Логарифмические неравенства: алгоритм решения

Логарифмические неравенства — задание 15 ЕГЭ профиль, 2 балла. Алгоритм чёткий: ОДЗ → метод рационализации → метод интервалов → пересечение с ОДЗ. Разберём три примера возрастающей сложности.

Алгоритм из четырёх шагов

Шаг 1. ОДЗ. Все аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Запиши систему неравенств вида $\{f(x) > 0,\ g(x) > 0\}$ и реши её.

Шаг 2. Приведение к одному основанию. Если в неравенстве разные основания — преобразуй к одному.

Шаг 3. Метод рационализации. Неравенство $\log_a f(x) \geq \log_a g(x)$ равносильно: $(f(x) - g(x))(a - 1) \geq 0$

Шаг 4. Метод интервалов + пересечение с ОДЗ. Реши полученное рациональное неравенство и пересеки с ОДЗ из шага 1.

Правило знака (без рационализации)

Для простейших неравенств — быстрый вариант напрямую:

Плюс всегда: $f(x) > 0$ (ОДЗ).

Пример 1: простейшее (уровень А)

Задача. $\log_2(x-1) > 3$.

Шаг 1. ОДЗ: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$.

Шаг 2. $3 = \log_2 8$. Перепишем: $\log_2(x-1) > \log_2 8$.

Шаг 3. Основание $2 > 1$, знак сохраняется: $x - 1 > 8 \Rightarrow x > 9$.

Шаг 4. Пересекаем с ОДЗ $x > 1$: ответ $x > 9$.

$\boxed{x \in (9;\, +\infty)}$

Пример 2: основание меньше 1 (уровень Б)

Задача. $\log_{0{,}5}(2x + 4) \geq -2$.

Шаг 1. ОДЗ: $2x + 4 > 0 \Rightarrow x > -2$.

Шаг 2. $-2 = \log_{0{,}5}(0{,}5)^{-2} = \log_{0{,}5} 4$. Перепишем: $\log_{0{,}5}(2x+4) \geq \log_{0{,}5} 4$.

Шаг 3. Основание $0{,}5 < 1$, знак меняется: $2x + 4 \leq 4 \Rightarrow x \leq 0$.

Шаг 4. Пересекаем с ОДЗ $x > -2$:

$\boxed{x \in (-2;\, 0]}$

Пример 3: метод рационализации (уровень В)

Задача. $\log_3(x^2 - 3x) \geq \log_3(x + 5)$.

Шаг 1. ОДЗ: $\begin{cases} x^2 - 3x > 0 \\ x + 5 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(x-3) > 0 \\ x > -5 \end{cases}$

$x(x-3) > 0$: $x < 0$ или $x > 3$. Пересечение с $x > -5$: ОДЗ $= (-5;\, 0) \cup (3;\, +\infty)$.

Шаг 2–3. Метод рационализации ($a = 3$, $a - 1 = 2 > 0$):

$(x^2 - 3x - (x + 5)) \cdot 2 \geq 0$ $x^2 - 4x - 5 \geq 0$ $(x - 5)(x + 1) \geq 0$

Метод интервалов: корни $x = -1$ и $x = 5$. Знак «$+$» при $x \leq -1$ или $x \geq 5$.

Шаг 4. Пересечение с ОДЗ:

• $x \leq -1$ и $x \in (-5; 0)$: получаем $(-5;\, -1]$
• $x \geq 5$ и $x \in (3; +\infty)$: получаем $[5;\, +\infty)$

$\boxed{x \in (-5;\, -1] \cup [5;\, +\infty)}$

Особые случаи

Логарифм с переменным основанием

Если основание содержит $x$, например $\log_x(f(x)) \geq 0$, то дополнительно нужно рассмотреть два случая: $x > 1$ и $0 < x < 1$. В каждом — свои условия на знак.

Логарифм в квадрате

Уравнение вида $(\log_a x)^2 + b\log_a x + c \geq 0$ решается заменой $t = \log_a x$: решаешь квадратное неравенство по $t$, потом раскрываешь замену.

Типичные ошибки

Пропустить ОДЗ. Самая частая ошибка. В примере 3 без ОДЗ можно получить «лишний» ответ $x = 0$ (аргумент $x^2 - 3x = 0$ не положителен). Всегда шаг 1 — ОДЗ.

Перепутать знак при основании меньше 1. Вместо «знак меняется» написать «знак сохраняется» — и получить неверный ответ. Запомни: $\log_{0{,}5}$ убывает, при переходе от логарифмов к аргументам знак переворачивается.

Не включить граничную точку при нестрогом неравенстве. Если в условии $\geq$ (не $>$), граница входит в ответ — проверь, входит ли она в ОДЗ.

Забыть пересечь с ОДЗ. После метода интервалов получили промежуток — финальный ответ это пересечение с ОДЗ, а не сам промежуток.