен и сам разворачивает неравенство. Поэтому, если сомневаешься в знаке, используй рационализацию — она надёжнее ручного контроля направления.

Не включить граничную точку при нестрогом неравенстве. Если в условии $\geq$ (не $>$), граница входит в ответ — но только если она входит в ОДЗ. Это тонкость: нестрогий знак сам по себе «закрашивает» точку, однако если эта точка нарушает ОДЗ (например, обнуляет аргумент логарифма), она всё равно исключается. Поэтому решение о типе скобки на границе принимают, учитывая и знак неравенства, и принадлежность точки ОДЗ одновременно.

Забыть пересечь с ОДЗ. После метода интервалов получили промежуток — финальный ответ это пересечение с ОДЗ, а не сам промежуток. Это вторая по частоте ошибка после полного пропуска ОДЗ: ученик находит ОДЗ в начале, но забывает применить её в конце. Возьми за правило: последняя строка решения — всегда «пересекаем с ОДЗ».

Что запомнить

1. ОДЗ первой и последней строкой: все аргументы логарифмов строго положительны. Найди ОДЗ до решения и пересеки с ней ответ в конце.
2. Правило знака по основанию: при $a > 1$ знак сохраняется, при $0 < a < 1$ — переворачивается.
3. Метод рационализации: $\log_a f \ge \log_a g \Leftrightarrow (f - g)(a - 1) \ge 0$. Множитель $(a - 1)$ учитывает направление знака автоматически.
4. После рационализации — обычное рациональное неравенство, решаемое методом интервалов.
5. Логарифм в квадрате — замена $t = \log_a x$, потом обратно с учётом ОДЗ и правила знака.
6. Переменное основание — два случая ($x > 1$ и $0 < x < 1$) или рационализация с множителем $(x - 1)$.

Логарифмические неравенства — это рациональные неравенства плюс две надстройки: ОДЗ и контроль знака по основанию. Доведи метод рационализации до автоматизма — и задание 15 в этой части станет надёжным источником двух баллов.